七年级上册数学培优讲义（绝对值）第三讲

绝对值绝对值内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义.会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：符号是负号.绝对值是.求字母的绝对值：①②③利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数.绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0.那么这若干个非负数都必为0.例如：若.则..绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数.也不小于这个数的相反数.即.且；（2）若.则或；（3）；；（4）；的几何意义：在数轴上.表示这个数的点离开原点的距离．的几何意义：在数轴上.表示数、对应数轴上两点间的距离．【经典例题1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A、±2B、2C、-2D、4【题目难度】★【解题思路】此题要全面考虑.原点两侧各有一个点到原点的距离为2.即表示2和-2的点．【题目答案】根据题意.知到数轴原点的距离是2的点表示的数.即绝对值是2的数.应是±2．

故选A．【考点难点】利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题.体现了数形结合的数学思想．【经典例题2】下列说法正确的有（）

①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等.那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数.也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A、②④⑤⑥B、③⑤C、③④⑤D、③⑤⑥【题目难度】★★【解题思路】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断．【题目答案】①0是有理数.|0|=0.故本小题错误；

②互为相反数的两个数的绝对值相等.故本小题错误；

③互为相反数的两个数的绝对值相等.故本小题正确；

④有绝对值最小的有理数.故本小题错误；

⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的.所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示.故本小题正确；

⑥只有符号不同的两个数互为相反数.故本小题错误．

所以③⑤正确．

故选B．【考点难点】本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点.熟知以上知识是解答此题的关键．【经典例题3】如果a的绝对值是2.那么a是（）A、2B、-2C、±2D、【题目难度】★【解题思路】根据题意可知：绝对值等于2的数应该是±2．【题目答案】2的绝对值是2.-2的绝对值也是2.所以a的值应该是±2．

故选C．【考点难点】本题考查了绝对值的概念.学生要熟练掌握．【经典例题4】若a＜0.则4a+7|a|等于（）A、11aB、-11aC、-3aD、3a【题目难度】★★【解题思路】：本题考查有理数的绝对值问题.如果用字母a表示有理数.则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：

①当a是正有理数时.a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时.a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时.a的绝对值是零【题目答案】：解：∵a＜0.

∴|a|=-a.4a+7|a|=4a+7|-a|=4a-7a=-3a．

选C．【经典例题5】一个数与这个数的绝对值相等.那么这个数是（）A、1.0B、正数C、非正数D、非负数【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】解：因为一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0.

所以一个数与这个数的绝对值相等.那么这个数是非负数．

故选D．【经典例题6】已知|x|=5.|y|=2.且xy＞0.则x-y的值等于（）A、7或-7B、7或3C、3或-3D、-7或-3【题目难度】★★【解题思路】先根据绝对值的定义求出x、y的值.再由xy＞0可知x、y同号.根据此条件求出x、y的对应值即可．【题目答案】解：∵|x|=5.|y|=2.

∴x=±5.y=±2.

∵xy＞0.

∴当x=5时.y=2.此时x-y=5-2=3；

当x=-5时.y=-2.此时x-y=-5+2=-3．

故选C．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及有理数的加减法.熟知绝对值的性质是解答此题的关键．【经典例题7】若.则x是（）A、正数B、负数C、非负数D、非正数【题目难度】★★【解题思路】本题作为选择题可用排除法进行解答.由于是分式.所以x≠0.故可排除C、D；再根据x的取值范围进行讨论即可．【题目答案】：解：∵是分式.

∴x≠0.

∴可排除C、D.

∵当x＞0时.原式可化为=1.故A选项错误．

故选B．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【经典例题8】已知：a＞0.b＜0.|a|＜|b|＜1.那么以下判断正确的是（）A、1-b＞-b＞1+a＞aD、1-b＞1+a＞-b＞aC、1+a＞1-b＞a＞-bB、1+a＞a＞1-b＞-b【题目难度】★★★【解题思路】根据绝对值的定义.可知a＞0.b＜0时.|a|=a.|b|=-b.代入|a|＜|b|＜1.得a＜-b＜1.由不等式的性质得-b＞a.则1-b＞1+a.又1+a＞1.1＞-b＞a.进而得出结果．【题目答案】∵a＞0.∴|a|=a；

∵b＜0.∴|b|=-b；

又∵|a|＜|b|＜1.∴a＜-b＜1；

∴1-b＞1+a；

而1+a＞1.

∴1-b＞1+a＞-b＞a．

故选D．【考点难点】本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．【经典例题9】已知a、b互为相反数.且|a-b|=6.则|b-1|的值为（）A、2B、2或3C、4D、2或4【题目难度】★★【解题思路】根据互为相反数的两数和为0.又因为|a-b|=6.可求得b的值.代入即可求得结果判定正确选项．【题目答案】∵a、b互为相反数.

∴a+b=0.

∵|a-b|=6.

∴b=±3.

∴|b-1|=2或4．

故选D．【考点难点】此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b的值.再确定绝对值符号中代数式的正负.去绝对值符号．【经典例题10】a＜0.ab＜0.计算|b-a+1|-|a-b-5|.结果为（）A、6B、-4C、-2a+2b+6D、2a-2b-6【题目难度】★★【解题思路】：根据已知条件先去掉绝对值即可求解．【题目答案】解：∵a＜0.ab＜0.

∴b-a+1＞0.a-b-5＜0.

∴|b-a+1|-|a-b-5|

=b-a+1+a-b-5

=-4．

故选A．【经典例题11】若|x+y|=y-x.则有（）A、y＞0.x＜0B、y＜0.x＞0C、y＜0.x＜0D、x=0.y≥0或y=0.x≤0【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的定义.当x+y≥0时.|x+y|=x+y.当x+y≤0时.|x+y|=-x-y．从中得出正确答案．：【题目答案】解：∵|x+y|=y-x.

又当x+y≥0时.|x+y|=x+y.可得x=0.y≥0或者y=0.x≤0

又当x+y≤0时.|x+y|=-x-y.可得y=0.x≤0或x=0.y≥0

∴x=0.y≥0或y=0.x≤0

选D．【考点难点】此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确地判断出x.y的值是解答此题的关键．【经典例题12】已知：x＜0＜z.xy＞0.且|y|＞|z|＞|x|.那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A、是正数B、是负数C、是零D、不能确定符号【题目难度】★★★★【解题思路】：先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小.再画出数轴确定出各点在数轴上的位置.根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值.使原式得到化简．【题目答案】：解：由题意可知.x、y、z在数轴上的位置如图所示：

所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0

【经典例题13】给出下面说法：

（1）互为相反数的两数的绝对值相等；

（2）一个数的绝对值等于本身.这个数不是负数；

（3）若|m|＞m.则m＜0；

（4）若|a|＞|b|.则a＞b.其中正确的有（）A、（1）（2）（3）B、（1）（2）（4）C、（1）（3）（4）D、（2）（3）（4）【题目难度】★★★【解题思路】：分别根据绝对值的性质、相反数的定义进行解答．【题目答案】解：（1）正确.符合绝对值的性质；

（2）正确.符合绝对值的性质；

（3）正确.符合绝对值的性质；

（4）错误.例如a=-5.b=2时.不成立．

故选A．（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数.叫互为相反数；

（2）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．【经典例题14】已知a.b.c为三个有理数.它们在数轴上的对应位置如图所示.则|c-b|-|b-a|-|a-c|=_________【题目难度】★★★【解题思路】：根据图示.可知有理数a.b.c的取值范围b＞1＞a＞0＞c＞-1.然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c-b|-|b-a|-|a-c|的值．【题目答案】：解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞-1.

∴|c-b|-|b-a|-|a-c|

=-c+b-b+a-a+c

=0

故答案是0．【考点难点】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较．【经典例题15】若x＜-2.则|1-|1+x||=______若|a|=-a.则|a-1|-|a-2|=________【题目难度】★★★【解题思路】根据已知x＜-2.则可知1+x＜0.x+2＜0；再根据绝对值的定义|1-|1+x||逐步去掉绝对值可转化为-2-x

根据已知|a|=-a与绝对值的定义.那么a≤0.则|a-1|-|a-2|可去掉绝对值后【题目答案】∵x＜-2.∴1+x＜0.x+2＜0.

则|1-|1+x||=|1-[-（1+x）]|=|2+x|=-2-x；∵|a|=-a.

∴a≤0.

∴a-1＜0.a-2＜0..

则|a-1|-|a-2|=1-a-（2-a）.

=1-a-2+a.

=-1．

故答案为：-2-x.-1．【考点难点】此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确地判断出1+x＜0、x+2＜0、a≤0

进而得出a-1＜0、a-2＜0.这些是解答此题的关键.【经典例题16】.分别求的值【题目难度】★★★【解题思路】根据平方和绝对值的非负性解决.【题目答案】可得；所以【经典例题17】的最小值是_______【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的定义.对本题需去括号.那么牵涉到x的取值.因而分①当x＜-1；②当-1≤x≤5；③当x＞5这三种情况讨论该式的最小值．【题目答案】①当x＜-1.|x+1|+|x-5|+4=-（x+1）+5-x+4=8-2x＞10.

②当-1≤x≤5.|x+1|+|x-5|+4=x+1+5-x+4=10.

③当x＞5.|x+1|+|x-5|+4=x+1+x-5+4=2x＞10；

所以|x+1|+|x-5|+4的最小值是10．

故答案为：10．【考点难点】本题主要考查了绝对值的定义．如何去掉绝对值是解决本题的关键.因而采用了对x的取值讨论.去掉绝对值.进而确定式子的最小值．【经典例题18】计算=【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的定义.去掉绝对值符合.化简求值．【题目答案】==

=

=

故答案为【考点难点】解决本题的关键是去掉绝对值符号后.部分数值恰好是互为相反数.其和等于0．【经典例题19】若|a|+a=0.|ab|=ab.|c|-c=0.化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=________【题目难度】★★★★【解题思路】根据绝对值的性质进行化简：正数的绝对值是它本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．【题目答案】∵|a|+a=0.|ab|=ab.|c|-c=0.

∴a≤0.b≤0.c≥0.

∴a+b≤0.c-b≥0.a-c≤0.

∴原式=-b+a+b-c+b-a+c=b．

故答案为b．【考点难点】此题考查了绝对值的性质.同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号．【经典例题20】已知：abc≠0.且M=.当a.b.c取不同值时.M有____种不同可能．

当a、b、c都是正数时.M=______；当a、b、c中有一个负数时.则M=________；当a、b、c中有2个负数时.则M=________；

当a、b、c都是负数时.M=__________．【题目难度】★★★★【解题思路】：根据abc≠0.可以知道.a、b、c一定不可能是0.可以分三个中都是正数.只有一个负数.有2个负数.3个都是负数.4种情况进行讨论即可．【题目答案】当a、b、c中都是正数时.M=1+1+1=3；

当a、b、c中有一个负数时.不妨设a是负数.则M=-1+1+1=1；

当a、b、c中有2个负数时.不妨设a.b是负数.则M=-1-1+1=-1；

当a、b、c都是负数时.M=-1-1-1=-3；

故M有4种不同结果．课堂检测课堂检测练习1.若a的绝对值是.则a的值是（）A、2B、-2C、D、【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的意义可知：表示数a的点与原点的距离为.这样的点有两个.分别在原点的左右两侧．求出即可．【题目答案】解：∵|a|=.∴a=．

故选D．【考点难点】此题注意考查绝对值的意义.应多让学生借助数轴.直观的观察、总结、归纳结论．2.若|x|=-x.则x一定是（）A、负数B、负数或零C、零D、正数【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】：解：A、错误.例如x=0时不成立；

B、正确.符合绝对值的性质；

C、错误.x＜0时原式仍成立；

D、错误.例如|5|≠-5．

故选B．【考点难点】本题考查的是绝对的性质.根据已知条件判断出x的取值范围是解答此题的关键．练习2.如果|x-1|=1-x.那么（）A、x＜1B、x＞1C、x≤1D、x≥1【题目难度】★【解题思路】：根据|x-1|=1-x可确定x-1的符号.再根据不等式的性质解答即可．【题目答案】：解：∵|x-1|=1-x.

∴x-1≤0.

∴x≤1．

故选C．【考点难点】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

在确定x与1的大小关系时要利用不等式的相关性质．练习3.若|a-3|=2.则a+3的值为（）A、5B、8C、5或1D、8或4【题目难度】★★【解题思路】：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号.求出a的值.再把a的值代入a+3进行计算即可．【题目答案】：解：当a-3≥0.即a≥3时.原不等式可化为a-3=2.a=5.故a+3=5+3=8；

当a-3＜0.即a＜3时.原不等式可化为-a+3=2.a=1.故a+3=1+3=4．

故a+3=8或4．

故选D．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.解答此题题目是要注意分类讨论.不要漏解．练习4.若x＜2.则|x-2|+|2+x|=________________【题目难度】★★【解题思路】：已知x＜2.可得x-2＜0.先分类讨论.然后根据绝对值的性质进行求解．【题目答案】：解：∵x＜2.

∴x-2＜0.

①若-2≤x＜2.

∴|x-2|+|2+x|=-（x-2）+2+x=4；

②x＜-2.

∴x+2＜0.

∴|x-2|+|2+x|=2-x-2-x=-2x．

故答案为：4或-2x．【考点难点】此题主要考查绝对值的性质.当x＞0时.|x|=x；当x≤0时.|x|=-x.解题的关键是如何根据已知条件.去掉绝对值.还考查了分类讨论的思想.是一道好题．练习5.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【题目难度】★★【解题思路】根据绝对值的概念.即数轴上表示数的点到原点的距离叫这个数的绝对值.结合数轴.知绝对值小于6的所有整数分别是±1.±2.±3.±4.±5.0.进一步求得其和与积．【题目答案】绝对值小于6的所有整数分别是±1.±2.±3.±4.±5.0．

则它们的和是0.积是0．

故答案为0.0．【考点难点】此题考查了绝对值的意义以及有理数的加法和乘法运算．互为相反数的两个数的和是0；几个数相乘.若其中一个因数为0.则积为0．练习6.如图所示.a、b是有理数.则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________【题目难度】★★★【解题思路】先根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围.再根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】∵由数轴上a、b两点的位置可知.-1＜a＜0.b＞1.

∴a+b＞0.b-a＞0.

∴原式=-a+b+a+b+b-a=3b-a．

故答案为：3b-a．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点.能根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．练习7.已知|x|=2.|y|=3.且xy＜0.则x+y的值为_________ 【题目难度】★★★【解题思路】若|x|=2.|y|=3.则x=±2.y=±3；又有xy＜0.则xy异号；故x+y=±1．【题目答案】∵|x|=2.|y|=3.

∴x=±2.y=±3.

∵xy＜0.

∴xy符号相反.

①x=2.y=-3时.x+y=-1；

②x=-3.y=3时.x+y=1．

故答案为：±1．【考点难点】本题考查绝对值的化简.正数的绝对值是其本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．课后课后练习练习1.-19的绝对值是________【题目难度】★【解题思路】直接根据绝对值的性质进行解答即可．【题目答案】：解：∵-19＜0.

∴|-19|=19．

故答案为：19．【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.用到的知识点为：负数的绝对值是它的相反数．练习2.如果|-a|=-a.则a的取值范围是（A、a＞OB、a≥OC、a≤OD、a＜O【题目难度】★【解题思路】：根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．若|-a|=-a.则可求得a的取值范围．注意0的相反数是0．【题目答案】：解：因为一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0或相反数.所以如果|a|=-a.那么a的取值范围是a≤0．

故选C．【考点难点】此题考查的知识点是绝对值.关键明确绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．练习3