2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义21

2.1.1倾斜角与斜率

目标导航

课程标准核心素养

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

数学抽象

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，

直观想象

掌握过两点的直线斜率的计算公式.

善,高频考点

倾斜角与斜率

三二知识梳理

知识点1直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

当直线/与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线/向上的方向

XXXri之间所成的

Vl

角a叫做直线/的倾斜角.如图所示，直线/的倾斜角是NA&,直线r的倾斜角是N

A/A

BPx.

2.倾斜角的范围

直线的倾斜角a的取值范围是0°^«<180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角

②已知宜线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线

【即学即练1】如图，直线/的倾斜角为（）

A.60°B.120°

C.30°D.150°

（即学即练2］若直线/经过点M（2,3）,N（4,3）,则直线I的倾斜角为（

A.0°B.30°

C.60°D.90°

【即学即练3】若直线/经过原点和（一1,1）,则它的倾斜角是（）

A.45°B.135°

C.45°或135°D.-45°

【即学即练4】【多选】下列说法中，正确的是（）

A.直线的倾斜角为处且tana>0,则a为锐角

B.直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

C.若直线的倾斜角为a,则sina>0

D.任意直线都有倾斜角a,且aW90。时，斜率为tana

知识点2直线的斜率

1.斜率的定义

一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即A=tana（a#90）.

2.斜率公式

经过两点尸仆1,力），P2（X2,%）（X|WX2）的直线的斜率公式为《=三".当X1=X2时，直线BP2没有斜率.注:

人2**,1

①若直线I经过点P1（21,J1）,尸2住2,J2）（X#X2）,则直线尸1尸2的方向向量P\P1的坐标为（工2—X1,山一山），

也可表示为（1,k）,其中4=无六

-*■2人1

②倾斜角a不是90的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当尤时，直线与x轴垂

直，直线的倾斜角a=90,斜率不存在；当X=%时，斜率攵=0,直线的倾斜角a=0,直线与

x轴重合或者平行

③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换

【即学即练5】已知直线/的倾斜角为30。，则直线/的斜率为（）

A.芈B.小

C.1

【即学即练6】直线经过点6（3,2）,。（一3,3）,则无=，直线PQ的倾斜角为.角（填“钝”或

“锐”）.

知识点3斜率与倾斜角的联系

倾斜角a

a=0，O'<a<90°a-9090<a<180'

（范围）

斜率k

k=0k>0女不存在k<0

（范围）

【即学即练7】若4,8两点的横坐标相等，则直线A8的倾斜角和斜率分别是（）

A.45°,1B.135°,-1

C.90°,不存在D.180°,不存在

【即学即练8】如图，直线h,A的斜率分别为心，k2,k3)贝!!(

A.k\<ki<kiB.k3Vki<kz

C.k3<kz<kiD.ki<k}<k2

■考点精析

考点一求直线的倾斜角

解题方略：

求直线的倾斜角的方法及两点注意

（1）方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.

（2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时，倾斜角为90。.

②注意直线倾斜角的取值范围是0°WaV180。.

【例1-1】已知直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角a的取值范围是（）

A.0°WaV90°B.90°=$a<180°

C.90°<a<180°D.0°<a<180°

【例1-2】设直线/过原点，其倾斜角为a,将直线/绕坐标原点沿逆时针方向旋转45。，得到直线则直

线A的倾斜角为（）

A.a+45°B.a-135°

C.135°-aD.a+45°或a-135°

考点二求直线的斜率

解题方略：

1.利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

(1)运用公式的前提条件是“X1WX2”，即直线不与X轴垂直，因为当直线与X轴垂直时，斜率是不存

在的；

(2)斜率公式与两点尸|,尸2的先后顺序无关，也就是说公式中的，1与X2,刈与力可以同时交换位置.

2.在0°Wa<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

倾斜角a0°30°45°60°120°135°150°

斜率A0也1—y[3-1

33

【例2-1］经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角a.

(1)4(2,3),3(4,5)；(2)C(-2,3)»0(2,-1)；

(3)尸(一3,1),0(-3,10).

变式1：过点P(—2,in),。伽,4)两点的直线的方向向量为(1,2),则机的值为.

变式2：已知A(m,-/n+3),B(2,m-l),C(一1,4),直线4C的斜率等于直线8c的斜率的3倍，求机

的值.

考点三斜率与倾斜角的关系

解题方略:

1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式A=tana(aW90。)解决.

2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式a=旧工8£4)求解.

X12X|

(-)由倾斜角求斜率值(范围)

【例3-1】若直线/的斜率为A,倾斜角为a,且则A的取值范围是

变式1：若经过两点4(2,1),B(L/)的直线/的倾斜角为锐角，则，”的取值范围是()

A.(—8,I)B.(―1,+°0)

C.(-1,1)D.(一8,-1)U(1,4-oo)

变式2：若直线的倾斜角为a,且sina+cosa=g,则直线的斜率为()

(-)由斜率求倾斜角的值(范围)

【例3-2】已知a,b,c是两两不等的实数，则经过点P(A,0+c)和点。(a,c+a)的直线的倾斜角为()

A.30°B.45°

C.60°D.135。【例3-3】若直线/的斜率Ze［-1』，求直线/倾斜角a的范围.

变式1:设直线/的斜率为3且-石<%41,则直线/的倾斜角a的取值范围是()

人［。升侍兀)B.陷哈可

C［"兀引2兀1D.仁(n，,3n

变式2：若直线/经过A(2,l),8(1,->)(,"eR)两点，则直线/的倾斜角a的取值范围是()

八’4717T3乃冗，71

A.04a<——B.—<。<兀C.——<a4—D.——Wa<——

422442

考点四斜率公式的应用

解题方略:

(-)利用直线斜率处理共线问题

【例4-1］已知a>0,若平面内三点4(1,­a),B(2,a2),C(3,加)共线，贝］J.

变式1：若A(a,0),B(0,b),C(-2,—2)三点共线，贝！］工+:=________.

ab

【例4-2】若三点4(3,1),B(-2,k),C(8,l)能构成三角形，则实数A的取值范围为

(二)斜率公式的几何意义的应用

【例4-3】点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上，当xe［2,5］时，当的取值范围是()

X+1

-781「810-

L-B.~

|_33J|_33_

变式1:若点P(x,刃在以A(—3,l),B(-l,0),C(-2,0)为顶点的△A8C的内部运动(不包含边界)，则的

取值范围是()

B.&1)

D.Q，1)

考点五直线与线段的相交关系求斜率的范围

解题方略:

涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.

【例5-1】已知点A(2,l),5(—2,2),若直线/过点P(一去一§且总与线段A5有交点，求直线/的斜率左

的取值范围.

变式1：经过点*0,-1)作直线/,若直线/与连接41,-2),8(2,1)的线段总有公共点，则直线/的斜率女

的取值范围为(

A.[-1,1]B.(-w,-l]u[l,+<»)C.[-1,1)D.(-<x>,-l)u[1,+<»)

变式2：已知点4(2,3),3(-2,-1),若直线/:y=ZQ-1)-2与线段A8没有公共点，则k的取值范围是()

C.(5,-KO)

◎分层提分

题组A基础过关练

1、【多选】下列说法中，正确的是()A.直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tan。

B.一条直线的倾斜角为-30

C.若直线的倾斜角为a,Lisina..。

D.任意直线都有倾斜角。，且a#90。时，斜率为tana

2、已知点A(2,4),B(3,6),则直线AB的斜率为()

A.JB.--C.2D.-2

22

3、过点41,2)、例-1,0)的直线的倾斜角为()

A.45°B.135°C.1D.-I

4、已知直线/经过点4(1,2),且不经过第四象限，则直线/的斜率左的取值范围是()

A.(-1,0]B.[0,1]

C.[1,2]D.[0,2]

5、已知直线/的斜率为人,倾斜角为a,若45。<0<135。，则上的取值范围为().

B.(F,—l)u(l,+oo)

C.[-1,1]D.(^»,-l]U[l,-H»)

6、若A(-2,3),B(3,2),叫,〃?)三点共线，则实数机的值为

51

A.2B.-2C.-D.--

22

T[3完

7、已知直线的倾斜角的范围是ae7,一,则此直线的斜率左的取值范围是()

A.[-1,1]B.[-l,O)U(O,l]

C.[-1,+<»)D.[1,+<»)

8、若直线/经过42,1),8(1,_*)(,"/?)两点，则直线/的倾斜角a的取值范围是()

「，冗冗冗，3冗冗,兀

A.0〈a<—B.—<a<icC.—<aW—D.——Wa<——

422442

9、已知点A(2,—l),8(3,〃?)，若,we-,则直线AB的倾斜角a的取值范围为()

A.{a|600<a<150°}

B.{a|0。4a460。或150。4a<180。}

C.{a|600<a<90°90°<a<150°}

D.{a|600<a<90°^150°<a<180°)

题组B能力提升练

10、设A(2,-3),8(-3,-2),直线/过点p(l,2)且与线段A8相交，贝!1/的斜率k的取值范围是()

A.左4-1或ZN5B.-5<A:<1

C.-1<)1<5D.kS-5或k31

11、直线/过点M(-l,2),且与以P(-4「l),Q(3,0)为端点的线段相交，则直线/的斜率的取值范围是()

A.-plB.(F,-2]UU,E)C.L-2JJD.u[l,^o)

12、【多选】已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线/过点*1,1)且与线段MN相交，则直线/的斜率4的取

值范围是(

A.k4-4

33

C.-<k<4D.-4<A:<-

44

13、已知过点4(〃+2,疗-3),8(3-〃的直线/的倾斜角为a,若ae0,外(口｝则实数

m的取值范围为.

14、已知4(3,3),5(—4,2),C(0,-2).

(1)求直线AB和AC的斜率；

⑵若点。在线段8c(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.

题组C培优拔尖练

15、已知两点4(-3,4),以3,2),过点尸(1,0)的直线/与线段48有公共点.

(1)求直线，的斜率上的取值范围；

(2)求直线I的倾斜角a的取值范围.

4(-3,4)f

\P>B(3.2)

0|p(i,o)v+3

16、已知实数x,y满足y=x2—2x+2(—IWXWI),试求二方的最大值和最小值.

XI/

2.1.1倾斜角与斜率

目标导航

课程标准核心素养

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

数学抽象

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，

直观想象

掌握过两点的直线斜率的计算公式.

善,高频考点

倾斜角与斜率

三二知识梳理

知识点1直线的倾斜角

1.倾斜角的定义

当直线/与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线/向上的方向

XXXri之间所成的

Vl

角a叫做直线/的倾斜角.如图所示，直线/的倾斜角是NA&,直线r的倾斜角是N

A/A

BPx.

2.倾斜角的范围

直线的倾斜角a的取值范围是0°^«<180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角

②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线

【即学即练1】如图，直线/的倾斜角为（）斗

A.60°B.120°

C.30°D.150°/45-、

【解析】由图易知/的倾斜角为45°+105°=150°.故选D

【即学即练2】若直线/经过点M（2,3）,N（4,3）,则直线/的倾斜角为（）

A.0°B.30°

C.60°D.90°

【解析】因为N两点的纵坐标相等，所以直线/平行于x轴，所以直线/的倾斜角为0。.

【即学即练3】若直线/经过原点和（一1,1）,则它的倾斜角是（）

A.45°B.135°

C.45°或135°D.-45°

【解析】作出直线/,如图所示，由图易知，应选B.

【即学即练4】【多选】下列说法中，正确的是（)

A.直线的倾斜角为a,且tana>0,则a为锐角

B.直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

C.若直线的倾斜角为a,贝！）sina>0

D.任意直线都有倾斜角a,且aW90。时，斜率为tana

【解析】对于A,因0°WaV180°,且tana>0,则a为锐角，A正确；对于B,虽然直线的斜率为tan

a,但只有0°Wa<180°时，a才是此直线的倾斜角，故B不正确；对于C,当直线平行于x轴时，a=0°,

sina=0,故C不正确，显然D正确.故选AD

知识点2直线的斜率

1.斜率的定义

一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母4表示，即4=tana（aw90）.

2.斜率公式

经过两点尸1（X1,山），尸2（X2,力）（*1/*2）的直线的斜率公式为《=三&.当X1=X2时，直线尸止2没有斜

X2-X\

率.

注：①若直线/经过点P1（X1,J1）,尸2（必，J2）（X#X2）,则直线P1P2的方向向量尸1尸2的坐标为（必一为，yi—

yt）,也可表示为（1,k）,其中A=生二％

X2-X1

②倾斜角a不是90的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当王=/时，直线与*轴垂

直，直线的倾斜角a=90,斜率不存在；当X=%时，斜率攵=0,直线的倾斜角a=0,,直线与

x轴重合或者平行

③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换

【即学即练5】已知直线/的倾斜角为30。，则直线/的斜率为（）

B币

【解析】由题意可知，直线/的斜率A=tan30°=坐

【即学即练6】直线经过点尸（3,2）,。（一3,3）,则左=________.直线尸。的倾斜角为角（填“钝”或

“锐”）.

321

【解析】《==三=一广0,直线尸。的倾斜角为钝角.

答案：T钝

知识点3斜率与倾斜角的联系

倾斜角a

a=0°0°<a<90°a=9090=<«<180

（范围）

斜率k

k=Qk>0人不存在k<0

（范围）

【即学即练7】若A,8两点的横坐标相等，则直线A8的倾斜角和斜率分别是（）

A.45°,1B.135°,-1

C.90°,不存在D.180°,不存在

【解析】由于4,8两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90。，斜率不存在.故选C.

【即学即练8】如图，直线小2，3的斜率分别为心，*2.心，则（）

A.ki<k2<ksB.43vAi<々2

〈

C.k3<k2<kiD.ki<k3kz

【解析】直线，2,，3的倾斜角为锐角，且直线的倾斜角大于直线乙的倾斜角，所以0〈心〈心.直线八

的倾斜角为钝角，斜率A|V0,所以依〈心〈心.

P考点精析

考点一求直线的倾斜角

解题方略:

求直线的倾斜角的方法及两点注意

（1）方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.

⑵两点注意：①当直线与X轴平行或重合时，倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时，倾斜角为90。.

②注意直线倾斜角的取值范围是0°WaV180。.

【例1-1】已知直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角a的取值范围是（）

A.0°^a<90°B.90°^a<180°

C.90°<a<180°D.0°<a<180°

【解析】直线倾斜角的取值范围是0°WaV180°,又直线/经过第二、四象限，所以直线/的倾斜角a的取

值范围是90°VaV180°.故选C

【例1-2】设直线/过原点，其倾斜角为a,将直线/绕坐标原点沿逆时针方向旋转45。，得到直线公，则直

线Zi的倾斜角为（）

A.a+45°B.a-135°

C.135°-aD.々+45°或々一135°

【解析】由倾斜角的取值范围知，只有当0°・。+45。<180°（0°・。<180°）,即0°WaVI35°时，人的倾斜角

才是a+45°.而0°WaV1800,所以当135°<aV180°时，6的倾斜角为。一135°（如图）.故选D

考点二求直线的斜率、r

解题方略：।

i.利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

（1）运用公式的前提条件是“X1WX2”，即直线不与X轴垂直，因为当直线与X轴垂直时，斜率是不存

在的；

(2)斜率公式与两点Pl,尸2的先后顺序无关，也就是说公式中的XI与X2,力与以可以同时交换位置.

2.在0°Wa<18()°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

倾斜角a0°30°45°60°120°135°150°

电

斜率A01一木-1

3小3

【例2-1]经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角a.

⑴A(2,3),5(4,5)；

(2)。一2,3),0(2,-1)；

(3)尸(一3,1),0(-3,10).

【解析】(1)存在.直线AB的斜率k钠=三1=1,即tana=l,又0°Wa<180°,所以倾斜角a=45°.

—1—3

(2)存在.直线CD的斜率版。=,_/__=一1,即tana=-l,又0°^a<180°,所以倾斜角a=135°.

(3)不存在.因为如=必=一3,所以直线尸。的斜率不存在，倾斜角a=90°.

变式1：过点尸(-2,切)，〃,4)两点的直线的方向向量为(1,2),则，"的值为.

4—m

【解析】由斜率公式々=---7-£=2,得〃z=0.

，〃一(-2)

变式2：已知一机+3),B(2,zn-1),C(-l,4),直线AC的斜率等于直线5C的斜率的3倍，求m

的值.

【解析】由题意直线AC的斜率存在，即机工一1.

(一加+3)—44

：•"=,n+1，kBC=2-(-1)•

.(―/n+3)~4(_-1)-4

:，/n+1=$2-(-1),

整理得：一m—1=(m—5)(/n+1),(m+1)(m—4)=0,

.\/n=4或，n=-1(舍去).//i=4.

考点三斜率与倾斜角的关系

解题方略:

1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式&=tana(aW90。)解决.

2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式4=空\刈。*2)求解.

JC?X]

(三)由倾斜角求斜率值(范围)

【例3-1】若直线/的斜率为A,倾斜角为a,且aC,则A的取值范围是

【解析】Vae[1,£)U%,7T),

当］WaVm时,jCtana<l,・••乎WAV1.

当以VTT时，一V5WtanctVO,，一小WkVQ.

；・k£［一小,O)U坐,1)

答案：［一,，o)u半，I)

变式1：若经过两点4(2,1),8(1,”於)的直线/的倾斜角为锐角，则的取值范围是()A.(-8,1)

B.(-1,+~)

C.(-1,1)D.(-8,-1)U(L+~)

—］

【解析】,直线/的倾斜角为锐角，；.斜率&=>0,.♦.-kmvl.故选C

1.乙

变式2：若直线的倾斜角为a,且sina+cosa=g,则直线的斜率为(

)

3„43.444

A.Z或]BD.『或一§r——D.-

•33

1124

【解析】由题意，ae[0,7i),由sina+cosa=《=>l+2sinacosa=w=>2sinacosa=-不<0,则

aG3",所以sin。>0,cosa<0=>sina-cosa>0.

于是sina-cosa=J(sina-cosa)-=Jl-2sinacosa=瑶小联立

.1.4

sma+cosa=-sina=一

sina4

5n、=>tancr=

.73cosa3

sina-cosa=—cosa-——

55

故选：C.

(四)由斜率求倾斜角的值(范围)

【例3-2】已知a,b,c是两两不等的实数，则经过点P(b,5+c)和点Q(a,c+a)的直线的倾斜角为()

A.30°B.45°

C.60°D.135°

【解析】显然，经过点P和点。的直线的斜率存在，由直线的斜率公式，得4做=©^费土9=1.又tan

45°=1,所以直线P0的倾斜角为45°.故选B.

【例3-3］若直线I的斜率ke［-1,1］,求直线I倾斜角a的范围.

【解析】直线/的斜率左tan?=1,tan,=-1,结合正切函数在[0,p）的单调性得

八7134[

aG0,—2彳*}

4

兀7T(2n

变式1：设直线/的斜率为3且-石<左（1,则直线/的倾斜角。的取值范围是（)A.0,-uy,n

4

兀

B.

。，沙6普，无

712兀713兀

C.41TD.3'T

2兀

【解析】因为直线/的斜率为3且因为2£[0,九），.,0£T,nU。,；.

故选：A.

变式2：若直线/经过42,1）,8（1，->）（机eR）两点，则直线/的倾斜角a的取值范围是（）

c,n7C_7TJ7T

A.0Ka<——B.—<avRC.——<a4—D.—<a<—

422442

【解析】根据题意，直线/经过42,1),8(1,

团直线/的斜率a=与。=1+4，又msR,

团1+〃，之1,即tana=kNl,又0«a<〃，

7T71

团一Wa<一；

42

故选：D.

考点四斜率公式的应用

解题方略：

（三）利用直线斜率处理共线问题

【例4-1】已知a>0,若平面内三点4（1,~a）,5（2,a2）,C（3,tP）共线，则。=.

【解析】由题意知《AH=ABC,

a2A~a加一出

则万口=手与，整理得a3-2a2-a=0,

又〃>0,故有〃2—2a-1=0,

解得〃=1+6或a=l—（舍去）.

答案：1+V2

变式1：若A（a,0）,3（0,b）,C（-2,一2）三点共线，贝！|'+:=_______.

ab

【解析】由题意得手=2，H+2(a+b)=0,-+[=~.故答案为：

2Q+2ah22

【例4-2】若三点4(3,1),5(—2,k),C(8,l)能构成三角形，则实数"的取值范围为

k—\1—即1—10

【解析】kAB=-,-AC=T_a=三=0・

ND?dJ?

要使4,B,C三点能构成三角形，需三点不共线，

]—k

即《ABW«AC,~~W0.

答案：(一8,1)U(1,+~)

(四)斜率公式的几何意义的应用

【例4-3】点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上，当xe[2,5]时，2?的取值范围是()

X+1

-781「810-

A.B.

l_33J|_33_

-5161「58一

C."D.—»―

133」[_33J

【解析】因为点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上，

所以x=2时，y=8；当x=5时，y=14；

故设A(2,8),8(5,14)

而马三可看作函数y=2x+4的图象上的点与点户(-1,-2)连线的斜率，

故xe[2⑸时，％4言4K

10882+y/°

而女期=7,如=§，所以广

X4-13

故选：B.

变式1：若点P(x,y)在以A(-3,l),8(—1,0),C(—2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则二1的

取值范围是()

y-2

【解析】根据已知的条件，可知点尸(x,刃是点A,B,C国成的△45C内一动点，那么所求七■的几何意

义是过动点P(x,y)与定点M(l,2)的直线的斜率.由已知，得心”=；,AB,W=1,ACM=；.利用图象，可得上^

的取值范围是Q,1).故选D.

考点五直线与线段的相交关系求斜率的范围

解题方略：

涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.

4

一一/)且总与线段48有交点，求直线/的斜率A

【例5-1】已知点4(2,1),B(-2,2),若直线/过点5

的取值范围.

【解析】当直线/由位置以绕点尸转动到位置时，/的斜率逐渐变大直至当/垂直于x轴，当直线

/垂直于X轴时，/无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置，所以直线I的斜率上力和A=，或

k<kpB=一告即直线/的斜率A的取值范围为(-8,+8)

变式1：经过点p(o,-1)作直线/,若直线/与连接A(l,-2),8(2,1)的线段总有公共点,

则直线/的斜率k的取值范围为()

A.[-1,1]B.(-«),-l]u[l,+oo)C.卜1,1)D.

【解析】根据题意画图如下:

一2一(”=与尊=1,在射线PA逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大，

直线,与线段43总有公共点，所以T4后WL

故选:A.

变式2：已知点A(2,3),8(-2,-1),若直线/:y=Z(x-1)・2与线段A8没有公共点，则火的取值范围是()

-151

B.—00,-------

3'3

1

C.（5,-KO）D.—CO,----“--5,+8）

3

【解析】直线/：y=%Q-I)-2经过定点P(l,-2).

因为4(2,3),川一2,-1),所以%=与毕=5,%=坐毕=一］,所以

Z—1—Z—13

要使直线/：y=Z(x-1)-2与线段AB没有公共点,

只需：kpli<k<kPA,即

所以k的取值范围是,今5).

故选：A

◎分层提分

F-vJ分层提分

题组A基础过关练

1、【多选】下列说法中，正确的是()

A.直线的倾斜角为白,则此直线的斜率为tana

B.一条直线的倾斜角为-30

C.若直线的倾斜角为"，贝!|sina..O

D.任意直线都有倾斜角。，且夕*90。时，斜率为tana

【解析】对于A,直线的倾斜角为a,当。=90。时，斜率不存在，A错误;

对于B,直线的倾斜角的范围为10,万)，B错误；

对于C,直线的倾斜角的范围为10,兀),则有sina.O,C正确；

对于D,任意直线都有倾斜角a,且&*90。时，斜率为tan。，D正确；

故选：CD.

2、已知点A(2,4),B(3,6),则直线A5的斜率为()

A.gB.--C.2D.-2

【解析】因为A(2,4),8(3,6),所以心"=黑=2.故选：C

3、过点41,2)、8(7,0)的直线的倾斜角为()

2-0

A.45°B.135°C.1D.-1【解析】过A、5的斜率为人==】，则该直线的倾斜角为45。，故

选：A.

4、已知直线/经过点4(1,2),且不经过第四象限，则直线/的斜率A的取值范围是()

A.(-1,0]B.[0,1]

C.[1,2]D.[0,2]

【解析】由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线/的斜率满足

故选D.

已知直线/的斜率为3倾斜角为。，若45。＜&＜135。，则k的取值范围为().

A.(-M)B.(^»,-l)U(l,+oo)

C.[-11]D.(fo,T]U[L+°°)

【解析】直线倾斜角为45。时，斜