专题03 向量的坐标表示-沪教版高一《数学》核心考点题型方法与技巧（解析版）

第第页PAGE【解析版】专题03向量的坐标表示在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具；一、《必修第二册》目录与内容提要【本章教材目录】在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具；【本章教材目录】第8章平面向量8.1向量的概念和线性运算8.2向量的数量积8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律8.3向量的坐标表示8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示8.4向量的应用【本章内容提要】1、平面向量的基本概念（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示.（2）向量的模：向量的大小，向量的模记为.（3）零向量：其模为，方向任意.（4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是.（5）平行向量：方向相同或相反的向量.（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.（7）负向量：方向相反、模相等的向量.2、向量的线性运算（1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则.（2）减去一个向量等于加上它的负向量．（3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作.（4）设、、是平面上的任意向量，、向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：.实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；.3.向量的投影与数量积（1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值.（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影.（3）向量与的数量积定义为：.（4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）.4、平面向量基本定理与向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基.（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合.（3）给定平面上两点与，则.5、坐标表示下的向量运算设向量，，则（1）.（2）.（3），.（4）.6、向量的夹角、平行与垂直设向量，，则（1）.（2）（）或（）.（3）.7、向量的应用要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决.1、平面向量基本定理条件eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2是同一平面内的两个不平行的向量结论对于这一平面内的任一向量eq\o(a,\s\up6(→))，都可唯一地表示为eq\o(e,\s\up6(→))1与eq\o(e,\s\up6(→))2的线性组合，即存在唯一的一对实数λ1，λ2，使得eq\o(a,\s\up6(→))＝λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2基底若eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2不共线，我们把{eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底【说明】（1）同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可；（2）当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的；2、平面向量的正交分解把向量eq\o(a,\s\up6(→))写成所在平面上两个不平行向量eq\o(e,\s\up6(→))1与eq\o(e,\s\up6(→))2的线性组合的过程称为eq\o(a,\s\up6(→))关于eq\o(e,\s\up6(→))1与eq\o(e,\s\up6(→))2的分解；我们特别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况，即在eq\o(e,\s\up6(→))1eq\o(e,\s\up6(→))2的情况下进行向量的分解；这种分解称为向量的正交分解；3、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中任意一个向量关于轴与轴正方向上的单位向量与的分解就是一个正交分解；这个正交分解称为向量在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对则称为向量的坐标，并直接表示成；向量的这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标代表一个向量；【说明】（1）每个向量都有唯一的坐标，相等的向量坐标相同；（2）点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A(x，y)，eq\o(a,\s\up6(→))＝(x，y)；（3）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；（4）特殊向量的坐标：eq\o(i,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(j,\s\up6(→))＝(0，1)，eq\o(0,\s\up6(→))＝(0，0)；4、位置向量必须注意，在向量的坐标表示中，我们先要作出从坐标原点出发的向量，才能用点的坐标表示向量的坐标．为此，我们把向量称为的位置向量；位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标；5、平面向量线性运算的坐标表示平面向量的线性运算的坐标运算设向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λeq\o(a,\s\up6(→))＝(λx1，λy1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)6、平面向量线数量积与夹角的坐标表示（1）已知两个非零向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，则eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2.（2）平面向量坐标表示的几个公式①向量模的坐标公式：若eq\o(a,\s\up6(→))＝(x，y)，则|eq\o(a,\s\up6(→))|2＝x2＋y2，或|eq\o(a,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2).②两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)③两向量夹角的余弦公式：设eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))是两个非零向量，eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，θ是eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的夹角，则cosθ＝eq\f(eq\o(a，\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).【特别提醒】①θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；②θ为钝角或θ＝π⇔x1x2＋y1y2<0；7、平面向量坐标表示的应用设非零向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，（1）则eq\o(a,\s\up6(→))⊥eq\o(b,\s\up6(→))⇔x1x2＋y1y2＝0.（2）则eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))⇔x1y2－x2y1＝0；题型1、对平面向量基底的理解例1、（1）如果eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2＝0，则λ1＝λ2＝0B．0能与另外一个向量a构成基底C．对实数λ1，λ2，λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2不一定在该平面内D．对平面内任一向量eq\o(a,\s\up6(→))，使eq\o(a,\s\up6(→))＝λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2的实数λ1，λ2有无数对【提示】根据有关概念及平面向量基本定理，逐一分析；【答案】A；【解析】平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1eq\o(e,\s\up6(→))1＋λ2eq\o(e,\s\up6(→))2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量eq\o(a,\s\up6(→))，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确；（2）若向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))不共线，且eq\o(c,\s\up6(→))＝2eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(d,\s\up6(→))＝3eq\o(a,\s\up6(→))－2eq\o(b,\s\up6(→))，试判断eq\o(c,\s\up6(→))，eq\o(d,\s\up6(→))能否作为基底．【解析】设存在实数λ使得eq\o(c,\s\up6(→))＝λeq\o(d,\s\up6(→))，则2eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))＝λ(3eq\o(a,\s\up6(→))－2eq\o(b,\s\up6(→)))，即(2－3λ)eq\o(a,\s\up6(→))＋(2λ－1)eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→)).由于eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而eq\o(c,\s\up6(→))，eq\o(d,\s\up6(→))不共线，故eq\o(c,\s\up6(→))，eq\o(d,\s\up6(→))能作为基底；【说明】判断考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线；此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来；题型2、平面向量基本定理的初步应用例2、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→));（1）用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))；（2）若点F在AC上，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(c,\s\up6(→))，求AF∶CF；【解析】（1）因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→))，点D是AC的中点，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(c,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→)))，因为点E是BD的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(c,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(c,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(a,\s\up6(→))；（2）设eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(0<λ<1)，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))＋λ(eq\o(c,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(a,\s\up6(→))＋λeq\o(c,\s\up6(→))；又eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(c,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(4,5)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以AF∶CF＝4∶1；【说明】1、平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的；2、平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决；题型3、用基底表示向量例3、（1）如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，BN与CM相交于点E，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，试用基底eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))；【提示】本题可过N作AB的平行线，交CM于D，利用平行线的性质结合向量的线性表示求解，也可利用三点共线的条件结合平面向量定理的唯一性求解；【解析】方法1：由已知，在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示：在△ACM中，eq\f(CN,CA)＝eq\f(ND,AM)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(ND,MB)＝eq\f(NE,EB)＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(2,3)，所以eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)(eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，3)\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(2,5)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(b,\s\up6(→))；方法2：易得eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足eq\o(AE,\s\up12(→))＝meq\o(AN,\s\up12(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)meq\o(b,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(a,\s\up6(→)).由C，E，M三点共线知存在实数n，满足eq\o(AE,\s\up12(→))＝neq\o(AM,\s\up12(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)neq\o(a,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(b,\s\up6(→)).所以eq\f(1,3)meq\o(b,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(a,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)neq\o(a,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(b,\s\up6(→)).因为eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))为基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(b,\s\up6(→))；【说明】将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解；（2）如图所示，已知平行四边形ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且eq\o(AK,\s\up6(→))＝eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(AL,\s\up6(→))＝eq\o(e,\s\up6(→))2，试用eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2表示eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))；【解析】设eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AL，\s\up6(→))＝\o(AD,\s\up6(→))＋\o(DL,\s\up6(→))，,\o(AK,\s\up6(→))＝\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BK,\s\up6(→))，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\o(e，\s\up6(→))2＝eq\o(b,\s\up6(→))＋\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))，,eq\o(e,\s\up6(→))1＝eq\o(a,\s\up6(→))＋\f(1,2)eq\o(b,\s\up6(→))，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\o(a，\s\up6(→))＝\f(2,3)2eq\o(e,\s\up6(→))1－eq\o(e,\s\up6(→))2，,eq\o(b,\s\up6(→))＝\f(2,3)2eq\o(e,\s\up6(→))2－eq\o(e,\s\up6(→))1，))∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2eq\o(e,\s\up6(→))1－eq\o(e,\s\up6(→))2)，∴eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(e,\s\up6(→))2－eq\f(4,3)eq\o(e,\s\up6(→))1；eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(4,3)eq\o(e,\s\up6(→))2－eq\f(2,3)eq\o(e,\s\up6(→))1；【说明】1、向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上，若{eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))2}是基底，则必有eq\o(e,\s\up6(→))1≠eq\o(0,\s\up6(→))，eq\o(e,\s\up6(→))2≠eq\o(0,\s\up6(→))且eq\o(e,\s\up6(→))1与e2不共线.若共线，则不能作为基底，如eq\o(0,\s\up6(→))与eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))1与2eq\o(e,\s\up6(→))1，eq\o(e,\s\up6(→))1＋eq\o(e,\s\up6(→))2与2(eq\o(e,\s\up6(→))1＋eq\o(e,\s\up6(→))2)等，均不能构成基底；2、一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.设向量eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))是平面内两个不共线的向量，若x1eq\o(a,\s\up6(→))＋y1eq\o(b,\s\up6(→))＝x2eq\o(a,\s\up6(→))＋y2eq\o(b,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y2.))题型4、平面向量的坐标表示例4、（1）如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{eq\o(i,\s\up6(→))，eq\o(j,\s\up6(→))}作为基底，若|eq\o(a,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，θ＝45°，则向量eq\o(a,\s\up6(→))的坐标为()A．(1，1) B．(－1，－1)C．(eq\r(2)，eq\r(2)) D．(－eq\r(2)，－eq\r(2))【答案】A；【解析】由题意，得eq\o(a,\s\up6(→))＝(eq\r(2)cos45°)eq\o(i,\s\up6(→))＋(eq\r(2)sin45°)eq\o(j,\s\up6(→))＝eq\o(i,\s\up6(→))＋eq\o(j,\s\up6(→))＝(1，1)；（2）已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标．【解析】设点A(x，y)，则x＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)．【说明】求点和向量坐标的常用方法：1、平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标；2、求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标；【注意】（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标；（2）求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向；（3）求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标；题型5、平面向量线性运算的坐标表示例5、（1）已知点A(0，1)，B(3，2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)【答案】A【解析】方法1：设C(x，y)，O(0，0)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－7，－4)；方法2：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．（2）已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→))，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→));（1）求eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))－eq\o(c,\s\up6(→))；（2）求点M，N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．【解析】由已知得eq\o(a,\s\up6(→))＝(5，－5)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(－6，－3)，c＝(1，8)．（1）eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))－eq\o(c,\s\up6(→))＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16)．(2)设O为坐标原点．∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(c,\s\up6(→))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)，∴M(－2，4)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(b,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)，∴N(－9，－7)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11)．【说明】1、利用平面向量坐标运算解决有关问题的基本思路：（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用．（2）利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．（3）利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数；2、利用平面向量坐标运算解决有关问题常见的应用角度有：（1）向量坐标运算的直接运用；（2）利用向量坐标运算求点的坐标；（3）利用向量坐标运算表示向量；题型6、平面向量线数量积与夹角的坐标表示例6、（1）已知eq\o(a,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(1，－2)，则eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的夹角为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)【答案】B【解析】设eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))的夹角为θ，∵|eq\o(a,\s\up6(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(b,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))＝5，∴cosθ＝eq\f(eq\o(a，\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又∵θ∈[0，π]，∴eq\o(a,\s\up6(→))与b的夹角为eq\f(π,4)；（2）已知eq\o(a,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(－1，2)；（1）求eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))夹角的余弦值；（2）若(eq\o(a,\s\up6(→))－λeq\o(b,\s\up6(→)))⊥(2eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)))，求实数λ的值．【解析】（1）因为eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→))＝4×(－1)＋3×2＝2，|eq\o(a,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋32)＝5，|eq\o(b,\s\up6(→))|＝eq\r((－1)2＋22)＝eq\r(5)，设eq\o(a,\s\up6(→))与b的夹角为θ，所以cosθ＝eq\f(eq\o(a，\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,5\r(5))＝eq\f(2\r(5),25).（2）因为eq\o(a,\s\up6(→))－λeq\o(b,\s\up6(→))＝(4＋λ，3－2λ)，2eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝(7，8)，又(eq\o(a,\s\up6(→))－λeq\o(b,\s\up6(→)))⊥(2eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→)))，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(52,9)；【说明】向量夹角问题的求解方法：由cosθ＝eq\f(eq\o(a，\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.题型7、平面向量数乘运算的坐标表示例7、（1）已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，2)，则eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(－2，－2) B．(2，2)C．(1，1) D．(－1，－1)【答案】D【解析】eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－2，－2)＝(－1，－1)；（2）已知eq\o(a,\s\up6(→))＝(－1，2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(2，1)，求：①2eq\o(a,\s\up6(→))＋3eq\o(b,\s\up6(→))；②eq\o(a,\s\up6(→))－3eq\o(b,\s\up6(→))；③eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(b,\s\up6(→))；【解析】(1)2eq\o(a,\s\up6(→))＋3eq\o(b,\s\up6(→))＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)；(2)eq\o(a,\s\up6(→))－3eq\o(b,\s\up6(→))＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．(3)eq\f(1,2)eq\o(a,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(b,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－1，2)－eq\f(1,3)(2，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，\f(2,3)))；【说明】平面向量坐标运算的技巧（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算；（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；（3）向量的线性运算可完全类比数的运算进行；题型8、平面向量坐标运算的初步应用例8、（1）已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点；【解析】设点D的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x，4－y)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得D(2，2)；当平行四边形为ACDB时，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－3，y－4)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，得D(4，6)；当平行四边形为ACBD时，由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5，3)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(－1－x，3－y)，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，得D(－6，0)，故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)；（2）已知点A(2，3)，B(5，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5λ，7λ)(λ∈R)．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，试求λ为何值时，①点P在第一、三象限的角平分线上；②点P在第三象限内．【解析】设点P的坐标为(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ，,y＝4＋7λ.))①若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝eq\f(1,2).②若点P在第三象限内，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋5λ<0，,4＋7λ<0，))∴λ<－1.【说明】坐标形式下向量相等的条件及其应用（1）条件：相等向量的对应坐标相等；（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标；题型9、平面向量共线的判定与应用例9、（1）已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求证：eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).【证明】设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由题意知eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴(x1，y1)－(－1，0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，(x2，y2)－(3，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴(x1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，(x2，y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).∵4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－(－1)×eq\f(8,3)＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).（2）已知向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(3，4)；若(3a－eq\o(b,\s\up6(→)))∥(a＋keq\o(b,\s\up6(→)))，则k＝________.【答案】－eq\f(1,3)【解析】由题意3eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→))＝(0，－10)，eq\o(a,\s\up6(→))＋keq\o(b,\s\up6(→))＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3eq\o(a,\s\up6(→))－eq\o(b,\s\up6(→)))∥(eq\o(a,\s\up6(→))＋keq\o(b,\s\up6(→)))，所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－eq\f(1,3)；【说明】向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配；利用向量平行的条件处理求值问题的思路：（1）利用向量共线定理eq\o(a,\s\up6(→))＝λeq\o(b,\s\up6(→))(eq\o(b,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→)))列方程组求解．（2）利用向量共线的坐标表示直接求解．（3）当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．题型10、平面向量坐标运算的初步应用例10、（1）已知向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(－1，2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(m，1)．若向量eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))垂直，则m＝________.【答案】7【解析】因为，eq\o(a,\s\up6(→))＝(－1，2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(m，1)，所以，eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1，3)．又eq\o(a,\s\up6(→))＋eq\o(b,\s\up6(→))与eq\o(a,\s\up6(→))垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.（2）设P(－3，－2)，Q(x，2)，则eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OQ,\s\up6(→))的夹角为钝角时，x的取值范围为_____．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，3))∪(3，＋∞)【解析】因为P(－3，－2)，Q(x，2)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－3，－2)，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x，2)，当eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OQ,\s\up6(→))的夹角为钝角时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－3x－4<0，解得x>－eq\f(4,3)，当eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OQ,\s\up6(→))反向共线时，(－3，－2)＝k(x，2)(k<0)，解得k＝－1，x＝3，所以x的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，3))∪(3，＋∞)．【说明】1、设eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))都是非零向量，eq\o(a,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(x2，y2)，θ是eq\o(a,\s\up6(→))与eq\o(b,\s\up6(→))的夹角．（1）cosθ＝eq\f(eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))；（2）eq\o(a,\s\up6(→))⊥eq\o(b,\s\up6(→))⇔x1x2＋y1y2＝0；2、注意点：（1）两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆．（2）两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角．（3）注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°；利用cosθ＝eq\f(eq\o(a,\s\up6(→))·eq\o(b,\s\up6(→)),|eq\o(a,\s\up6(→))||eq\o(b,\s\up6(→))|)判断θ的值时，要注意当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°；1、已知向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(b,\s\up6(→))＝(3，1)，则eq\o(b,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→))=【答案】(2，－1)；【解析】由题意得eq\o(b,\s\up6(→))－eq\o(a,\s\up6(→))＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．2、若A(3，1)，B(2，－1)，则eq\o(BA,\s\up6(→))的坐标是【答案】(1，2)；【解析】eq\o(BA,\s\up6(→))＝(3，1)－(2，－1)＝(1，2)．3、已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则点C的坐标为________________【答案】(0，4)【解析】设C(x，y)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x＋2，y－3)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，1)．由eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，得x＝0，y＝4.故点C的坐标为(0，4)；4、已知2024个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2023个向量的和的坐标为________．【答案】(－8，－15)【解析】设其余2023个向量的和的坐标为(x，y)，则(x，y)＋(8，15)＝(0，0)，解得(x，y)＝(－8，－15)，所以其余2023个向量的和的坐标为(－8，－15)．5、已知点A(2023，12)，B(－1，8)，将向量eq\o(AB,\s\up6(→))按向量eq\o(a,\s\up6(→))＝(2023，27)的方向平移，所得到的向量坐标是()【答案】(－2024，－4)；【解析】∵A(2023，12)，B(－1，8)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2024，－4)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))按向量a的方向平移后不发生变化，∴平移后eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2024，－4)．6、已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2)))，B(1，4)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝(sinα，cosβ)，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝____________【答案】eq\f(π,6)或－eq\f(π,2)【解析】由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))＝(sinα，cosβ)，∴sinα＝－eq\f(1,2)，cosβ＝eq\f(1,2)，又∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝－eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,3)或－eq\f(π,3)，∴α＋β＝eq\f(π,6)或－eq\f(π,2).7、如