2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列an中，Sn为其前n项和，若S3=1，S6A.7 B.8 C.9 D.122.已知随机变量ξ服从正态分布N3,σ2，且P(ξ<4)=0.6，则P(ξ<2)=A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.43.已知函数fx=x−lnx，则fA.−∞,0 B.1,+∞

C.−∞,0∪1,+∞ 4.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有(

)A.42 B.72 C.78 D.965.2025有(    )个不同的正因数A.8 B.10 C.12 D.156.某企业进行节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示：x3456y2.5344.5根据表中数据得出y关于x的经验回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为(

)A.5.15吨 B.5.25吨 C.5.5吨 D.9.5吨7.下列四个不等式①lnx<x<ex，②ex−1≥x，A.1 B.2 C.3 D.48.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有A，B，C，D，E，F，G，H共八个点，一枚棋子起始位置在点A处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为ii=1,2,⋯,6，则棋子前进i步(每一步是从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点)，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若结束时棋子恰好在点A处，那么游戏过关.问游戏结束时过关的概率为(

)

A.118 B.112 C.16二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y=2X−1，则下列结论正确的是(

)X0123Pq0.20.10.2A.EX=1.2 B.EY=1 C.10.如图，正方形ABCD的边长为2cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形的IJKL，依此方法一直继续下去.设第k个正方形面积为ak，则下列结论正确的是(

)

A.a3=1cm2

B.a2=16a6

C.11.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%.则下列结论正确的是(

)A.任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为0.06

B.任取一个零件，它是次品的概率为0.0525

C.如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为27

D.如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若数列an满足an+1=Sn+1，13.在(x+1)2+(x+1)3+(x+1)14.已知函数fx=x2−ae−x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)函数fx=x(1)若函数fx的图象在点1,f1处的切线l与直线x+y=0垂直，求切线(2)若x>0，fx≥1，求λ16.(本小题12分)某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：性别足球合计喜欢不喜欢男生302050女生102030合计404080(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？(2)现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.(本小题12分)数列an的首项a1=(1)证明1an−2(2)设bn①当数列bn的项取得最大值时，求n②求bn的前n项和Sn18.(本小题12分)3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座(每个讲座被选择是等可能的)．(1)记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件M，N，若PM>0，PN>0，称ρM,N①已知ρM,N>0，证明②记事件E=“B课外知识讲座有同学选择”，事件F=“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求ρE,F．19.(本小题12分)已知函数fx(1)讨论fx(2)当a>0时，求证：fx>ln答案简析1.C

【简析】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3=1，S6=4，

则根据等差数列的性质可得S3，S6−S3，S9−S6仍成等差数列，

2.D

【简析】解：∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，得对称轴是x=3，P(ξ<4)=0.6，3.B

【简析】解：函数f(x)=x−ln x的导数为f′x=1−1x，

令f′x=1−1x>0，得x>1，

∴结合函数的定义域，得当x∈(1,+∞)4.C

【简析】解：根据题意甲不值第一天，乙不值第五天

若甲排在第五天，则其余4人进行全排列，有A44=24种排法，

若甲不排在第五天，则甲有3种排法，乙有3种排法，其余三人有A33=6种排法，

∴3×3×A35.D

【简析】解：由2025=34×52，对于质因数3，指数是4，所以贡献的是4+1=5个因数；

对于质因数5，指数是2，所以贡献的是2+1=3个因数．

因此，2025的正因数数量是：5×3=15，

所以，20256.B

【简析】解：由表中数据，计算得

x=14×(3+4+5+6)=4.5，y=14×(2.5+3+4+4.5)=3.5，

且线性回归方程y=0.7x+a∧过样本中心点(x,y)，

即3.5=0.7×4.5+a∧，

解得a∧=0.35，

∴x、y7.C

【简析】解： ①设f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，令f′(x)<0，则x<0；令f′(x)>0，则x>0．

故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)=0．

因此ex≥x+1>x，则lnex=x>lnx，故lnx<x<ex， ①正确；

 ②ex−1≥x−1+1=x， ②正确；

 ③lnex−1=x−1≥lnx， ③错误；

 ④设ℎ(x)=xlnx−x+1，则ℎ′(x)=lnx，令ℎ′(x)<08.D

【简析】解：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是8，16．

列举出在点数中能够使得三次数字和为8，16的有：(1,2,5)，(1,3,4)，(1,1,6)，(2,2,4)，(2,3,3)，(4,6,6)，(5,5,6)，共有7种组合，

前2种组合(1,2,5)，(1,3,4)

每种情况可以排列出A33=6种结果，共有2A33=2×6=12种结果;

后5种组合各有3种结果，共有5×3=15种结果，

由分类加法计数原理知，共有12+15=27种结果．

抛3次骰子共有6×6×6=216种结果，

故抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点9.BC

【简析】解：由分布列的性质知q+0.2+0.1+0.2=1，则q=0.5，

故E(X)=0×0.5+1×0.2+2×0.1+3×0.2=1，故A错误;

D(X)=0.5×12+0.2×02+0.1×12+0.2×22=1.4，故C正确;

10.ABD

【简析】解：由题意知，a1=22=4，a2=(2)2=2，a3=12=1，选项A正确;

数列{an}是等比数列，且公比为q=12;所以a6=11.BCD

【简析】解：对于A选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为

25％×6％=0.015<0.06，故A错误；

对于B选项，任取一个零件是次品的概率为25％×6％+30％×5％+45％×5％=0.0525，故B正确；

对于C选项，任取一个零件是第2台生产出来的次品概率为

30％×5％=0.015，

结合A，B选项的分析，可知如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为

0.0150.0525=27，

故C正确；

如果取到的零件不是第3台车床加工的，且它是次品的概率为

12.64

【简析】解：因为足an+1=Sn+1，a1=0，

所以当n≥2时，

an=Sn−1+1，

所以an+1−an=13.165

【简析】解：在

(x+1)2+(x+1)3+(x+1)4+⋯+(x+1)10的展开式中，

含x2项的系数为C14.{0}∪(4【简析】解：∵函数fx=x2−ae−x只有1个零点，

∴x2−ae−x=0

，即a=x2ex，

亦即y=a与y=x2ex只有一个交点，

令gx=x2ex，g′x=x2+2xex，

当g′x=0时，x=0或x=−2，

当g′15.解：(1)设切线l的斜率为kl，∵直线x+y=0的斜率为−1，

∴kl⋅(−1)=−1∴kl=1，

又∵f′(x)=2x−λx2，

∴kl=f′(1)=2−λ=1，∴λ=1，即f(x)=x2+1x

，

∴点(1,f(1))为(1,2)

∴切线l的方程为：y−2=kl(x−1)，

即：y−2=x−1化简得：x−y+1=0；

(2)因为x>0.由f(x)=x2+λx≥1可化为λ≥x−x3，

设g(x)=x−x3，则g′(x)=1−3【简析】(1)根据已知条件和导数的几何意义求出切线的斜率，然根据点斜式求出直线方程；

(2)根据λ的符号求出f(x)的极大值，并且使极大值点x>0范围内，这样可以求出λ的取值范围．16.解：(1)零假设为H0:喜欢足球与性别之间无关联．

根据列联表，由χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)得，

χ2=80×(30×20−20×10)240×40×50×30≈5.33>3.841=x005，

根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢足球与性别之间有关联．

(2)在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则X的可能取值为1，2，3，

【简析】(1)结合信息，代入公式求出χ2(2)先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．17.(1)证明：

思路一：由题可知，an+1−2=3an−4an−1−2=an−2an−1，

所以1an+1−2=1an−2+1，则1an+1−2−1an−2=1，

又因为1a1−2=152−2=2，

所以1an−2}是以2为首项，1为公差的等差数列，

则1an−2=2+(n−1)⋅1=n+1，

所以an=1n+1+2=2n+3n+1；

思路二：由题可知，1an+1−2=13an−4an−1−2=an−1an−2，

所以1【简析】

(1)由题可得1an+1−2−1an−2=1，得证；

(2)由题意可得 ①b18.解：(1)由题意可知，X的可能的取值为0，1，2，3

P(X=0) =2333=827，P(X=1) =CX0123P81261则E(X)=0×827+1×1227+2×627+3×127=1

(2) ①证明：因为ρ(M,N)=P(MN)−P(M)P(N)P(M)P(M)P(N)P(N)，且ρ(M,N)>0所以P(MN)−P(M)P(N)> 0，

即P(MN)P(N)>P(M)，

而P(M|N)=P(MN)P(N)，

所以P(M|N)> P(M)成立．

 ②事件E:B课外知识讲座有同学选择，则事件E:B课外知识讲座没有同学选择由(1)可知P(E)=C30(13)0(23)3=827，【简析】

(1)根据题意分别求得P(X=0)，P(X=1)，P(X=2)，P(X=3)，再求期望即可求解；(2)①由题意可得P(MN)>P(M)P(N)，再用条件概率公式即可证明；

②依次求得P(M)，P(N)，P(M)，P(N19.解：(1)f′(x)=2e2x+2(1−a)ex−2a=2(ex−a)(ex+1)

(Ⅰ)当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增．

(Ⅱ)当a>0时，令f′(x)=0，得x=lna

当x>lna时，f′(x)>0;当x<lna时，f′