专题03 幂、指数与对数-沪教版高一《数学》上学期期末复习课专题（解析版）

第第页PAGE【解析版】专题03幂、指数与对数第3章幂、指数与对数【课本目录】3.1幂与指数；3.1.1指数幂的拓展；3.2对数：3.2.1对数的定义；3.2.2对数的运算性质；3.2.3对数的换底；本章内容提要1.指数幂的拓展：正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂.2.幂的运算性质：对任意给定的正实数及实数，成立（1）；（2）；（3）.3.对数的定义：当3.对数的定义：当是不等于1的正数，时，以为底的对数是满足的唯一的数；4.对数的基本性质：设是不等于1的正数，是任意给定的正数，是任意给定的实数，成立（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（换底公式）如果也是一个不等于1的正数，那么题型1、根式、指数式的化简与求值例1、（1）化简的结果为（）A．meq\r(m) B．meq\r(－m)C．－meq\r(m) D．－meq\r(－m)【答案】D；【解析】因为m＜0，所以，＝eq\r(－m3)＝－meq\r(－m)；（2）若a＋b＝，ab＝(m＞0)，则a3＋b3＝【答案】eq\f(1,2)m；【解析】a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝＝eq\f(1,2)m；【说明】指数幂运算的一般原则：1、有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数．底数是带分数的，先化成假分数；4、若是根式，则化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；题型2、有理数指数幂的运算例2、（1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq\f(37,48)；（2）eq\r(6\f(1,4))－eq\r(3,3\f(3,8))＋eq\r(4,0.0625)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.064\f(1,3)))\s\up12(－2.5)))eq\s\up12(\f(2,5))－π0.【解析】（1）原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))\s\up12(2)))eq\s\up12(0.5)＋102＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(3)))－eq\f(2,3)－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.（2）原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)))eq\s\up12(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(1,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(625,10000)))eq\s\up12(\f(1,4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,1000)))eq\s\up12(\f(1,3)×（－2.5）×\f(2,5))－1＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(－1)－1＝3；【说明】1、有理数指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算；（2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则；2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式；（2）运用分数指数幂的运算法则求解；3、对于化简或求值结果的要求：对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序；题型3、结合乘法公式求含指数幂的代数式例3、（1）已知＋＝eq\r(5)，则x2＋x－2＝________.【答案】7；【解析】将＋＝eq\r(5)，两边平方得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.（2）已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2；③x3＋x－3【解析】①设m＝＋，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为m>0，所以m＝3，即＋＝3.②设n＝－，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，因为n∈R，所以n＝±eq\r(5)，即－＝±eq\r(5).所以x－x－1＝(＋)(－)＝±3eq\r(5)，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21eq\r(5).③由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.【说明】利用整体代换法求分数指数幂：1、整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键；2、利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2；题型4、由根式的意义求范围例4、（1）求使等式eq\r((a－3)(a2－9))＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的实数a的取值范围．【解析】eq\r((a－3)(a2－9))＝eq\r((a－3)2(a＋3))＝|a－3|eq\r(a＋3)，要使|a－3|eq\r(a＋3)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3,3]．（2）若eq\r((3a－1)2)＝eq\r(3,(1－3a)3)，求实数a的取值范围．【解析】eq\r((3a－1)2)＝|3a－1|，eq\r(3,(1－3a)3)＝1－3a.因为|3a－1|＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤eq\f(1,3).【说明】由根式的意义求范围应该注意：对于eq\r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点：1、只有a≥0才有意义；2、只要eq\r(n,a)有意义，eq\r(n,a)必不为负；题型5、利用根式的性质化简或求值例5、（1）化简下列各式：①eq\r(7,(－2)7)；②eq\r(4,(3a－3)4)(a≤1)；③eq\r(3,a3)＋eq\r(4,(1－a)4)；【提示】注意：用好根式的运算性质；【解析】①原式＝(－2)＋(－2)＝－4；②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4；③原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))（2）已知－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．【解析】原式＝eq\r((x－1)2)－eq\r((x＋3)2)＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4;∴原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x<1，,－4，1≤x<3.))【说明】正确区分eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n：1、(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围；2、eq\r(n,an)中的a可以是全体实数，eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性；有限制条件根式的化简1、有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．2、有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负；题型6、对数式的化简与求值例6、（1）若lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x＝()A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3C．eq\f(ab2,c3) D．eq\f(2ab,3c)【提示】注意：遇对数先保证有意义与用好对数运算性质；【答案】C；【解析】∵lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lgeq\f(ab2,c3)，∴x＝eq\f(ab2,c3).（2）计算(log32＋log23)2－eq\f(log32,log23)－eq\f(log23,log32)的值为【答案】2；【解析】原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.【说明】对数运算的一般思路：1、将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；2、将同底对数的和、差、倍合并；3、ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化；4、利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；题型7、换底公式及其应用例7、（1）计算：(log43＋log83)log32＝________.【答案】eq\f(5,6)【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,log34)＋\f(1,log38)))log32＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2log32)＋\f(1,3log32)))log32＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).（2）已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.【解析】∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a，于是log3645＝eq\f(log18（9×5）,log18\f(182,9))＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).【说明】1、换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.2、换底公式应用于代数式表示对数：换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.题型8、利用对数式与指数式互化求值的方法例8、（1）若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是()A.eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2 B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1C.eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1 D.eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,2)【答案】B；【解析】∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴eq\f(1,a)＝lg2，eq\f(1,b)＝lg5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg5＝lg10＝1，故选B；（2）已知2x＝3y＝5z，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，求x，y，z.【解析】令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴eq\f(1,x)＝logk2，eq\f(1,y)＝logk3，eq\f(1,z)＝logk5，由eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.【说明】利用对数式与指数式互化求值的方法：1、在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化；2、对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解；题型9、对数的实际应用例9、（1）一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq\f(1,3)？(结果保留整数，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)【解析】假设经过x年，该物质的剩余量是原来的eq\f(1,3).由题意可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(x)＝eq\f(1,3)，∴x＝logeq\f(3,4)eq\f(1,3)＝eq\f(lg\f(1,3),lg\f(3,4))＝eq\f(－lg3,lg3－lg4)＝eq\f(－lg3,lg3－2lg2)≈eq\f(－0.4771,0.4771－0.6020)≈4.故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的eq\f(1,3).（2）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)，单位是m/s，θ表示鱼的耗氧量的单位数.（1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？（2）某条鲑鱼想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？【解析】（1）由v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)可知，当θ＝900时，v＝eq\f(1,2)log3eq\f(900,100)＝eq\f(1,2)log39＝1(m/s)；所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s；（2）设鲑鱼原来的游速、耗氧量分别为v1，θ1，提速后的游速、耗氧量分别为v2，θ2；由v2－v1＝1，即eq\f(1,2)log3eq\f(θ2,100)－eq\f(1,2)log3eq\f(θ1,100)＝1，∴eq\f(1,2)log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ2,100)÷\f(θ1,100)))＝1，即log3eq\f(θ2,θ1)＝2，得eq\f(θ2,θ1)＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍；【说明】解决对数应用题的一般步骤：1、审题：理解题意，理解关键词及其字母的含义；2、建模：根据已知条件，列出指数式或对数式；3、解模：运用对数、指数及其相关数学知识、公式解之；4、回归：还原为实际问题，归纳结论；题型10、相关新颖题与创新题新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性．新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色．机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力．例10、根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)（）A．1033 B．1053C．1073 D．1093【答案】D；【解析】由已知得，lgeq\f(M,N)＝lgM－lgN≈361×lg3－80×lg10≈361×0.48－80＝93.28＝lg1093.28.故与eq\f(M,N)最接近的是1093.例11、在通信技术领域中，香农公式C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N)))是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．根据香农公式，以下说法正确的命题序号是(参考数据：lg5≈0.6990)；①．若不改变信噪比eq\f(S,N)，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍②．若不改变信道带宽W和信道内所传信号的平均功率S，而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍③．若不改变信道带宽W，而将信噪比eq\f(S,N)从255提升至1023，则C增加了25%④．若不改变信道带宽W，而将信噪比eq\f(S,N)从999提升至4999，则C大约增加了23.3%【答案】①③④【解析】①正确；对于②，因为Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2S,N)))≠Wlog2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(2S,N)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,N)))2))＝2Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N)))，所以②错误；对于③，若将信噪比eq\f(S,N)从255提升至1023，则eq\f(Wlog21＋1023,Wlog21＋255)－1＝eq\f(log2210,log228)－1＝eq\f(10,8)－1＝eq\f(1,4)，所以C增加了25%，所以③正确；对于④，若将信噪比eq\f(S,N)从999提升至4999，则eq\f(Wlog21＋4999,Wlog21＋999)－1＝eq\f(log25000,log21000)－1＝eq\f(lg5000,lg1000)－1＝eq\f(lg5＋3,3)－1＝eq\f(lg5,3)≈0.233，所以④正确．【答案】①③④例12、已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，则abc的值为________．【答案】1【解析】方法1：设ax＝by＝cz＝t(t>0)，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,logat)＋eq\f(1,logbt)＋eq\f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1；方法2：令ax＝by＝cz＝t，∵a，b，c是不等于1的正数，xyz≠0，∴t>0且t≠1，∴x＝eq\f(lgt,lga)，y＝eq\f(lgt,lgb)，z＝eq\f(lgt,lgc)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(lga,lgt)＋eq\f(lgb,lgt)＋eq\f(lgc,lgt)＝eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgt)，∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，且lgt≠0，∴lga＋lgb＋lgc＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.题型11、相关综合题例13、若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝________.【答案】8或eq\f(1,2)【解析】设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1，所以x＝23＝8或x＝2－1＝eq\f(1,2).例14、若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.【答案】－3【解析】由log(1－x)(1＋x)2＝1，得(1＋x)2＝1－x，∴x2＋3x＝0，∴x＝0或x＝－3.注意到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,1－x≠1，,1＋x≠0，))∴x＝－3例15、若eq\r(x2＋2x＋1)＋eq\r(y2＋6y＋9)＝0，则(x2019)y＝_____________________________.【答案】－1；【解析】因为eq\r(x2＋2x＋1)＋eq\r(y2＋6y＋9)＝0，所以eq\r(（x＋1）2)＋eq\r(（y＋3）2)＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，所以x＝－1，y＝－3.所以(x2019)y＝[(－1)2019]－3＝(－1)－3＝－1.例16、设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．【答案】答案：eq\f(1,4)2；【解析】由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝eq\f(1,5).则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq\f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝2；答案：eq\f(1,4)2例17、对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w有ax＝by＝cz＝70w，且eq\f(1,w)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)，求a，b，c的值；【解析】∵ax＝70w且x，w为非零实数，∴(ax)eq\f(1,xw)＝(70w)eq\f(1,xw)，∴aeq\f(1,w)＝70eq\f(1,x).同理可得beq\f(1,w)＝70eq\f(1,y)，ceq\f(1,w)＝70eq\f(1,z)，即(abc)eq\f(1,w)＝70eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝70eq\f(1,w).a，b，c均为正整数，∴abc＝70＝2×5×7，又a，b，c为正整数且a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.例18、已知函数f(x)＝eq\f(22x,2＋22x).（1）求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，f(3)＋f(－2)的值．（2）探求f(x)＋f(1－x)的值．（3）利用（2）的结论求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,100)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,100)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(98,100)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(99,100)))的值．【解析】（1）feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(2\s\up6(),2＋2\s\up6())＋eq\f(2\s\up6(),2＋2\s\up6())＝eq\f(1,2\s\up6()＋1)＋eq\f(2\s\up6(),1＋2\s\up6())＝1.f(3)＋f(－2)＝eq\f(26,2＋26)＋eq\f(2－4,2＋2－4)＝eq\f(26,2＋26)＋eq\f(1,25＋1)＝eq\f(26,2＋26)＋eq\f(2,26＋2)＝1.（2）f(x)＋f(1－x)＝eq\f(22x,2＋22x)＋eq\f(22（1－x）,2＋22（1－x）)＝eq\f(4x,2＋4x)＋eq\f(41－x,2＋41－x)＝eq\f(4x,2＋4x)＋eq\f(4,2·4x＋4)＝eq\f(4x,2＋4x)＋eq\f(2,4x＋2)＝eq\f(4x＋2,2＋4x)＝1.（3）由(2)知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,100)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(98,100)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(99,100)))＝eq\f(99,2).一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、若有意义，则x的取值范围是【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))【解析】将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<eq\f(1,2).2、当x<0时，化简：x＋eq\r(4,x4)＋eq\f(\r(3,x3),x)＝________.【答案】1【解析】原式＝x＋|x|＋eq\f(x,x)＝x－x＋1＝1；3、已知－1<x<2，化简：eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1)【答案】1－2x.；【解析】原式＝eq\r(x－22)－eq\r(x＋12)＝|x－2|－|x＋1|.因为－1<x<2，所以x＋1>0，x－2<0，所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.4、已知2a＝5b＝10，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________.【答案】1【解析】因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510；根据换底公式得a＝eq\f(1,lg2)，b＝eq\f(1,lg5)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg5＝1；5、log23·log34·log42＝________.【答案】1【解析】log23·log34·log42＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg2,lg4)6、已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于【答案】eq\f(a＋b,b)；【解析】log36＝eq\f(lg6,lg3)＝eq\f(lg2＋lg3,lg3)＝eq\f(a＋b,b).7、若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________．【答案】eq\r(3)【解析】方法1：由已知可得eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lg3,lgc)＝2，即eq\f(lg3,lga)＝2，∴lg3＝2lga，∴a2＝3，a＝eq\r(3).方法2：由已知得logab·eq\f(logac,logab)·eq\f(loga3,logac)＝2，即loga3＝2，∴a＝eq\r(3).8、若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则eq\f(x,y)＝________.【答案】4【解析】因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，y>0，,x－2y>0，,xy＝x－2y2.))由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x>0，y>0且x－2y>0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则eq\f(x,y)＝4.9、若eq\r((x2－2x－3)2)＝－x2＋2x＋3，则实数x的取值范围是________．【答案】[－1,3]【解析】因为eq\r((x2－2x－3)2)＝|x2－2x－3|＝－x2＋2x＋3，所以x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3.10、已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．【答案】4【解析】因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2m＋n＝2－2，①,am－n＝28，②))所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.将am＝22代入②得22·a－n＝28，所以an＝2－6，所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6＝22＝4.二、选择题（共4小题每小题4分，满分16分）11、当eq\r(2－x)有意义时，化简eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)的结果是()A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x【答案】C【解析】因为eq\r(2－x)有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝eq\r((x－2)2)－eq\r((x－3)2)＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.12、若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－logaeq\f(1,x)；④eq\r(n,logax)＝eq\f(1,n)logax；⑤eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x).其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．13、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq\r(4,(a－b)4)的值为()A．a＋bB．－(a＋b)C．a－bD．b－a【答案】D；【解析】由题图知f(－1)＝a－b＋0.1<0，所以，a－b<0.；所以，eq\r(4,(a－b)4)＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.14、已知ab＝－5，则aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))的值是()A．2eq\r(5)B．0C．－2eq\r(5)D．±2eq\r(5)【答案】B【解析】由题意知ab<0，aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))＝aeq\r(－\f(ab,a2))＋beq\r(－\f(ab,b2))＝aeq\