沪科版初中九年级数学上册21-3二次函数与一元二次方程课件

第21章二次函数与反比例函数21.3二次函数与一元二次方程基础过关全练知识点1二次函数与一元二次方程的关系1.(2024安徽合肥梦园中学期中)二次函数y=x2-2x+1的图象与

x轴的交点个数是(M9121003)(

)A.0B.1C.2D.不确定B解析∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,∴二次函数y=x2-2x+1的图

象与x轴有一个交点.故选B.2.(2023安徽阜阳太和期末)若二次函数y=a(x+1)2+k的图象与

x轴交于A(-3,0),B两点,则点B的坐标是(M9121003)(

)A.(1,0)

B.(2,0)C.(-1,0)D.(3,0)A解析由抛物线的表达式可知对称轴为直线x=-1,∵A(-3,0),

点A,B关于直线x=-1对称,∴B(1,0),故选A.3.(易错题)(2024安徽宣城宁国月考)已知二次函数y=kx2-7x-7

的图象和x轴有交点,则k的取值范围是(M9121003)(

)A.k>-

B.k≥-

C.k≥-

且k≠0D.k>-

且k≠0C解析∵二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,∴Δ=(-7)2

+28k≥0,且k≠0,∴k≥-

且k≠0.故选C.易错警示二次函数的二次项系数不能为零题中的函数是二次函数,所以隐含二次项系数不为0的条件.

此题容易漏掉k≠0导致错解.4.(新独家原创)抛物线y=ax2-2x+3a与x轴交于两点,两点坐标

分别为(m,0),(n,0),则mn的值为

.(M9121003)3解析由题意得,m,n是一元二次方程ax2-2x+3a=0的两个根,

由一元二次方程根与系数的关系,得mn=3.5.(2024安徽合肥四十五中月考)已知二次函数y=x2-(m+2)x+

2m-1.(1)求证:不论m取何值,该函数的图象与x轴总有两个交点;(2)若该函数的图象与y轴交于点(0,3),求该函数的图象与x轴

的交点坐标.(M9121003)解析

(1)证明:令y=0,即x2-(m+2)x+2m-1=0,∵Δ=[-(m+2)]2-

4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4=m2-4m+8=(m-2)2+4≥4,∴Δ>0,∴方

程总有两个不相等的实数根,即函数y=x2-(m+2)x+2m-1的图

象与x轴总有两个交点.(2)∵该函数的图象与y轴交于点(0,3),∴2m-1=3,∴m=2,∴该

函数的表达式为y=x2-4x+3.y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当y=0时,0=(x-

2)2-1,解得x1=3,x2=1,∴该函数的图象与x轴的交点坐标分别

为(3,0),(1,0).知识点2用图象法求一元二次方程的近似解6.(2024安徽蚌埠怀远期中)下表列出了函数y=ax2+bx+c(a≠

0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据,判断一元

二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之

间(M9121003)(

)x-2-1012y121-2-7DA.1与2之间B.-2与-1之间C.-1与0之间D.0与1之间解析∵当x=0时,y=1,当x=1时,y=-2,∴当x分别取0和1时,对

应的y值由正到负,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个

解在0与1之间,故选D.7.(一题多解)(数形结合思想)用图象法求一元二次方程x2-2x-

2=0的近似解(精确到0.1).(M9121003)解析解法一:画函数y=x2-2x-2的图象,如图:

可知,图象与x轴两个交点的横坐标近似为-0.7和2.7,所以一

元二次方程x2-2x-2=0的近似根为x1=-0.7,x2=2.7.解法二:在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=x2与y=2x

+2的图象,如图:

可知,二次函数y=x2与一次函数y=2x+2的图象的交点横坐标

近似是-0.7和2.7,所以一元二次方程x2-2x-2=0的近似根为x1=

-0.7,x2=2.7.知识点3二次函数与一元二次不等式的关系8.(教材变式·P35T9)(2024安徽芜湖月考)如图,二次函数y=ax2

+bx+c的图象与x轴交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自

变量x的取值范围是

(

)A.x<-2B.x>4

C.-2<x<4D.x>0

C解析∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(-2,0)和(4,0)

两点,图象开口向下,∴函数值y>0时,自变量x的取值范围是-

2<x<4,故选C.9.(2024安徽六安皋城中学月考)如图,已知二次函数y1=ax2+

bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-1,2)、B(4,1)两点,

则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是

.x<-1或x>4解析两函数图象相交于A(-1,2)、B(4,1)两点,由题图得不

等式ax2+bx+c>kx+m的解集是x<-1或x>4.10.(2023湖南衡阳中考,12, )已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1<x2),关于x的方程x2+2x-3-n=0的解

为x3,x4(x3<x4),则下列结论正确的是

(

)A.x3<x1<x2<x4B.x1<x3<x4<x2C.x1<x2<x3<x4D.x3<x4<x1<x2能力提升全练B解析关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为抛物线y=x2+2x-3与

直线y=m的交点的横坐标,关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为

抛物线y=x2+2x-3与直线y=n的交点的横坐标,如图所示.由图

可知,x1<x3<x4<x2,故选B.

11.(2023四川自贡中考,11, )经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-

x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,则线段AB的长为(M9121003)(

)A.10B.12C.13D.15B解析∵经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-

x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,∴

=-

,Δ=b2-4×

×(-b2+2c)≥0,∴b=c+1,b2≤4c,∴(c+1)2≤4c,∴(c-1)2≤0,∴c-1=0,解得c=1,∴b=c+1=2,∴AB=|(4b+c-

1)-(2-3b)|=|4b+c-1-2+3b|=|7b+c-3|=|7×2+1-3|=|14+1-3|=12.故

选B.12.(新考向·新定义试题)(2023四川巴中中考,18, )规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那么称这两个函数互为

“Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函

数y=

x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为

.(3,0)或(4,0)解析当k=0时,该函数表达式为y=-x-3,它的“Y函数”表达

式为y=x-3,它们的图象与x轴都只有一个交点,∴它的“Y函

数”的图象与x轴的交点坐标为(3,0);当k≠0时,该函数为二

次函数,若二次函数y=

x2+(k-1)x+k-3的图象与x轴只有一个交点,则(k-1)2-4×

×(k-3)=0,解得k=-1,∴二次函数的解析式为y=-

x2-2x-4=-

(x+4)2,∴它的图象与x轴的交点坐标为(-4,0),∴它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为(4,0).综上,

该函数的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(4,0).13.(2024安徽六安皋城中学期中,14, )已知直线y1=kx-4k经过抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)的顶点,且当x<2时,y1>y2.(1)直线y1与抛物线y2都经过同一个定点,这个定点的坐标是

;(2)当y1>y2时,自变量x的取值范围是

.(4,0)x<2或x>4解析

(1)∵y1=kx-4k=k(x-4),∴直线y1=kx-4k恒经过点(4,0).

∵y2=ax2-4ax=ax(x-4),∴抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)恒经过点(4,

0),即y2与y1都经过同一个定点(4,0).(2)∵y2=ax2-4ax=a(x-2)2-4a,∴抛物线的顶点坐标为(2,-4a).∵直线y1=kx-4k经过抛物线y2=ax2-4ax(a≠0)的顶点,∴直线y1与抛物线y2的交点为(2,-4a),(4,0).∵当x<2时,y1>y2,∴a<0,k<0.画出大致图象如下.∴当y1>y2时,自变量x的取值范围是x<2或x>4.14.(2024安徽蚌埠月考,17, )已知一次函数y1=2x-2,二次函数y2=-x2+mx+n(m,n为常数).(1)如图,若两函数图象交于点(3,a),(b,-6),求二次函数的表达式,并写出当y1<y2时,x的取值范围;(2)请写出一组m,n的值,使两函数图象只有一个公共点,并说

明理由.解析

(1)将(3,a)代入y1=2x-2得a=6-2=4,将(b,-6)代入y1=2x-2,

得-6=2b-2,解得b=-2.∴抛物线经过点(3,4),(-2,-6).将(3,4),(-2,-

6)代入y2=-x2+mx+n,得

解得

∴y=-x2+3x+4.由图象可得,当-2<x<3时,抛物线在直线上方,∴y1<y2时,x

的取值范围是-2<x<3.(2)令-x2+mx+n=2x-2,整理得x2+(2-m)x-(2+n)=0,当Δ=(2-m)2+4

(2+n)=0时,两函数图象只有一个公共点,∴可取m=2,n=-2.答

案不唯一.15.(抽象能力)(新考向·阅读理解试题)请阅读下列解题过程.解一元二次不等式:x2-5x>0.解:设x2-5x=0,解得x1=0,x2=5,则抛物线y=x2-5x与x轴的交点坐

标为(0,0)和(5,0),画出二次函数y=x2-5x的大致图象(如图所

示),由图象可知,当x<0或x>5时,函数图象位于x轴上方,此

时y>0,即x2-5x>0,所以,一元二次不等式x2-5x>0的解集为x<0

或x>5.通过对上述解题过程的学习,请你按其解题的思路和方法解答下列问题:素养探究全练(1)上述解题过程中,渗透的数学思想有

;(2)直接写出一元二次不等式x2-5x≤0的解集:

;(3)用类似的方法解一元二次不等式-x2-3x+4>0.

解析

(1)转化思想和数形结合思想.(2)由题图可知,当