向量矩阵概念与运算

第2章向量与矩阵2矩阵的概念与运算下页1向量的概念与运算3逆矩阵4分块矩阵5矩阵的初等变换与初等矩阵6矩阵的秩7向量组的线性相关性8向量组的正交化第1节向量的概念与运算

定义1

n个数a1，a2，

，an组成的有序数组(a1,a2,

,an)，称为n维向量，记为a，其中a

i(i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.

a=(a1,a2,

,an)，a1a2an

.

a=写成列的形式，称为列向量，记为n维向量写成行的形式，称为行向量，记为下页1.1向量的概念下页

(-a1,-a2,

,-an)T，为向量a的负向量，记作-a.称向量(0,0,

,0)T为零向量，记作O.称向量如果向量a=(a1,a2,

,an)T与向量b=(b1,b2,

,bn)T都是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.a1a2an

a=本教材约定向量的形式为列向量，即或记做a

=(a1,a2,

,an)T向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):

(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+O=a

(4)a+(-a)=O(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=

k(la)(8)1

a=a1.2向量的运算定义2

设

,则（1）

（2）

（k为常数）下页向量的加法向量的数乘下页向量的减法设a、b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:

a-b,即对应分量相减.=a+(-b)例1．设解：解：a+2g+(-a)=b+(-a)

；两边加a

的负向量a+(-a)+2g

=b+(-a)

；交换律O+2g

=b-a

；性质4a+(-a)+2g

=b-a

；约定（减法）2g

=b-a

；性质3½*2g

=½*(b-a)；数乘运算1g

=½*(b-a)；恒等变换g

=½*(b-a)；性质8下页例2．设说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.(计算结果，略.)定义3

设a=(a1,a2,

,an

)T与b=(b1,b2,

,bn

)T是两个n维向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aTb.向量的内积例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,则a与b

的内积为(a,b)=(-1)

2+1

0+0

(-1)+2

3=4.下页内积的性质设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数.(1)

(a,b

)=(b,a

)

；

(2)(ka,b

)=k

(a,b

)

；

(3)(a+b,g

)=

(a,g

)+(b,

g

)

；

(4)

(a,a

)

0，当且仅当a=o时，有(a,a

)

=0.下页向量的长度定义4

对于向量a=(a1,a2,

,an

)T，其长度(或模)为例如，向量a=(-1,2,0,2)T的长度为向量长度的性质（了解）下页

长度为1的向量称为单位向量.

向量的单位化（标准化）下页例4．n维单位向量组e1，e2，

，en，是两两正交的：(ei,ej

)=0(i

j).例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.定义5

如果向量a与b为非零向量，它们的夹角

θ定义为：

若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直),.下页定义6

如果m个非零向量组a1，a2，

，am两两正交，即

(ai,aj

)=0(i

j)，则称该向量组为正交向量组.

如果正交向量组a1，a2，

，am的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组.下页

显然,例4中n维单位向量组e1，e2，

，en为标准正交向量组.标准正交向量组

在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn

=bm

(a11

a12

a1nb1)

(a21

a22

a2nb2)(am1

am2

amn

bm)→→→→这些有序数组可以构成一个表a11

a12

a1nb1

a21

a22

a2nb2am1

am2

amn

bm这个表就称为矩阵.2.1矩阵的概念下页第2节矩阵的概念与运算其中

aij

称为矩阵的第

i行第

j列的元素.

一般情况下，我们用大写字母

A，B，C等表示矩阵.m

n矩阵A简记为

A

(aij)m

n

或记作

Am

n.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amn定义1

由

m

n个数

aij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成一个

m行

n列的矩形表称为一个

m

n矩阵，记作下页如果矩阵A与B的行数相等，列数也相等，则称A与B是同型矩阵或同阶矩阵。

零矩阵

所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2

bm

b=.负矩阵-a11

-a12

-a1n

-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn称矩阵为A的负矩阵,记作–A.下页b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=.A=.a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

如下形式的n

阶矩阵称为上三角形矩阵.三角形矩阵

如下形式的n

阶矩阵称为下三角形矩阵.方阵

若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵.下页注意：区别方阵与行列式数表数值a110

00a22

0

00

annA=.对角矩阵

如下形式的n

阶矩阵称为对角矩阵.

对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,

,ann).

单位矩阵

如下形式的n

阶矩阵称为单位矩阵，记为En

或E.10

001

0

00

1E=.定义2

矩阵相等：设A

(aij)，B

(bij)为同阶矩阵，如果aij

bij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)，则称矩阵A与矩阵B

相等，记作A

B.下页2.2矩阵的运算

定义1

设A与B为两个m

n矩阵A

Ba11+b11

a12+b12

a1n+b1n

a21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，

A与B对应位置元素相加得到的m

n矩阵称为矩阵A与B的和，记为A

B.即C=A+B.下页2.2.1矩阵的加法

例1．设357

22043012

3A=，132

02157064

8B=

，则357

22043012

3A+B=132

02157064

8+3+15+37+2

2+02+20+14+53+70+01+62+4

3+8=489

241910076

11.=矩阵的加法：设A

(aij)m

n与B

(bij)m

n，则A+B=(aij+bij)m

n。下页

设A,B,C都是m

n矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：

（1）交换律：

A+B=B+A;（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;

矩阵的减法可定义为:

显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.

下页a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定义2

设A

(aij)为m

n矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的m

n矩阵称为数k与矩阵A的数量乘积，记为kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=.2.2.2数与矩阵的数法下页矩阵的数乘：设A

(aij)m

n

，则kA=(kaij)m

n

.

例2．设357

22043012

3A=

，则3A357

22043012

3

=33

33

53

7

3

23

23

03

43

33

03

13

2

3

3

=91521

66012

9036

9

=.下页(5)

k(A

B)

kA

kB；(6)(k

l)A

kA

lA

；(7)(kl)A

k(lA)；(8)1

A=A.

设A，B，C，O都是m

n矩阵，k，l为常数，则矩阵数乘的性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.下页

例3．设357

22043012

3A=，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9

=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16

=下页

例4．已知357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，且A+2X=B，求X.

解：A+2X+(-A)=B+(-A)

；两边加A的负矩阵A+(-A)+2X

=B+(-A)

；交换律O+2X

=B-A

；性质4A+(-A)+2X

=B-A

；约定（减法）2X

=B-A

；性质3½*2X

=½*(B-A)；数乘运算1X

=½*(B-A)；恒等变换X

=½*(B-A)；性质8下页从而得X

=½*(B-A)

例4．已知357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，且A+2X=B，求X.说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.解：下页

定义3

设A是一个m

s矩阵，B是一个s

n矩阵：构成的m

n矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积，记为C

AB.

则由元素

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即2.2.3矩阵的乘法

下页

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n).

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj

.(ai1

ai2

ais

)b1jb2j

bsj

注：A的列数等于B的行数，AB才有意义;

C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.

因此，cij

可表示为A的第i行与B的第

j列的乘积.矩阵的乘法cij

下页下页

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj

.(ai1

ai2

ais

)b1jb2j

bsj

注：

A的列数等于B的行数，AB才有意义;

C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.

因此，cij

可表示为A的第i行与B的第

j列的乘积.cij

反例．设B=.

1-2-32-10A=，010

-112151-2-32-10则AB=

010

-11215=无意义.B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法下页B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法下页

例6．设A=，4-2-21B=，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.下页

例6．设A=，4-2-21B=，求AB及BA.

4

2-6-3AB=解：-32

-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.显然，1)矩阵乘法一般不满足交换律，即AB

BA;2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，从而不能从AB=O，推出A=O或B=O

.下页1110

例7．设A=，B=，求AB及BA.

2110解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=

显然AB=BA

.

如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.下页显然AC=BC，但A

B.矩阵乘法不满足消去律.下页

例8．设例10.100000001设A=则AA=100000001100000001100000001==A.显然AA=A，但A

E，A

O

.

下页例9．对于任意矩阵A,B及相应的单位矩阵E,有EA=A,BE=B.

对于任意矩阵A,B及相应的零矩阵O，有AO=O，

OB=O.a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

=例11.线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）简记为：AX=B

.x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

其中，A=，X=，B=下页应注意的问题

(1)AB

BA

；

(3)AB=OA=O或B=O；

/

(2)AC=BCA=B；

/

矩阵乘法的性质方阵的幂

对于方阵A及自然数k

Ak=A

A

A(k个A相乘)，称为方阵A的k次幂.

方阵的幂有下列性质：

(1)ArAs=Ar+s；

(2)

(Ar)s=Ars

.

(4)AA=AA=E或A=O.

/

(1)(AB)C=A(BC)；

(2)(A+B)C=AC+BC；

(3)C(A+B)=CA+CB；

(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).问题：①(A+B)2=?②(AB)k=?③若A2=O

?

A=O下页

定义4

将m

n矩阵A的行与列互换，得到的n

m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A

。即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=则.

例如，设x=(x1

x2

xn)，y=(y1

y2

yn)，则(y1

y2

yn)xTyx1x2

xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xn