沪科版初中九年级数学上册23-1-1锐角三角函数第二课时正弦和余弦课件

第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.1锐角的三角函数第二课时正弦和余弦1.(2024安徽蚌埠月考)如图,在△ABC中,若∠C=90°,则(M912

3001)(

)A.sinA=B.sinA=

C.cosB=

D.cosB=

A解析在△ABC中,∠C=90°,∴sinA=

,cosB=

,故选A.基础过关全练知识点3正弦、余弦2.(2023安徽凤阳期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,

则sinB的值是

(

)A.

B.

C.

D.

A解析∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,∴sinB=

=

.故选A.3.(易错题)(2024山西大同期末)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,

AB=8,BC=10,则cosC的值是(M9123001)(

)A.

B.

C.

D.

A解析∵∠A=90°,AB=8,BC=10,∴由勾股定理得,AC=

=

=6,则cosC=

=

=

,故选A.易错警示注意哪个角是直角正弦和余弦的定义都是在∠C为直角的三角形中,但有些直

角三角形中∠C不一定是直角.4.(易错题)在Rt△ABC中,△ABC各边的长度都扩大为原来

的两倍,那么锐角A的各三角函数值(M9123001)(

)A.都扩大为原来的两倍B.都缩小为原来的

C.不变D.都扩大为原来的四倍C解析设在Rt△ABC中,∠C=90°,则sinA=

,cosA=

,tanA=

,各边的长度都扩大为原来的两倍后,sinA=

=

,cosA=

=

,tanA=

=

,故选C.易错警示锐角三角函数值只与这个锐角有关一个锐角的三角函数值是一个比值,它的大小只与这个锐角

的大小有关,与角所在的三角形无关.5.在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,∠C

=90°,a=12,b=5,则sinB=

.(M9123001)

解析∵∠C=90°,a=12,b=5,∴c=

=

=13,∴sinB=

=

.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=

,则BC∶AC=

.(M9123001)

∶2解析∵∠C=90°,cosA=

=

,∴设AC=2a,则AB=3a,∴BC=

=

a,∴BC∶AC=

∶2.7.如图,P是∠α的边OA上一点,且P点的坐标为(3,4),则sin(90°

-α)=

.

解析由勾股定理,得OP=

=5,所以sin(90°-α)=sin∠BOP=

=

.8.(新独家原创)(等角代换法)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D

到AB,BC的距离相等,若BD=6,sin∠DBA=

,则CD=

.(M9123001)3解析∵点D到AB,BC的距离相等,∴BD是∠ABC的平分

线,∴∠DBA=∠DBC.在Rt△BDC中,sin∠DBC=sin∠DBA=

,即

=

,∵BD=6,∴CD=3.9.(2023安徽滁州定远月考)已知Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=

,AC=12,求sinA的值和BC的长.解析∵在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=

=

,AC=12,∴AB=13,∴BC=

=5,∴sinA=

=

.10.(教材变式·P116T1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC

上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.

解析∵在Rt△BCD中,CD=3,BD=5,∴BC=

=

=4,∵AC=AD+CD=8,∴AB=

=

=4

,∴在Rt△ABC中,sinA=

=

=

,cosA=

=

=

,tanA=

=

=

.11.(构造直角三角形法)(2024安徽亳州月考,5, )如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于(M9

123001)(

)能力提升全练BA.

B.

C.

D.

解析如图,不妨设网格中小正方形的边长均为1,∴AD=2,

BD=4,则AB=

=2

.∴在Rt△ABD中,cos∠ABC=

=

.故选B.

12.(2022江苏扬州中考,18, )在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若b2=ac,则sinA的

值为

.

解析在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2,∵b2=ac,∴c2=a2+ac,由题意可知ac≠0,则等式两边同时除以ac

得

=

+1,令

=x,则有

=x+1,∴x2+x-1=0,解得x1=

,x2=

(舍去),经检验,x=

是原分式方程的解,∴sinA=

=

.13.(2024安徽滁州天长期末,17, )如图,在△ABC中,AB=AC=4,BC=6.(M9123001)(1)求sinB的值;(2)延长BC至点D,使得∠ADB=30°,求CD的长.

解析

(1)如图,作AE⊥BD,垂足为E.∵AB=AC=4,BC=6,∴BE=CE=3,∴AE=

=

=

.在Rt△ABE中,sinB=

=

.(2)在Rt△ADE中,∠D=30°,AE=

,∴AD=2AE=2

.设CD=x,则ED=3+x.由勾股定理,得AE2+DE2=AD2,即(

)2+(3+x)2=(2

)2,∴x=

-3,即CD=

-3.14.(推理能力)如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,

PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',求

sin∠PAP'的值.(M9123001)

素养探究全练解析连接PP',如图,∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P

'C,∴CP=CP'=6,∠PCP'=60°,∴△CPP'为等边三角形,∴PP'=PC=6.∵△ABC为等边三角

形,∴CB=CA,∠ACB=60°,∴∠PCB=∠P'CA,在△PCB和△P'

CA中,

,∴△PCB≌△P'CA,∴PB=P'A=10.∵在△APP'中,AP=8,PP'=6,AP'=10,∴PP'2+AP2=P'A2,∴△APP'

为直角三角形,∠APP'=90°,∴sin∠PAP'=

=

=

.解析由题图得,AC=4,BC=3,∵∠C=90°,∴tanB= 

= ,选B.微专题网格中锐角的三角函数值的求法例题

(2024山东济南期末)如图,在由边长为1的小正方形组

成的网格中,点A,B,C都在格点上,则tanB的值为 (

)A. B. C. D. 

B1.(两边在格线上变成一边在格线上)(2024北京平谷期末)如

图,在6×6的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的顶

点上,则sin∠BAC的值是

(

)A.1B.

C.

D.

变式D解析过点B作直线AC的垂线,垂足为D,如图,不妨设小正方形的边长为1,则AB=

=5.在Rt△ABD中,sin∠BAC=

=

.故选D.2.(两边在格线上变成三边都不在格线上)如图,在4×4的正方

形网格中,每个小正方形的边长均为1,若△ABC的顶点均在

格点上,则cos∠CBA的值是

.

解析如图,过C作CH⊥AB于H,由勾股定理得,AC=

=

,BC=

=

,AB=

=5,设BH=x,则AH=5-x,∵CH2=BC2-BH2=AC2-AH2,∴

-x2=

-(5-x)2,∴x=3,∴cos∠CBA=

=

=

.3.(需要构造三角形)