12.3 角的平分线的性质（第一课时）课件-2023-2024学年人教版数学八年级上

.P自来水天然气

创设情境问题：哪如何作出这个角的角平分线呢？实际问题转化为数学问题用量角器度量BAOC你能说说上述两种方法在实际生活中是否可行呢？你还有其它方法吗？感悟实践经验，动手操作--折一折请同学们动手折一折手中的纸片感悟实践经验，用尺规作角的平分线利用尺规作角的平分线的具体方法:

ABOMNC(2)分别以M，N为圆心．大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．(3)作射线OC．则射线OC即为所求．(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．感悟实践经验，用尺规作角的平分线你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？ABOMNC经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？

ABOPCDE经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质问题2

利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？

在OC上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角

的平分线的什么性质？ABOPCDE经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质通过动手实验、观察比较，我们猜想角平分线有以下性质：

ABOPCDE猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA

，PE⊥OB，垂足分别是D、E.

求证：PD=PE.ABOPCDE经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质几何语言：∵

OC是∠AOB的平分线，

PD⊥OA

，PE⊥OB，∴PD=PE.注意：“

一平分，两垂直，得相等

”

ABOPCDE经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质学习角平分线的性质的作用是什么？主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．有什么优势呢？

合作交流运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？.P自来水天然气

合作交流MNPM=PN理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等POABCEDPOABCEDPOABCEDABCDBPOACED练习1：下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____中PD＝PE.

(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗?BPOACED解决简单问题，巩固角的平分线的性质D不确定如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用ABCP如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4.则点P到AB的距离为_______.D4温馨提示：存在一条垂线段———构造应用

在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长.EDCBABD=4练习2

如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．解决简单问题，巩固角的平分线的性质ABCDEF

已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD

、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM

DEFABCPMN

思维拓展∴PD=PE同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等（角平分线的性质）

角的平分线的判定1.如图，

PC

⊥

OA

，

PD

⊥

OB

，当

PC

＝

PD

时，Rt△

OPC

≌Rt△

（

），∴∠

POC

＝∠

⁠.（第1题图）OPD

HL

POD

2.如图，

PM

⊥

AC

于点

M

，

PN

⊥

AB

于点

N

，

PM

＝2，

当

PN

＝

时，点

P

在∠

BAC

的平分线上.（第2题图）2

3.如图，∠

AOB

＝70°，

QC

⊥

OA

于点

C

，

QD

⊥

OB

于

点

D

，若

QC

＝

QD

，则∠

AOQ

＝

⁠.35°

4.（河池市都安县民族实验中学月考）如图所示，已知

△

ABC

中，

PE

∥

AB

交

BC

于点

E

，

PF

∥

AC

交

BC

于点

F

，点

P

是

AD

上一点，且点

D

到

PE

的距离与到

PF

的距

离相等，判断

AD

是否平分∠

BAC

，并说明理由.解：

AD

平分∠

BAC

，理由如下：过点

D

作

DM

⊥

PE

，

DN

⊥

PF

，

M

、

N

为垂足，∵

D

到

PE

的距离与到

PF

的距离相等，∴

DM

＝

DN

，∴∠1＝∠2.∵

PE

∥

AB

，

PF

∥

AC

，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3＝∠4，即

AD

平分∠

BAC

.

5.如图，

CD

⊥

AB

于点

D

，

BE

⊥

AC

于点

E

，

BE

，

CD

相交于点

O

.

若

OB

＝

OC

，求证：∠1＝∠2.

三角形的角平分线6.到△

ABC

的三条边的距离相等的点是△

ABC

的

（

B

）A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.以上均不对B7.（河池市南丹县期末）如图，△

ABC

的三边

AB

，

BC

，

CA

长分别是20，30，40，其三条角平分线将△

ABC

分为三个三角形，则

S△

ABO

∶

S△

BCO

∶

S△

CAO

等于

（

C

）A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.2∶3∶4D.3∶4∶5C

角的平分线的性质与判定的实际应用8.（河池市都安县民族实验中学月考）如图，铁路

OA

和铁路

OB

交于

O

处，河道与铁路分别交于

A

处和

B

处，试在河岸

AB

上建一座水厂

M

，要求

M

到铁路

OA

，

OB

的距离相等，请在图中标出

M

点的位置.

（保留作图痕迹）

解：如图，点

M

即为所求作的点.

9.如图，

OC

是∠

AOB

内部的一条射线，

P

是射线

OC

上

任意一点，

PD

⊥

OA

，

PE

⊥

OB

.

下列条件中：①∠

AOC

＝∠

BOC

；②

PD

＝

PE

；③

OD

＝

OE

；④∠

DPO

＝∠

EPO

，能判定

OC

是∠

AOB

的平分线的有

（

D

）A.1个B.2个C.3个D.4个（第9题图）D10.如图，

AB

∥

CD

，点

P

到

AB

，

BC

，

CD

的距离都相

等，则∠

P

＝

⁠.（第10题图）90°

11.如图，已知△

ABC

的周长是20cm，

BO

，

CO

分别平

分∠

ABC

和∠

ACB

，

OD

⊥

BC

于点

D

，若

OD

＝3cm，

则△

ABC

的面积为

⁠.30cm2

12.（南宁市隆安县民族中学月考）如图，∠

B

＝∠

C

＝

90°，

P

是

BC

的中点，

DP

平分∠

ADC

.

求证：

AP

平分

∠

DAB

.

证明：过点

P

作

PE

⊥

AD

于

E

.

∵

DP

平分∠

ADC

，∠

C

＝90°，

PE

⊥

DA

.

∴

PE

＝

PC

，∵点

P

为

BC

的中点，∴

PC

＝

PB

，∴

PE

＝

PB

.

又∵

PE

⊥

AD

，∠

B

＝90°，∴

AP

平分∠

DAB

.

13.如图，在△

ABC

中，

D

是

BC

的中点，

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，垂足分别是

E

，

F

.

（1）若

BE

＝

CF

，求证：

AD

是△

ABC

的角平分线；