沪科版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(七)求锐角三角函数的五种常用方法练课件

专项素养巩固训练卷(七)求锐角三角函数的五种常用方法(练方法)类型一定义法1.(★☆☆)如图,△ABC中,CD⊥AB,BE⊥AC,

=

,AD=2,则sinA的值为

(

)

A.

B.

C.

D.

解析

B∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°,∵∠A=∠A,∴△ABE∽

△ACD,∴

=

,又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴

=

=

.∵AD=2,∴AC=5,根据勾股定理可得CD=

=

,∴sinA=

=

.故选B.B2.

[易错题](2024山东东营垦利月考,20,★☆☆)如图,在△ABC中,AD是BC边上的

高,BD=AC=10,tanB=

,求AD的长和cosC的值.

解析∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,tanB=

=

,BD=10,∴AD=8,在Rt△ACD中,AD=8,AC=10,∴CD=6,∴cosC=

=

=

.对应目标编号M9123001易错题

忽略三角函数的定义三角函数是在直角三角形中定义的,解题时容易忽略这个限制条件,直接在

非直角三角形中利用锐角三角函数的定义求值.类型二参数法3.(2024安徽滁州凤阳官塘中学月考,7,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB

的长是直角边BC长的3倍,则tanB的值是

(

)A.

B.3

C.

D.2

对应目标编号M9123001D解析

D设BC=x,则AB=3x,由勾股定理,得AC=2

x,所以tanB=

=

=2

,故选D.4.(2024安徽阜阳临泉期末,12,★☆☆)如果β是锐角,且tanβ=

,那么sinβ的值是

.答案

解析不妨设在Rt△ABC中,∠B=β,∠C=90°,∵tanβ=

=

,∴设BC=4x,则AC=3x,由勾股定理,得AB=

=5x,∴sinβ=

=

=

.5.[一题多解](★☆☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,

EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).

(1)求证:△ACE≌△AFE;(2)求tan∠CAE的值.

解析

(1)证明:∵AE是∠BAC的平分线,EC⊥AC,EF⊥AF,∴CE=EF,在Rt△ACE

与Rt△AFE中,

对应目标编号M9123001∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL).(2)由(1)可知Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF,CE=EF,设BF=m,则AC=AF=2m,AB=

3m,∴BC=

=

=

m.解法一:∵∠C=∠EFB=90°,∠B=∠B,∴△EFB∽△ACB,∴

=

,∵CE=EF,∴tan∠CAE=

=

=

.解法二:在Rt△ABC中,tanB=

=

=

,在Rt△EFB中,EF=BF·tanB=

,∴CE=EF=

,在Rt△ACE中,tan∠CAE=

=

=

.类型三等角转换法6.(2024安徽合肥新站期末,7,★☆☆)△ABC中,∠A,∠B,∠ACB的对边分别为a,b,

c.已知a=3,b=4,c=5,CD⊥AB,则cos∠BCD的值为

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

C如图,∵a=3,b=4,c=5,32+42=52,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形,且

∠ACB=90°.∵∠BCD+∠B=90°,∠A+∠B=90°,∴∠BCD=∠A,∴cos∠BCD=cosA=

=

.故选C.

方法归纳

“等角转换法”求锐角三角函数值当要求的锐角三角函数值不易直接求出时,可通过等角或同角的余角(补角)

相等、等腰三角形、全等三角形或相似三角形的相关知识,将要求的角转化为

与它相等的角,再根据等角的三角函数值相等求解.7.[K字型](2024安徽六安霍邱月考,9,★★☆)如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,

将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,BE=4,则tan∠AED

的值为

(

)A.3.5

B.3.2

C.3

D.2.8C解析

C∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠A=∠B=90°,∴∠BEF+∠BFE=90°,∵将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,∴∠EFD=∠A=90°,∠AED

=∠DEF,∴∠BFE+∠CFD=90°,∴∠BEF=∠CFD,∴△BEF∽△CFD,∴

=

.∵CD=3BF,∴

=

=3,∴tan∠AED=tan∠DEF=

=3.故选C.8.(★★☆)如图,矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3,l4,l2,l1上.若直线l1∥l2∥l3∥l4

且间距相等,AB=4,BC=3,则tanα的值为

.

对应目标编号M9123001答案

解析如图,过点C作CF⊥l4于点F,交l3于点E,设CB交l3于点G,由已知可得GE∥

BF,CE=EF,∴△CEG∽△CFB,∴

=

=

.∵BC=3,∴CG=

,∴GB=

.∵l3∥l4,∴∠α=∠GAB.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABG=90°,∵AB=4,∴tan∠BAG=

=

=

,∴tanα的值为

.

9.(2024陕西榆林子洲期末,20,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中

点,CO=6.5,BC=5.

(1)求AC的长;(2)求cos∠OCA与tanB的值.解析

(1)∵∠ACB=90°,O是AB的中点,CO=6.5,∴AB=2CO=13,∵BC=5,∴AC=

=12.(2)∵∠ACB=90°,O是AB的中点,∴OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,在Rt△ABC中,AB=对应目标编号M912300113,BC=5,AC=12,∴cos∠OCA=cosA=

=

,tanB=

=

.类型四构造直角三角形法10.(2024安徽合肥庐阳期末,7,★☆☆)如图,△ABC的顶点均在正方形网格的格

点上,则sin∠ACB的值为

(

)

A.

B.

C.

D.

对应目标编号M9123001A解析

A如图,取格点D,连接BD,则BD⊥AC.令BD=a,则CD=2a,在Rt△BCD中,

BC=

=

a,所以sin∠ACB=

=

=

.故选A.

11.(2024安徽合肥肥东期末,13,★★☆)如图,△ABC中,∠A=30°,E为AC上一点,

且AE∶EC=3∶1,EF⊥AB,垂足为F,连接FC,则tan∠CFB的值为

.

对应目标编号M9123001答案

解析如图,过点C作CM⊥AB,垂足为M,∵EF⊥AB,∴∠AFE=90°.在Rt△AEF中,

sinA=

,即

=

.令EF=3a,则AE=6a,∴AF=

=3

a.∵AE∶EC=3∶1,∴EC=2a,∴AC=6a+2a=8a.在Rt△ACM中,sinA=

,cosA=

,则MC=

AC=4a,AM=4

a,∴MF=AM-AF=

a.在Rt△CFM中,tan∠CFB=

=

=

.

12.(2024湖南岳阳岳阳楼期末,21,★☆☆)如图,在坐标平面内,点A的坐标为(20,

0),OA=2OB,sin∠AOB=

.(1)求点B的坐标;(2)求tan∠OAB的值.

解析

(1)如图,过点B作BC⊥OA于点C,∵点A的坐标为(20,0),∴OA=20,∵OA=2

OB,∴OB=10,∵sin∠AOB=

=

,∴BC=6,∴OC=

=8,∴点B的坐标为(8,6).(2)∵OA=20,OC=8,∴AC=12,∴tan∠OAB=

=

=

.类型五性质公式法13.(2024甘肃酒泉玉门期末,7,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=

,则cosB的值等于

(

)A.

B.

C.

D.1C解析

C

cosB=cos(90°-∠A)=sinA=

,故选C.14.[一题多解](2024浙江杭州拱墅期末,5,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,cosB=

,则tanA=

(

)A.

B.

C.