2024新教材高中数学第2章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.4圆与圆的位置关系对点练新人教B版选择性必修第一册

2．3.4圆与圆的位置关系学问点一两圆位置关系的推断及应用1.已知0＜r＜eq\r(2)＋1，则圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切 B．内含C．相交 D．相离答案C解析设圆x2＋y2＝r2的圆心为O1，半径为r1，圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O2，半径为r2，则两圆的圆心距为|O1O2|＝eq\r(2)，r1＋r2＝r＋eq\r(2)，|r1－r2|＝|eq\r(2)－r|，因为0<r<eq\r(2)＋1，所以eq\r(2)<r＋eq\r(2)<2eq\r(2)＋1，－eq\r(2)<r－eq\r(2)<1.所以|eq\r(2)－r|<|O1O2|<r＋eq\r(2)，所以两圆相交．故选C.2．已知两圆的半径分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根，假如圆心距|O1O2|＝8，则两圆的位置关系是()A．外离 B．外切C．内切 D．相交答案A解析由方程x2－7x＋12＝0得两个根分别为3和4，故两圆半径之和为7，而两圆的圆心距为8，故这两圆外离．3．已知半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36答案D解析由题意，可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得eq\r(a2＋9)＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，故所求圆的方程是(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36.4．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的公切线有且仅有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条答案D解析圆心距为3，半径长之和为2，故两圆外离，公切线的条数为4.学问点二两圆的公共弦5.圆x2＋y2－2x＋F＝0与圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则E，F的值分别为()A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8答案C解析由题意联立两圆方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋F＝0，,x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，))得4x＋Ey－4－F＝0，则eq\f(E,4)＝－1，eq\f(－4－F,4)＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.6．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)所截得的弦长为________．答案eq\r(23)解析圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2＋y2－1－(x2＋y2－2x－2y＋1)＝0，即x＋y－1＝0.圆心C3到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以所求弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(\f(25,4)－\f(1,2))＝eq\r(23).学问点三圆系方程7.求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0交点的圆的方程．解解法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))得交点坐标分别为(0,2)，(－4,0)．设所求圆的圆心坐标为(a，－a)，则有eq\r(a2＋－a－22)＝eq\r(a＋42＋a2)＝r，解得a＝－3，r＝eq\r(10)，因此圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.解法二：同解法一，得两已知圆的交点坐标为(0,2)，(－4，0)，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2E＋F＝0，,16－4D＋F＝0，,－\f(D,2)－\f(E,2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝6，,E＝－6，,F＝8.))因此圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.解法三：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)．即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，因为这个圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以－eq\f(2λ－2,21＋λ)－eq\f(2λ＋10,21＋λ)＝0，解得λ＝－2，因此圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.一、选择题1．若圆(x＋1)2＋y2＝4和圆(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是()A．0<a<2B．－4<a<－2或0<a<2C．－4<a<－2D．－2<a<0或2<a<4答案B解析设圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心为C1，半径为r1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为C2，半径为r2，则两圆圆心的坐标分别为C1(－1,0)和C2(a,0)，半径r1＝2，r2＝1，∵两圆相交，∴1<|C1C2|<3，∴1<|a＋1|<3，∴0<a<2或－4<a<－2.故选B.2．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A．(0，eq\r(2)－1) B．(0,1]C．(0,2－eq\r(2)] D．(0,2]答案C解析由M∩N＝N得N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥eq\r(2)，即0＜r≤2－eq\r(2).3．两圆相交于A(1,3)和B(m，－1)两点，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是()A．－1 B．2C．3 D．0答案C解析由题意知，直线AB与直线x－y＋c＝0相互垂直，则有eq\f(3＋1,1－m)×1＝－1，∴m＝5，∴AB的中点为(3,1)．由圆的性质知，AB的中点在直线x－y＋c＝0上，即3－1＋c＝0，∴c＝－2，从而m＋c＝5－2＝3.4．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是()A．5 B．7C．9 D．11答案C解析由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝eq\r([1－－3]2＋[－2－1]2)＝5>r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.5．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有()A．2ax1＋2by1＝a2＋b2B．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b答案ABC解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故A正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2，得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故B正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2相互平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确．故选ABC.二、填空题6．与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为________．答案(x－5)2＋(y＋1)2＝1解析圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，则C，A所在直线的方程为y＝－1，所以可设所求圆的圆心为D(a，－1)．由|DA|＝a－4＝1，得a＝5.故所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.7．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为________．答案eq\r(2)解析题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d＝eq\f(|－3|,\r(1＋－12))＝eq\f(3\r(2),2).设公共弦的长为l，则l＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\r(2).8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．答案eq\f(4,3)解析可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．则eq\f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2，整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤eq\f(4,3).故k的最大值为eq\f(4,3).三、解答题9．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，推断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？解(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝eq\r(1＋12＋－2－02)＝2eq\r(2)，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2<d<r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，则圆心距d＝eq\r(m＋12＋－2－02)<3－1，即(m＋1)2<0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．10．求半径长为4，与圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为A.又圆A与直线y＝0相切且半径长为4，故圆心为A(a,4)或A(a，－4)．圆C的圆心为C(2,1)，半径长r＝3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.作分类探讨：当取A(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2eq\r(10)，此时所求圆的方程为(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16；当取A(a，－4)