专题02 复数的几何意义-沪教版高一《数学》核心考点题型方法与技巧（解析版）

第第页PAGE【解析版】专题02复数的几何意义在数学的发展史上有一件有意思的事：数学家在研究三次方程求解的过程中，即使最终得到实根，过程中却常常要对一些负数开平方，遇到了难以自圆其说的尴尬；于是，一种被称作为“虚数”的新数于16世纪开始被引入了数学实数与虚数合称为复数；复数是人类理性思维的演绎成果，它的产生首先是因为数学家解决数学自身问题的需要，在很长的一段时间内，人们并不清楚它与现实世界到底有怎样的联系；后来，数学家建立了复数与向量，即复数与几何的关联，在大学学习力学和电磁学时，会看到复数在其中的重要作用，复数在数学及其他科学领域中也越来越体现出它的重要性；现在，复数已经成为数学工作者与许多领域的科技人员熟练掌握并广泛应用的基本数学工具；一、《必修第二册》目录与内容提要【本章教材目录】9.1复数及其四则运算9.1.1复数的引入与复数的四则运算；9.1.2复数的实部、虚部与共轭；9.2复数的几何意义9.2.1复平面与复数的坐标表示；9.2.2复数的向量表示；9.2.3复数加法的平行四边形法则；9.2.4复数的模9.3实系数一元二次方程9.3.1实数的平方根；9.3.2实数系一元二次方程；*9.4复数的三角形式9.4.1复数的三角形式；9.4.2三角形式下复数的乘除运算；9.4.3三角形式下复数的乘方与开方【本章内容提要】复数是我们继自然数、整数、有理数和实数的学习之后，新认识的一种数.1、复数系与相关概念（1）虚数单位，满足.（2）复数的代数形式：（）.（3）复数的相等：（）的充要条件是同时为；复数（）的充要条件是且.（4）复数的实部与虚部：复数（）的实部是，虚部是；虚部为的复数是实数，虚部不为的复数称为虚数，实部为的虚数称为纯虛数.；（5）复数的共轭：复数（）的共轭复数是；（6）复数的模：复数（）的模是；复数的模有如下性质：对、、，，；；；（复数的三角不等式）.2、复数的四则运算（1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件及合并同类项以化简结果：设；．（2）两个复数进行除法（除数不为）运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数，然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果：设，.本质：化简分式.（3）复数模对乘、除的分配性：复数积（商）的模等于模的积（商）：设；（）.3、复数的坐标表示（1）复平面：表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中轴叫做实轴，轴叫做虛轴.（2）复数的坐标表示与向量表示：复数（）可用复平面上坐标为的点来表示，也可以用从坐标原点出发的向量来表示.（3）复数模的几何意义：复数（）的模等于点与原点的距离，也等于向量的模.（4）两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量.（5）两复数差的模的几何意义：两复数、差的模是这两个复数在复平面上对应点、之间的距离，即.4、实系数一元二次方程给定方程（，），并令为其判别式，则（1）当时，方程有两个不相等的实根；（2）当时，方程有两个相等的实根（二重根）（3）当时，方程有一对共轭虛根*5、复数的三角形式（1）复数的辐角：设复数对应复平面上的点，则以原点为顶点、轴的正半轴为始边、射线为终边的角称为的辐角，记作；满足的辐角称为的辐角主值，记为.（2）复数的三角形式：设复数的模为，辐角为，则，复数的这种表示形式称为它的三角形式.（3）三角形式下复数的乘法与除法公式：给定三角形式的复数与，则，（）.（4）三角形式下复数的乘方与开方公式：给定三角形式的复数，则对任何正整数，有：；的次方根，；1、复平面及其相关概念复平面的有关概念：在平面上建立直角坐标系，以坐标为的点表示复数，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面叫做复平面；在复平面上，轴上的点具有形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把轴叫做实轴；同理，轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数，所以把轴叫做虚轴坐标原点表示实数；【特别提醒】（1）虚轴上的原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数；故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；（2）复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义，也是复数的另一种表示方法，即几何表示法；2、共轭复数的“数、形”特征共轭复数和在复平面上所对应的点和关于轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭；特别地，如果，即是实数，则，此时、在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点；【典例】3、复数、点与向量“三者”间的对应复数一一对应复平面内的点；复数一一对应平面向量；因此，复数、复平面内的点和平面向量之间的关系可用右图表示.为方便起见，常把复数说成点或向量；【规定】1、相等的向量表示同一个复数；2、本质：建立了复数与复平面上的点,复数与向量的对应关系；3、应用：通过两种对应关系的建立，可以直观、有效地表示复数，便于理解复数的意义；4、复数加、减法的几何意义（1）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行；设复数对应的向量分别为，四边形为平行四边形，则与对应的向量是，与对应的向量是;（2）实质:利用几何图形的变换解释复数的加、减运算(数形结合)；（3）应用:广泛应用于复数的加、减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目；5、复数的模1、复数，对应的向量为，则向量的模叫作复数的模(或绝对值)，2、记作：；3、由模的定义可知：；4、复数模的几何意义是：复数对应复平面上的点到原点的距离；5．复数z的方程在复平面上表示的图形（1）a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；（2）|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．6、复数模的性质①；②；③；④；⑤；⑥；7、复平面上两点间距离公式设、是复平面上的两个点，其对应的复数、，则由平面上两点间距离公式可知：题型1、准确把握复数与点的对应例1、（1）当实数m分别取何值时，在复平面内，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点Z满足下列条件？①在x轴上方；②在实轴负半轴上；【解析】①∵点Z在x轴上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2；②若点Z在实轴负半轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))解得m＝1；（2）在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：①在虚轴上；②在第二象限；③在y＝x的图象上，分别求实数m的值或取值范围．【解析】复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.①由题意，得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.②由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－8<0，,m2＋3m－10>0，))∴2<m<4.③由题意，得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq\f(2,5).【说明】1、复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义；2、利用复数与点的对应关系解题的步骤：①找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据；②列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解；题型2、理解与会用复数与平面向量的对应例2、（1）若O为复平面的原点，向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是（）A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i【答案】C【解析】由复数的几何意义，可得eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为0；（2）在复平面内，把复数1＋i对应的向量按逆时针方向旋转180°，则所得向量对应的复数为___________【答案】－1－i【解析】复数1＋i对应的点的坐标为(1，1)，对应的向量按逆时针方向旋转180°，则对应的点的坐标为(－1，－1)，所得向量对应的复数为－1－i；【说明】复数与平面向量的对应关系：1、根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；2、解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化；题型3、复数的模及其计算例3、（1）求复数z1＝6＋8i及z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比较它们模的大小；【提示】用求模的公式直接计算；【解析】因为z1＝6＋8i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i，所以|z1|＝eq\r(62＋82)＝10，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋－\r(2)2)＝eq\f(3,2).因为10>eq\f(3,2)，所以|z1|>|z2|；【说明】1、计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算；2、两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；（2）已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求：复数z；【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i；【说明】1、定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值；2、记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|；3、公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)；题型4、复数的模与点的轨迹的交汇例4、（1）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形（）A．一个圆 B．线段C．两点 D．两个圆【答案】A【解析】∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的一个圆；（2）已知复数z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.①求|z1|及|z2|并比较大小；②设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？【解析】①因为z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以|z1|＝eq\r((\r(3))2＋12)＝2，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1，所以|z1|>|z2|;②由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，根据复数几何意义可知|z|表示复数z对应的点到原点的距离，所以，|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆及其外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆及其内部所有点组成的集合，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包括两边界)．题型5、共轭复数的几何特征例5、（1）如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）A．AB．BC．CD．D【答案】B；【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，则z的共轭复数为a－bi，其中a<0，－b<0，故应为B点；（2）复数eq\x\to(z)＝1＋eq\r(3)i和z＝1－eq\r(3)i在复平面内的对应点关于（）A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称【答案】A；【解析】复数eq\x\to(z)＝1＋eq\r(3)i在复平面内的对应点为Z1(1，eq\r(3))，复数z＝1－eq\r(3)i在复平面内的对应点为Z2(1，－eq\r(3))，点Z1与Z2关于实轴对称，故选A，【说明】共轭复数和在复平面上所对应的点和关于轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭；特别地，如果，即是实数，则，此时、在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点；题型6、共轭复数模的性质及其应用例6、（1）设，则=（）A．2 B． C． D．1【答案】C；【解析】解法1：；解法2：；（2）若，则________.【答案】【解析】解法1：.解法2：，所以.【说明】复数模的性质：①；②；③；④；⑤；⑥；【重要结论】（1）一个重要的复数等式：;（想一想：如何推导）（2）一个重要的复数不等式：;（想一想：等号成立条件）题型7、复数加法（减法）的几何意义例7、如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i；求：（1）eq\o(AO,\s\up6(→))对应的复数；（2）eq\o(CA,\s\up6(→))对应的复数；（3）eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数及|eq\o(OB,\s\up6(→))|的长度；【解析】（1）因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))对应的复数为－3－2i；（2）因为eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37)；【说明】复数与向量的对应关系的两个关注点：（1）复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应；（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变；题型8、利用代数方法求复数模的最值例8、（1）已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R)，则|z|的最小值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2) C．eq\f(\r(3),2) D．1【答案】B【解析】因为z＝a＋(a－1)i，所以|z|＝eq\r(a2＋（a－1）2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2)，所以|z|的最小值为eq\f(\r(2),2)；（2）已知复数z满足eq\f(z－1,z＋1)是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________.【答案】eq\f(\r(33),3)【解析】设z＝a＋bi，则eq\f(z－1,z＋1)＝eq\f(a2＋b2－1＋2bi,（a＋1）2＋b2).因为eq\f(z－1,z＋1)为纯虚数，所以a2＋b2＝1(b≠0)，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.所以|z2＋z＋3|＝|a2－b2＋2abi＋a＋bi＋3|＝|a2－b2＋a＋3＋(2ab＋b)i|＝eq\r(（a2－b2＋a＋3）2＋b2（2a＋1）2)＝eq\r(12a2＋8a＋5)＝eq\r(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)))\s\up12(2)＋\f(11,3)).当a＝－eq\f(1,3)时，|z2＋z＋3|取得最小值，最小值为eq\f(\r(33),3).题型9、利用复数模的几何意义求最值例9、（1）设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2eq\r(2)＋i|的最大值是()A．3 B．2eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．4【答案】D【解析】|z|＝1表示单位圆上的点，那么|z＋2eq\r(2)＋i|表示单位圆上的点到点(－2eq\r(2)，－1)的距离，求最大值转化为点(－2eq\r(2)，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－2eq\r(2)，－1)到原点的距离为3，所以所求最大值为4；（2）如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B．eq\f(1,2)C．2D．eq\r(5)【答案】A【解析】设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以点Z在线段Z1Z2上移动，|ZZ3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1；【说明】两个复数差的模的几何意义1、|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．2、|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．3、涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．题型10、利用复数模的几何意义求最值例10、（1）△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】A；【解析】设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，及由|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．（2）已知复数z1＝eq\r(3)－i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.①求|eq\o(z1,\s\up6(－))|，|eq\o(z2,\s\up6(－))|的值并比较大小；②设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．【解析】①|eq\o(z1,\s\up6(－))|＝|eq\r(3)＋i|＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，|eq\o(z2,\s\up6(－))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝1.所以|eq\o(z1,\s\up6(－))|＞|eq\o(z2,\s\up6(－))|.②由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.不等式1≤|z|≤2等价于不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|z|≤2，,|z|≥1.))因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示；1、已知复平面内的向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数分别是－2＋I，3＋2i，则|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝________.【答案】eq\r(10)【解析】∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，∴|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).2、若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，2)【解析】z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2.3、若复数z对应的点在y＝2x的图象上，且|z|＝eq\r(5)，则复数z＝________________.【答案】1＋2i或－1－2i【解析】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)，得eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.4、已知复数z对应的向量为Oeq\o(Z,\s\up8(→))(O为坐标原点)，Oeq\o(Z,\s\up8(→))与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为【答案】－1＋eq\r(3)i；【解析】设复数z对应的点为(x，y)，则x＝|z|·cos120°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，y＝|z|·sin120°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴复数z对应的点为(－1,eq\r(3))，∴z＝－1＋eq\r(3)i.5、已知O为坐标原点，eq\o(OZ,\s\up8(→))1对应的复数为－3＋4i，eq\o(OZ,\s\up8(→))2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若eq\o(OZ,\s\up8(→))1与eq\o(OZ,\s\up8(→))2共线，则a的取值为【答案】－eq\f(3,8)；【解析】因为eq\o(OZ,\s\up8(→))1对应的复数为－3＋4i，eq\o(OZ,\s\up8(→))2对应的复数为2a＋i，所以eq\o(OZ,\s\up8(→))1＝(－3,4)，eq\o(OZ,\s\up8(→))2＝(2a,1)；因为eq\o(OZ,\s\up8(→))1与eq\o(OZ,\s\up8(→))2共线，所以存在实数k使eq\o(OZ,\s\up8(→))2＝keq\o(OZ,\s\up8(→))1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8)，))即a的值为－eq\f(3,8)；6、已知集合M＝{z||z＋1|＝1}，集合N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝【答案】{0，－2}【解析】利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴．M∩N的几何意义是x轴