人教版八年级数学第十七章第1节《勾股定理》提高训练

第十七章第1节《勾股定理》提高训练（26）

一、单选题

1.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载.如图①，以直

角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方

形内.若图中阴影部分图形的面积为3,则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（）

图①图②

2.ABDE和^FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内,

若GHLBC,且AAGF的面积86,则五边形DECFG的周长为（）

G

D/

BH

A.10C.20

3.若实数加、〃满足「〃—3|+JF=0,且团、〃恰好是RtzXABC的两条边长，则第三条边

长为（）.

B.不C.5或"D.以上都不对

4.在平面直角坐标系中，已知点A（l,3）和点B（3,1）,点C、D分别是x轴，y轴上的动点,

则四边形ABCD的周长最小值为（）

A.572B.672C.2回+2历D.872

5.如图，在AABC中，于点。，Bb平分NABC交A。与点E,交AC于点尸，

AC=13,4。=12,8。=14,则。石的长等于（)

13

A.-B.5C.—D.7

22

6.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间

的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较

长直角边为4，较短直角边为4则的值为（)

19C.13D.169

7.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为

25,小正方形面积为1,若用％、V表示直角三角形的两直角边（x>y）,下列四个说法：①

Y+y2=25,②x-y=l,③2盯+1=25,④x+y=7.其中说法正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、解答题

8.已知长方形纸片ABCD,将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点。与点B重合，折痕为EF.

（1）ABE尸是等腰三角形吗？若是,请说明理由；

(2)若AB=4,AD=8,求BE的长.

D

9.我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个

三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.

(1)特殊感知

①等腰直角三角形勾股高三角形(请填写“是”或者”不是”)；

②如图1,已知△A8C为勾股高三角形，其中C为勾股顶点.CQ是钻边上的高.若BD=2AD=2,

试求线段CD的长度.

(2)深入探究

如图2,已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且C4>CB,CQ是43边上的高.试探

究线段4。于C8的数量关系，并给予证明；

10.如图，在△ABC中，NACB=90。，以点8为圆心，8c长为半径画弧，交线段AB于。；以点

A为圆心，长为半径画弧，交线段AC于点E,连接CD.

(1)若N4=28°,求N4CD的度数；

(2)设BC=3,AC=4.求A。的长.

11.已知点。是4c的平分线上一点，DE1.AB,DF1AC,垂足分别为E、F.在A尸上

有一点C,在4E的延长线上有一点B,使得b=

(1)过点。作。G_L3C,连结CO、BD,求证OG垂直平分BC；

(2)当3C_LA产时，若AE=5,AC=3,求BC的长.

12.在平面直角坐标系中，A(-3,0),B(2,1),C(3,-4),D(6,-2),E(1,3),如图

所示，画图并回答问题.

（1）将线段AB平移到EF,使A与E重合，画出线段EF并写出点F的坐标；

（2）画出线段CZ）关于x轴对称的图形GH,使C与G对应，并写出点”的坐标；

（3）在（1）（2）的作图中，EF与GH交于点、P,直接写出NFPH的度数；

（4）连接8力，图形中存在某点。，满足QE=B。，QELBD,画出线段0E,并直接写出点。的

13.如图，AABC和ABZ组均为等腰直角三角形，ZACB=NBDE=90°,E在AB上，P为AE

的中点，EF〃AC交射线CP于F,连接PO.

F

求证：(1)AC-EF；(2)PD_LCF.

14.如图，在AA5c中，NB=60°,ZC=22.5°,AC的垂直平分线交BC于点D8=3应，

AELBC于点E,求BE的长.

15.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=3()。，在4处有一所中学，AP=120

米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100

(I)学校是否会受到影响？请说明理由.

(2)如果受到影响，则影响时间是多长？

16.如图是规格为8x8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：

(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(-2,4),点B的坐标为(-4,2)；

(2)在第二象限内的格点上找一点C,使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且

腰长是无理数，画出△ABC,则点C的坐标是.△ABC的周长是(结果保留根号)

(3)作出△ABC关于x轴对称的小ABC.

17.如图，在AABC中，AB=AC=5cm,8C=6cm，动点p从点C出发，按CfAf3fC

的路径运动，且速度为2cm/s,设运动时间为«s).

(1)求AA3c的面积；

(2)求AC边上的高的长；

(3)当f为何值时，Z\APC的面积为9.6(cn?)；

(4)当点P在8C边上运动时，若△「口)是等腰三角形，请求出满足条件的f的值.

18.如图，C为线段20上一动点，分别过点8,。作ABLBD,EDA.BD,连接AC,EC.已知

AB=5,DE=\,BD=8,设CZ)=x.

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；

(2)求AC+CE的最小值；

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图并直接写出代数式Jd+4+,(12—幻2+9的最小值.

A

h\D

B_L

三、填空题

19.如图，在RtZXABC中，NC=90°,点。在BC上，且AC=OC=，AB,若AD=C，

2

贝|J8£>=.

20.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁

离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处，

则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是cm.

21.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则斜边上的高是.

22.如图，A点坐标为(6,0),C点坐标为(0/)，将AOAC沿AC翻折得/XACP,则P点坐标为

23.如图，在三角形纸片ABC中，已知NABC=90。，AB=6,BC=8.过点A作直线平行于BC,

折叠三角形纸片ABC,使直角顶点B落在直线/上的点T处，折痕为MN,当点T在直线/上移动

时，折痕的端点M,N也随之移动.若限定端点M,N分别在AB,BC边上移动（点M可以与点

A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为（计算结果不取近

似值）.

24.如图，在RtAMBC中，NC=9()°,AB=10cm,BC=8cm,3。平分NA8C,DE±AB,

垂足为E,则DE=cm.

25.如图，在中，NC=90°,点。为边AC上的一点，CD=CB=3,DE!IBC,

BF工CE交AC于点、F,交CE于点G.若DE=1,图中阴影部分的面积为4,则ABCG的周

长为.

A

26.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8加、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相

对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最

短路程为dm.

3-.B

A8

AD3

27.如图，△DEF为等边三角形，点D、E、F分别为边AB、BC、AC上一点，且NC=60。，一=二，

BD5

AE=7,则AC的长为

28.如图，在边长为2G的等边三角形ABC中，过点C作垂直于BC的直线交NABC的平分线于

点P,则点P到边AB所在直线的距离为

29.如图，教室的墙面49跖与地面A8C。垂直，点P在墙面上.若Q4=AB=5米，点P到A。

的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点8,它的最短行程是米.

E

30.如图，在A45C中，ZC=90°,。是AB中点，FD上ED于D，BE=®AF=也，

则EF

【答案与解析】

1.B

【解析】

由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影

部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积.

设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为Si,S2,S3,大小正方形重叠部分的面积为S,

则由勾股定理可得：S1+S2=S3,

在图②中，SI+S2+3-S=S3,

；.S=3,

本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键.

2.D

【解析】

由AAS证明RaAGF=Rt^GFH,根据全等三角形的对应边相等得到FC=AG,再由G”，8c

解得NFHC=NAFG=30°,继而设AG=x,AF=2x,在汝AAG尸中，利用勾股定理解得

GF=A，再结合三角形面积公式可解得X=4,得到AG=4,AF=8,GP=4g,AC=12,

最后利用等量代换解得五边形DECHR的周长即可.

解：-.GHYBC

NGHB=90。

•.•△GHF是等边三角形

;.NGHF=60。

NFHC=180°-90°-60°=30°

FGH是等边三角形，

:.GH=FH,/GFH=60。

ZAFG+ZHFC=120°

△ABC是等边二角形

AB=AC=BC,ZACB=NA=60°

/.NFHC+NHFC=180°-60°=120°

：.ZAFG=^FHC

.-.ZAFG=30°

vZA=60°

，NAG尸=90°

在RtAAGF与RtAFCH中，

ZA=ZACB

<ZAFG=NFHC

GF=HF

：.Rt^AGFMRt^FCH(AAS)

:.FC=AG

设AG=x,AF=2尤

在用△AG尸中，

•.GF=y]AF2-AG2=yf3x

..SJGF=；GF.AG=；xV3x-x=8G

x=4

即AG=4,AF=8,GF=473

..AC=AF+CF=AF+AG=S+4=12

••・△BDE和4FGH是两个全等的等边三角形,

：.BE=GF=FH

•••五边形DECHF的周长为：

DE+EC+FC+GF+DG

=BD+CE+AG+BE+DG

=AB+BC

=2AC

=2x12

=24

故选：D.

本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、

三角形的面积公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

3.C

【解析】

根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3,n=4,再分两种情况利用勾股定理求出第三

边.

'?|m—3|+V«-4=0,|//z—3|>0,Vn—4>0,

/.m-3=0»n-4=0,

解得m=3,n=4,

当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长=73?+4?=5;

当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=542—32=币,

故选：C.

此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的

非负性求出m=3,n=4是解题的关键.注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，

应分情况求解第三边长.

4.B

【解析】

先作点A(l,3)关于y轴的对称点4(-1,3)，点5(3,1)关于x轴的对称点B，的坐标是笈(3,-1),根

据对称性可得AB+BC+S+ZMNAB+A'B',由勾股定理解得A8=2血，据此代入解题.

解：如图，点A(l,3)关于y轴的对称点A(-1,3),

点8(3,1)关于x轴的对称点B，的坐标是9(3,—1),

由对称性可知AB+3C+8+D42AB+A!B',

由勾股定理可求得AB=7(1-3)2+(3-1)2=272，

所以，四边形ABCD周长的最小值是A5+A'5'=依+4?+20=4&+2近=6&，

故选：B.

本题考查轴对称求最短路径问题，涉及勾股定理等知识，正确画出辅助线、掌握相关知识是解题关

键.

5.A

【解析】

利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG=ED,证明RtABDE^RtABGE(HL),

可得BG=BD=9,设AE=x,则ED=12-x,根据勾股定理列方程可得结论.

解：VAD1BC,

VAD=12,AC=I3,

.DC=7AC2-AD2=V132-122=5，

'：BC=14,

ABD=14-5=9,

由勾股定理得：AB=792+122=15.

过点E作EGLAB于G,

：BF平分NABC,AD1BC,

；.EG=ED,

在RtABDE和RtABGE中，

[EG=ED

■[BE=BE'

/.RtABDE丝RtABGE(HL),

.•.BG=BD=9,

AAG=15-9=6,

设AE=x,则ED=12-x,

EG=12-x,

RSAGE中,x2=62+(12-x)2,

15

x=­，

2

15

，AE=——.

2

159

DE=AD-AE=12-——=—

22

故选：A.

本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题

的关键.

6.A

【解析】

根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解.

a2+b2=13

113-1

解：由条件可得：\~ab=——,

24

a>h>0

a=3

解之得：C.

b=2

所以(a+0)2=25,

故选A

本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力.

7.D

【解析】

根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即

可.

①AABC为直角三角形，

X2+y2=AB2=25，

故①正确；

②由图可知：x-y=CE=y/i=\,

故②正确；

③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积,

由此可得：4x；到+1=25,即：2孙+1=25,

故③正确；

④由①③相加可得：2孙+1+/+/=50,

即（x+9=49,

故x+y=7,

故④正确;

故选：D.

本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的

关系是解答本题的关键.

8.（1）所是等腰三角形，理由见解析；（2）5.

【解析】

（1）先根据长方形的性质可得再根据平行线的性质可得“防=N3EE,然后根据

折叠的性质可得ND石尸=/8石尸，从而可得/BFE=/BEF,最后根据等腰三角形的判定即可

得；

(2)先根据长方形的性质可得NA=90°,再根据折叠的性质可得6£=r>E，然后设B£=OE=x,

从而可得AE=8-x,最后在用△A3E中，利用勾股定理即可得.

(1)ABE尸是等腰三角形，理由如下：

•••四边形ABCD是长方形，

:.AD//BC,

：.ZDEF=ZBFE,

由折叠的性质得：/DEF=NBEF,

:.ZBFE=ZBEF，

.,.△BEE是等腰三角形；

(2)•四边形ABCD是长方形，

.•.ZA=90°,

由折叠的性质得：BE=DE，

设BE=DE=x,则=OE=8—x,

在Rt/XABE中，AB2+AE2=BE2，即42+(8-x)2=x2,

解得x=5,

即BE的长为5.

本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性

质是解题关键.

9.(1)①是；②百；(2)AD=CB,理由见解析

【解析】

(1)①根据等腰直角三角形的性质、勾股定理和勾股高三角形的定义解答；

222

②根据勾股定理得到CB^CD+4,C42=Q)2+],根据勾股高三角形的定义得到CD=BO-AC,

计算即可得到答案；

(2)根据勾股定理和勾股高三角形的定义计算即可.

解：(1)①设等腰直角三角形的直角边长为“，

则斜边长=[a2+/J=3a'

：(2-岸=”2,等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，

•••等腰直角三角形是勾股高三角形，

故答案为：是；

②由勾股定理可得：CB2=CABD2=CA4,C42=CZ)2+AD2=CD2+1,

•••△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CQ是AB边上的高，

J.CD^^BC1-AC1,

：.CD2=(CD2+4)-(CD2+1),

解得，C£>=百；

(2)AD=CB,

证明如下：;△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且C4>CB,CD是A8边上的高,

：.CD2=CA2-CB"

：.CA2-CD1=CB2,

由勾股定理得，CA2-CD2=Aiy,

：.CB2=AD1,

：.AD=CB.

本题考查了勾股定理、勾股高三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义、灵活运用勾股定理是

解题的关键.

10.(1)31°；(2)2

【解析】

(1)根据三角形内角和定理求出NB,根据等腰三角形的性质求出/BCD,计算即可；

(2)根据勾股定理求出AB,根据线段的和差可得结论.

解：(1)VZACD=9O°,ZA=28°,

.,./B=62°.

；*BD=BC,

1800-62°

：.NBCD=NBDC==59°.

2

，ZACD=90°-ZBCD=90°-59°=31°；

(2)V90°,BC=3,AC=4,

由勾股定理得：4B=+BC?="2+32=5,

'：AB=AD+BD,BD=BC=3,

.\AD=5-3=2.

本题考查的是勾股定理，三角形的内角和定理，掌握勾股定理是解题的关键.

11.(1)见解析；(2)BC=25

【解析】

(1)连接CO、BD,证明△3OE四△CDF(SAS)，推出3。=CD,利用DG1BC,证得

BG=CG,即可得到结论；

⑵证明RtAADE^RtAADF(ffl,),得到AF=AE=5,求出AB=7,再根据勾股定理求出答案.

解：(1)证明：如图1,连接CO、BD,

；AD平分ZS4C,DELAB，DF1AC,

:-DE=DF，ZAED=ZAFD=ABED=90°,

在ABZ宏和△<?£)尸中，

DE=DF

</BED=NAFD

BE=CF

：.4BDE空ACDFlSAS)

/.BD—CD,

・・,DG1BC,

：.BG=CG,

・・・0G垂直平分8C；

(2)如图1,由(1)知：DE=DF

*/AD=AD9

RtAA/)E^RtAA£)F(HL),

，AE=AF=5,

,:AC=3,

BE=CF=AF-AC=5-3=2,

AB-AE+BE=5+2=7,

在Rt^ABC中，ZACB=90°,

BC=yjAB2-AC2=切厅=2V10•

此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，线段垂直平分线的判

定，熟记各定理是正确解题的关键.

12.(1)图见解析，(6,4)；(2)图见解析，H(6,2)；(3)NFPH=45。；(4)见解析，(-2,

-1)或(4,7).

【解析】

(1)利用平移的性质作出图形即可.

(2)根据轴对称的性质作出图形即可.

(3)取格点7,连接GT,TH,可得△G7W是等腰直角三角形，利用平行线的性质解决问题即可.

(4)根据格点特点，结合勾股定理和全等三角形的判定及性质确定Q点坐标即可.

解：(1)如图，线段E尸即为所求，F(6,4).

(2)如图，线段G”即为所求，H(6,2).

(3)取格点7,连接GT,TH,可得△GT"是等腰直角三角形，

VEF/7AB

：.ZFPH=ZGHT=45°.

(4)如图，BD=732+42=5

...结合格点特点可取Q和Qi两点，此时QE=QiE=BD=5

延长DB至格点M,取格点K

DN=KQ

在小DMN和仆QKQ)中＜NDNM=NQKQ1

NM=KQ]

/.△DMN^AQKQ1

NDMN=NQQ\K

•••NKQQi+zee,K=ZKQQt+4DMN=90°

：.QEVBD

二线段QE,Q/E即为所求,即。(-2,-1),Q,(4,7).

本题考查作图-轴对称变换，作图-平移变换及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

13.（1）见详解；（2）见详解

【解析】

（1）根据全等三角形的判定定理，即可得到结论；

（2）连接CD,FD,结合（1）中的结论，得EF=BC,利用勾股定理和等量代换，得DF=DC,结

合等腰三角形的性质，即可得到结论.

（1）为AE的中点，

，AP=EP,

•••EF//AC,

.,.ZA=ZFEP,

又；NAPC=NFPE,

.\AAPC=AFPE,

，AC=EF；

（2）:AABC和ABDE均为等腰直角三角形，

，AC=BC,ED=BD,

；AC=EF,

/.EF=BC,

连接CD,FD,

VZDBC=90°,ZACB=90°,

，AC〃DB,

•••EF//AC,

，AC〃DB〃EF,

ZFED=90°,

VED=BD,EF=BC,

又•:EF2+DE1=DF-，BC2+BD2=DC2，

，DF=DC,即ADCF是等腰三角形，

；CP=FP,

，PDLCF.

本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加辅助线，构造等腰三

角形，是解题的关键.

14.

【解析】

连接AD,根据中垂线的性质得DA=C。，进而得/ADE=45。，设BE=x,则AB=2x,结合勾股定

理，即可求解.

连接AD,

VAC的垂直平分线交BC于点D,

.*.DA=CO=3五，

；./DAC=ZC=22.5°,

.".ZADE=45°,

VAEVBC于点E,

AAADE是等腰直角三角形,

AE=DA+0=3^/2+V2=3,

在直角AABE中，ZB=60°,

，ZBAE=30°,

.,.设BE=x,则AB=2x,

•*.AE=7（2%）2-%2=氐，

6x=3,解得：X=5/3，

.,.BE=V3.

本题主要考查垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握直角三角形中，

30。角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键.

15.（1）学校受到噪音影响，理由见解析；（2）32秒

【解析】

（1）过点A作AB_LMN于B,根据在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半，得到

AB=-PA^60m,由于这个距离小于100m,所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，

2

学校受到噪音影响；

（2）以点A为圆心，100m为半径作04交MN于C、D,再根据勾股定理计算出=CD=80加，

则CD^2BC=160m，根据速度公式计算出拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间.

解：（1）学校受到噪音影响.理由如下：

作ABJ.MN于B,如图，

-.-PA^nOm,NQPN=30。,

：.AB=-PA=60m,

2

而60m<100m,

二消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响;

(2)以点A为圆心，100m为半径作0A交MN于C、D,如图,

\-ABlCD,

在R/AABC中，AC=100m,AB=60m,

CB=VAC2-AB2=80/n，

同理，DB=8()m

.•.CD=2BC=160/w,

••.拖拉机的速度5m/s,

,拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间为：—=32(秒)，

二学校受影响的时间为32秒.

本题考查了勾股定理的应用、含30度的直角三角形三边的关系以及路程与速度之间的关系，恰当

的作出辅助线，构造直角三角形是解题关键.

16.(1)答案见解析；(2)(-1,1)2厢+2&;(3)答案见解析

【解析】

(1)由于A点坐标为(-2,4),B点坐标为(-4,2),根据坐标和正方形网格即可确定坐标系：

(2)由于在第二象限内格点上找一点C,使C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且

腰长是无理数，根据正方形网格和垂直平分线的性质即可确定C的坐标，接着确定^ABC周长；

(3)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案.

(1)建立坐标系如图所示:

(2)C(-1,1)；

CA=CB=Vl2+32=V10»AB=2后，符合要求,

如图所示：△ABC即为所求;

.♦.△ABC周长是2，1。+2血;

故答案为：(-1,1),2V10+2V2；

(3)如图所示：△ABC即为所求.

本题主要考查了勾股定理与网格问题，坐标与图形一轴对称变换，正确得出得出对应点位置是解题

关键.

24

17.(1)12cm2;(2)BD=《cm；(3)当/为4.5s或5.6s时，△4尸。的面积为9.6仁1/)；(4)

满足条件的t的值为6.2s或一s或---s.

225

【解析】

(1)作AHLBC于H,利用三线合一可求得BH,再利用勾股定理求得AH,即可求得三角形面积；

(2)利用等面积法即可求得BD的长度；

(3)根据同高的三角形面积之比等于底之比，再分类讨论即可求得t的值；

(4)分当CD=CP时，当PD=PC时，当DP=DC时，三种情况讨论求得t的值.

(1)解：如图中，作AH_LBC于H.

BH=CH=—BC=3cm,

2

AH—>1AB2—BH~=45?-3?=4cm,

=—BC•AH=_*6x4=12cm2；

22

(2)VSMBC=^BCAH^ACBD,

"CBCAH24

BD=-----------=——cm：

AC5

(3)•••△4PC的面积为9.6(cm2),5Mec=12cm^

.Sgpc_9.6_4

-5

当P在AC上时，A、P、C不构成三角形；

4

当P在AB上时，AP=—AB=4cm,

„AP+AC9…

止匕时t=-----------=—=4.5s；

22

424

当P在BC上时，PC=-BC=—,

24

5+5+6--

AB+AC+BC-PC3+3+05-,

t=-------------------------=---------------=5.6s

22

故当f为4.5s或5.6s时，/XAPC的面积为9.6(cm2)；

(4)当点P在BC上时，CP=(16-20cm,

AD=JAB?-BD?=^52-(y)2=\Acm,

①如图，当CD=CP时，

*.*CD=5-1.4=3.6cm,

J162=3.6,

t=6.2s；

VPD=PC,

AZC=ZPDC,

VZC4-ZCBD=90°,ZPDC+ZPDB=90°,

.\ZPBD=ZPDB,

・・・PB=PD,

.e.PC=PB=3,

16-2t=3,

13

•»t=­s

2

VDP=DC,DH±PC,

APH=CH=8-t,

24

处型=或艺=2.88"

BC6

CH=\ICD2-DH2cm,

25

54146

.S—t=—,解得t=s.

综上所述，满足条件的t的值为6.2s或?S或坐S.

225

本题考查勾股定理，等腰三角形的性质.掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键.

18.（1）>/X2+4+7（12-X）2+9;（2）10；（3）13.

【解析】

（1）利用勾股定理表示出AC、CE的长再求和即可；

（2）利用两点之间线段最短得到AC+CE的最小值为AE的长，然后利用勾股定理计算出AE的长

即可；

（3）利用（2）中的规律和结论画出对应的图形，然后利用同样的方法求解.

（1）;AC=〃分+靖=,25+（8-尤I，

CE=y]CD2+DE2=&+1，

:.AC+CE=&+1+,25+（8-xf；

（2）如图1,连接AE,

当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，即AC+CE的最小值为AE的长，即C为AE与BD

的交点，

作£FJ_AB于F,则BF=DE=1,EF=BD=8，AF=5+1=6,

所以在RtAAEF中，AE=y/AF2+EF2=巧存=10,

即AC+CE最小值为10；

(3)如图2,AB=3,DE=2,BD=12,设CQ=x,

代数式4+4+,(12—幻2+9的最小值为AE的长,

同（2）的计算方法的AE=+E/2=I?，

此题主要考查了轴对称-最短路线问题，还涉及勾股定理的运算，需要掌握最短路线问题的解法，

能正确构图，并且所列线段的长度正确是解决本题的关键.

19.乖,-1

【解析】

设AC=OC=x,在心△ACD中，利用勾股定理求出x值，即可得到AC和CD的长，再求出

AB的长，再用勾股定理求出BC的长，即可得到结果.

解：设AC=DC=x,

ZC=90°,

•••AC2+CD2=AD2，即/+》2=（行丁，解得％=1或一i（舍去），

AC=DC=1,

AC^-AB,

2

二AB=2,

BC=VAB2—AC2-，4-1=，

•••BD=BC-CD=M-1.

故答案是：V3-1.

本题考查勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理解直角三角形的方法.

20.13

【解析】

如图，将容器侧面展开，建立A关于脑1r的对称点A'，根据两点之间线段最短可知A'3的长度

即为所求.

将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则MM'=MV'=10cm,

作A关于W的对称点A,连接A'B,

则此时线段48即为蚂蚁走的最短路径，

过3作Br>_LA'A于点£>,

则BD=NE=5cm,A'D=MN+A'M-BE=l2+3-3=12cm,

在RhABD中，

由勾股定理得AB=yjAD2+BD2=13cm，

故答案为：13.

本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相

关知识是解题的关键.

21.乜或逆

54

【解析】

分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3.利用勾股定理求得第三边,

再利用等面积法即可得出斜边上的高.

解：分为两种情况：

①3和4都是直角边，

由勾股定理得：第三边长=疗手=5

，斜边上的高为一--=—；

②斜边是4有一条直角边是3,

由勾股定理得：第三边长="导=«,

斜边上的高为生女=迈；

44

故答案为：三~或^~.

54

本题考查勾股定理解直角三角形.注意分类讨论和等面积法（在本题中主要用到直角三角形的面积

等于两直角边乘积的一半也等于斜边与斜边高的乘积的一半）的运用.

【解析】

在RSCOA中，根据0A=百和OC=1,根据勾股定理可得AC=2,得到NC4O=30°,根据翻折

性质可得ZCAO=APAC,继而可得ZPAO=60°,NGPA=30°,在RsPAG中，根据30°所

对直角边等于斜边的一半可以求出AG的长，利用勾股定理可求出PG的长，从而得到P点坐标.

如下图，过点P作PGJ_x轴于点G,

OC^-AC,

2

/.ZC4O=30°,

VAAOC沿AC翻折得到^APC,

ZCAO=ZPAC,

：.ZPAO^6Q0,ZGPA=30°,AP=5

AAG=-AP=—,PG=JPT-GA'=♦,

222

OG==AO-AG=73--=—,

22

一fV331

.,.点P的坐标为—,

故答案为：

本题考查折叠的性质、含30°角的直角三角形及勾股定理，熟练掌握含30°角的直角三角形及勾股

定理是解题的关键.

23.14-277

【解析】

首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得

线段AT长度的最大值与最小值的和.

解：当点M与点A重合时，AT取得最大值，

由轴对称可知，AT=AB=6；

当点N与点C重合时，AT取得最小值，

过点C作CDJJ于点D,连结CT,则四边形ABCD为矩形,

由轴对称可知，CT=BC=8,

在RtACDT中，CD=6,CT=8,

则DT=yjcT2-CD2=V82-62=277，

.,.AT=AD-DT=8-2不，

综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14-277.

故答案为：14-2^7.

本题考查了勾股定理折叠变换的知识，解题关键是找到.AT最大值和最小值的两个极值点，注意翻

折前后对应边相等.

8

24.-

3

【解析】

先利用勾股定理可得AC=6cm,再根据角平分线的性质可得。七=DC,然后根据直角三角形全

等的判定定理与性质可得=从而可得AE=2an,设DE=DC=xcm,从而可

得AO=(6-x)an,最后在汝△AOE中，利用勾股定理即可得.

...在&AABC中，NC=90°,AB=10cm,BC=Scm,

：.AC=dAB1-BC。=6cm>

(28。平分/48。，DE±AB,ACLBC,

DE=DC,

DE=DC

在RMBDE和Rt^BDC中，《，

BD=BD

RtABDE^Rt出DC(HL),

BE=BC=8cm,

.•・AE=AB-BE=2cm,

设DE=DC=xcm,则AD=AC-OC=(6-x)c7n,

在及△ADE中,AE2+DE2=AD2，即2?+Y=(6一1了，

Q

解得x=§,

Q

即£>E=2cm,

3

Q

故答案为：—.

本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角

平分线的性质是解题关键.

25.V13+3

【解析】

设CG=x,GB=y,结合题意得NCDE=90°，ZACE+NBCE=90，再根据BFLCE交AC

于点F,交CE于点G,从而得到NACE=NCBF；通过证明△CDE也△5CE；得

SACDE=S^BF，从而得四边形DbGE面积=S.GB=；xy；根据勾股定理，得了+丁，即可完成

求解.

设CG=x,GB=y

'：DE//BC,ZC=90°

，NCDE=90°,ZACE+ZBCE=90°

•；BF上CE交AC于点F,交CE于点G

，ZBGC=90

，NBCE+NCBF=90°

：.ZACE=NCBF

ZCDE=ZBCF=90°

V-CD=CB

ZACE=NCBF

：.ACDE四ABCF

••S^CDE二SNBF

x

四边形DFGE面积=SMGB=~y

•.•阴影面积=4

.­.1x3（l+3）-2xl^=4

：.xy-2

CG2+GB2=9

/.x2+y2=9

（x+yj=x?+丁+2xy=13

,/x+y>0

.*.x+y=>/\3

...△CGB的周长为：V13+3

故答案为：V13+3.

本题考查了全等三角形、勾股定理、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、勾股

定理、算术平方根的性质，从而完成求解.

26.17

【解析】

先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm,宽为（2+3）x3办2,

8

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm,

由勾股定理得：X2