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第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年天津市河东区高二(下)期末数学试卷一、单选题:本题共11小题,每小题5分,共55分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN=A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U2.对于任意实数a,b,“a2=b2”是“2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若f(x)=(x3+a)lnx−2A.−1 B.0 C.12 D.4.设y1=90.9,y2=loA.y3>y1>y2 B.5.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(
)A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.46.为了研究某班学生的脚长x(单位厘米)和身高y(单位厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y=bx+a.已知i=110xA.160 B.163 C.166 D.1707.若2x=6,y=log443A.3 B.13 C.log238.空间中有两个不同的平面α,β和两条不同的直线m,n,则下列说法中正确的是(
)A.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥nB.若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n⊥β
C.若α//β,m//α,n//β,则m//nD.若α//β,m//α,m//n,则n//β9.设函数f(x)=ex(x−a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(
)A.(−∞,−2] B.[−2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)10.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民,研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系,调查数据如下表:不吸烟者吸烟者总计不患慢性气管炎者121162283患慢性气管炎者134356总计134205339假设H0:患慢性气管炎与吸烟没有关系,即它们相互独立.
通过计算统计量χ2,得χ2≈7.468,根据χ2分布概率表:
P(χ2≥6.635)≈0.01,P(χ2≥5.024)≈0.025,
P(χ2≥3.841)≈0.05,P(χ2≥2.706)≈0.1.
给出下列3个命题,其中正确的个数是(
)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个11.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P−AC−O为45°,则(
)A.AC=22 B.该圆锥的侧面积为43π
C.△PAC的面积为二、填空题:本题共7小题,每小题5分,共35分。12.计算(1−3i)213.二项式(3x+14.某中学举行数学解题比赛,其中7人的比赛成绩分别为:70、97,85,90,98,73,95,则这7人成绩的第75%分位数是______.15.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=______.16.已知正数x,y满足x+y=1,则1x−y17.在平行四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=33,BC=6,若AE=12EB,设AB−=a,AD=b,则EC可用a,b表示为______;若点F18.曲线y=x3−3x与y=−(x−1)2+a在三、解答题:本题共4小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。19.(本小题15分)
在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,其中b=2.
(1)若A+C=120°,a=2c,求边长c;
(2)若A−C=15°,a=2csinA,求△ABC20.(本小题15分)
如图,在四棱锥E−ABCD中,EC⊥底面ABCD,AB⊥BC,AB//CD,AB=1,CB=CD=CE=3.
(1)若F在侧棱DE上,且DF=2FE,求证:AF//平面BCE;
(2)求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值.21.(本小题15分)
已知函数f(x)=6cosxsin(x−π6)+32.
(1)求f(x)的最小正周期和其图象的对称轴方程;
(2)若函数y=f(x)−a在x∈[22.(本小题15分)
已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x).
(1)当a=−1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求参考答案1.A
2.B
3.B
4.C
5.A
6.C
7.A
8.A
9.D
10.D
11.A
12.−2−213.7
14.97
15.0.6
16.(1,+∞)
17.EC=2318.(−2,1)
19.解:(1)∵A+C=120°,且a=2c,
∴sinA=2sinC=2sin(120°−A)=3cosA+sinA,
∴cosA=0,
∴A=90°,C=30°,B=60°,
∵b=2,
∴c=233;
(2)a=2csinA,
则sinA=2sinCsinA,
sinA>0,
∴sinC=22,
∵A−C=15°,
∴C为锐角,
20.解:∵EC⊥底面ABCD,AB⊥BC,AB//CD,∴CB,CE,CD两两垂直,
故以C为原点,建立如图的空间直角坐标系C−xyz,则C(0,0,0),
D(3,0,0),B(0,3,0),E(0,0,3),F(1,0,2).A(1,3,0),
(1)证明:易得平面BCE的法向量为m=(1,0,0),AF=(0,−3,2)
∵m⋅AF=1×0+0×(−3)+0×2=0,∴AF⊥m,
又AF⊄平面BCE,∴AF//平面BCE;
(2)AD=(2,−3,0),AE=(−1,−3,3)
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)
由n⋅AD=2x−3y=0n⋅AE21.解:(1)对于函数f(x)=6cosxsin(x−π6)+32
=6cosx(sinx⋅32−12cosx)+32
=332sin2x−3×1+cos2x2+32
=3(sin2x⋅32−12cos2x)
=3sin(2x−π6),
故它的最小正周期为2π2=π.
令2x−π6=kπ+22.解:(1)当a=−1时,
则f(x)=(1x−1)ln(1+x),
求导可得,f′(x)=−1x2ln(1+x)+(1x−1)⋅1x+1,
当x=1时,f(1)=0,
当x=−1时,f′(1)=−ln2,
故曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程为:y−0=−ln2(x−1),即(ln2)x+y−ln2=0;
(2)f(x)=(1x+a)ln(1+x),
则f′(x)=(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1(x>−1),
函数f(x)在(0,+∞)单调递增,
则(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)⋅1x+1≥0,化简整理可得,−(x+1)ln(x+1)+x+ax2≥0,
令g(x)=ax2+x−(x+1)ln(x+1)(x>0),
求导可得,g′(x)=2a
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