沪科版初中九年级数学上册专项素养综合练(一)二次函数表达式的三种求解方法课件

专项素养综合全练(一)

二次函数表达式的三种求解方法类型一已知图象上任意三点或三对自变量与函数的对应

值,通常设一般式1.(2023安徽安庆怀宁一模)已知二次函数的图象经过(4,-3)

和(6,-3)两点,与y轴交于点(0,21),求此二次函数的表达式.解析设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,∵二次函数的图

象经过(4,-3)和(6,-3)两点,与y轴交于点(0,21),∴可列方程组

为

解得

∴二次函数的表达式为y=x2-10x+21.2.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,y=2;当x=2时,y=7;当x=-

1时,y=-2,求这个二次函数的表达式.解析根据题意得

解得

所以该二次函数的表达式为y=x2+2x-1.3.(2024浙江金华东阳期中)已知y关于x的二次函数中,x与y

的部分对应值如下表:x-1014y236m(1)求该二次函数的表达式;(2)求m的值.解析

(1)设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将(1,6),(-1,

2),(0,3)代入,得

解得

∴该二次函数的表达式为y=x2+2x+3.(2)当x=4时,m=16+8+3=27.4.(2024安徽合肥三十八中月考)已知抛物线的顶点坐标为(-

1,-8),且过点(0,-6),求抛物线的表达式.解析根据题意设抛物线的表达式为y=a(x+1)2-8.把(0,-6)代

入抛物线表达式,得a-8=-6,解得a=2,所以抛物线的表达式是y

=2(x+1)2-8.类型二

已知顶点、对称轴或最值，通常设顶点式5.(2024安徽滁州凤阳月考)抛物线y=a(x+h)2的对称轴是直线

x=-2,且过点(1,-3).(1)求抛物线的表达式;(2)求抛物线的顶点坐标.解析

(1)∵抛物线y=a(x+h)2的对称轴是直线x=-2,∴-h=-2,

解得h=2.∴抛物线的表达式为y=a(x+2)2,∵抛物线过点(1,-3),

∴-3=9a,解得a=-

,∴抛物线的表达式为y=-

(x+2)2.(2)由(1)可知抛物线的顶点坐标为(-2,0).6.(2023安徽蚌埠怀远月考)已知一个二次函数,当x=-1时,该

函数有最小值2,且它的图象经过点(1,6),求这个二次函数的

表达式.解析根据题意设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+2,把(1,6)代

入y=a(x+1)2+2,得6=4a+2,解得a=1,∴y=(x+1)2+2.7.(2023安徽合肥庐阳一模)如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相

交于点A,点B,与y轴相交于点C,AO=BO=2,C(0,-4).(1)求抛物线的表达式;(2)如图2,点P为线段CO上一点(不与点C,O重合),过点P作CO

的垂线,与抛物线相交于点E,点F(点E在点F的左侧),设PF=m,

PC=d,求d关于m的函数表达式.

图1

图2类型三

已知图象与x轴的两个交点坐标和图象上另一个点的坐标，通常设交点式解析

(1)∵OA=OB=2,∴A(-2,0),B(2,0),∴可设抛物线表达

式为y=a(x+2)(x-2),将C(0,-4)代入表达式,得a(0+2)×(0-2)=-4,

解得a=1,∴所求抛物线的表达式为y=(x+2)(x-2),化为一般式

为y=x2-4.(2)由题意知点F的横坐标为m,且点F在抛物线y=x2-4上,∴F

(m,m2-4),∴P(0,m2-4),∵C(0,-4),∴PC=m2-4-(-4)=m2(0<m<2),

∴d关于m的函数表达式为d=m2(0<m<2).8.(2024河北保定顺平期中改编)如图,已知抛物线与x轴交于

点A,B(点B在点A右侧),交y轴于点(0,3),A点的坐标为(-3,0),

对称轴为直线x=-1,顶点为C.连接AC,BC.(1)求点B,C的坐标;(2)求△ABC的面积;(3)点P是第二象限内抛物线上的一个动点,若△ABP的面积是△ABC面积的

,求点P的坐标.解析

(1)因为A点的坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,所以根

据对称性,可知B点的坐标为(1,0).设抛物线的表达式为y=a(x

+3)(x-1),把(0,3)代入,得a·(0+3)×(0-1)=3,解得a=-1,所以函数

表达式为y=-(x+3)(x-1),化为一般式为y=-x2-2x+3.将x=-1代入

函数表达式,得y=-1+2+3=4,所以C点的坐标为(-1,4).(2)因为A(-3,0),B(1,0),所以AB=1-(-3)=4,又因为点C坐标为(-

1,4),所以S△ABC=

×4×4=8.(3)因为△ABP的面积是△ABC面积的

,所以S△ABP=

×8=4,因为点P是第二象限内抛物线上的一个动点,所以

×4×