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文档简介
.P自来水天然气
创设情境问题:哪如何作出这个角的角平分线呢?实际问题转化为数学问题用量角器度量BAOC你能说说上述两种方法在实际生活中是否可行呢?你还有其它方法吗?感悟实践经验,动手操作--折一折请同学们动手折一折手中的纸片感悟实践经验,用尺规作角的平分线利用尺规作角的平分线的具体方法:
ABOMNC(2)分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.(3)作射线OC.则射线OC即为所求.(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.感悟实践经验,用尺规作角的平分线你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗?ABOMNC经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质如图,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线OC,在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你得到什么结论?利用尺规我们可以作一个角的平分线,那么角的平分线有什么性质呢?
ABOPCDE经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质问题2
利用尺规我们可以作一个角的平分线,那么角的平分线有什么性质呢?
在OC上再取几个点试一试.通过以上测量,你发现了角
的平分线的什么性质?ABOPCDE经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质通过动手实验、观察比较,我们猜想角平分线有以下性质:
ABOPCDE猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等猜想:角平分线上的点到角的两边的距离相等题设:一个点在一个角的平分线上结论:它到角的两边的距离相等已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA
,PE⊥OB,垂足分别是D、E.
求证:PD=PE.ABOPCDE经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质几何语言:∵
OC是∠AOB的平分线,
PD⊥OA
,PE⊥OB,∴PD=PE.注意:“
一平分,两垂直,得相等
”
ABOPCDE经历实验过程,发现并证明角的平分线的性质学习角平分线的性质的作用是什么?主要是用于判断和证明两条线段相等,与以前的方法相比,运用此性质不需要先证两个三角形全等.有什么优势呢?
合作交流运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题:问题:引例中两条管道的长度有什么关系?理由是什么?.P自来水天然气
合作交流MNPM=PN理由是:角平分线上的点到角的两边的距离相等POABCEDPOABCEDPOABCEDABCDBPOACED练习1:下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____中PD=PE.
(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,则图中PD=PE吗?BPOACED解决简单问题,巩固角的平分线的性质D不确定如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示:存在两条垂线段———直接应用ABCP如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC=4.则点P到AB的距离为_______.D4温馨提示:存在一条垂线段———构造应用
在△ABC中,∠C=90°,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,BC=7,DE=3.求BD的长.EDCBABD=4练习2
如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.解决简单问题,巩固角的平分线的性质ABCDEF
已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明:过点P作PD
、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM
DEFABCPMN
思维拓展∴PD=PE同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等(角平分线的性质)
角的平分线的判定1.如图,
PC
⊥
OA
,
PD
⊥
OB
,当
PC
=
PD
时,Rt△
OPC
≌Rt△
(
),∴∠
POC
=∠
.(第1题图)OPD
HL
POD
2.如图,
PM
⊥
AC
于点
M
,
PN
⊥
AB
于点
N
,
PM
=2,
当
PN
=
时,点
P
在∠
BAC
的平分线上.(第2题图)2
3.如图,∠
AOB
=70°,
QC
⊥
OA
于点
C
,
QD
⊥
OB
于
点
D
,若
QC
=
QD
,则∠
AOQ
=
.35°
4.(河池市都安县民族实验中学月考)如图所示,已知
△
ABC
中,
PE
∥
AB
交
BC
于点
E
,
PF
∥
AC
交
BC
于点
F
,点
P
是
AD
上一点,且点
D
到
PE
的距离与到
PF
的距
离相等,判断
AD
是否平分∠
BAC
,并说明理由.解:
AD
平分∠
BAC
,理由如下:过点
D
作
DM
⊥
PE
,
DN
⊥
PF
,
M
、
N
为垂足,∵
D
到
PE
的距离与到
PF
的距离相等,∴
DM
=
DN
,∴∠1=∠2.∵
PE
∥
AB
,
PF
∥
AC
,∴∠3=∠1,∠4=∠2,∴∠3=∠4,即
AD
平分∠
BAC
.
5.如图,
CD
⊥
AB
于点
D
,
BE
⊥
AC
于点
E
,
BE
,
CD
相交于点
O
.
若
OB
=
OC
,求证:∠1=∠2.
三角形的角平分线6.到△
ABC
的三条边的距离相等的点是△
ABC
的
(
B
)A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.以上均不对B7.(河池市南丹县期末)如图,△
ABC
的三边
AB
,
BC
,
CA
长分别是20,30,40,其三条角平分线将△
ABC
分为三个三角形,则
S△
ABO
∶
S△
BCO
∶
S△
CAO
等于
(
C
)A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.2∶3∶4D.3∶4∶5C
角的平分线的性质与判定的实际应用8.(河池市都安县民族实验中学月考)如图,铁路
OA
和铁路
OB
交于
O
处,河道与铁路分别交于
A
处和
B
处,试在河岸
AB
上建一座水厂
M
,要求
M
到铁路
OA
,
OB
的距离相等,请在图中标出
M
点的位置.
(保留作图痕迹)
解:如图,点
M
即为所求作的点.
9.如图,
OC
是∠
AOB
内部的一条射线,
P
是射线
OC
上
任意一点,
PD
⊥
OA
,
PE
⊥
OB
.
下列条件中:①∠
AOC
=∠
BOC
;②
PD
=
PE
;③
OD
=
OE
;④∠
DPO
=∠
EPO
,能判定
OC
是∠
AOB
的平分线的有
(
D
)A.1个B.2个C.3个D.4个(第9题图)D10.如图,
AB
∥
CD
,点
P
到
AB
,
BC
,
CD
的距离都相
等,则∠
P
=
.(第10题图)90°
11.如图,已知△
ABC
的周长是20cm,
BO
,
CO
分别平
分∠
ABC
和∠
ACB
,
OD
⊥
BC
于点
D
,若
OD
=3cm,
则△
ABC
的面积为
.30cm2
12.(南宁市隆安县民族中学月考)如图,∠
B
=∠
C
=
90°,
P
是
BC
的中点,
DP
平分∠
ADC
.
求证:
AP
平分
∠
DAB
.
证明:过点
P
作
PE
⊥
AD
于
E
.
∵
DP
平分∠
ADC
,∠
C
=90°,
PE
⊥
DA
.
∴
PE
=
PC
,∵点
P
为
BC
的中点,∴
PC
=
PB
,∴
PE
=
PB
.
又∵
PE
⊥
AD
,∠
B
=90°,∴
AP
平分∠
DAB
.
13.如图,在△
ABC
中,
D
是
BC
的中点,
DE
⊥
AB
,
DF
⊥
AC
,垂足分别是
E
,
F
.
(1)若
BE
=
CF
,求证:
AD
是△
ABC
的角平分线;
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