2024新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件练习新人教A版必修第一册

.4充分条件与必要条件1．4.1充分条件与必要条件学问点一命题及真假的推断1．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________(填序号)．答案①④解析①④是真命题；②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不确定是正方形；③平行四边形不是梯形．2．推断下列语句是否是命题，若是，并推断其真假．(1)x∈R，x2＋4x＋4≥0；(2)实数的平方是正数；(3)若x＋y和xy都是有理数，则x，y都是有理数；(4)60x＋9>4；(5)若x∈N，则x2＋4x＋7>0.解(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，对于x∈R，可以推断此陈述句的真假，故它是命题，且是真命题．(2)该语句是命题.0的平方还是0，不是正数．故实数的平方是正数是假命题．(3)该语句是命题.eq\r(3)＋(－eq\r(3))和eq\r(3)×(－eq\r(3))都是有理数，但eq\r(3)，－eq\r(3)都是无理数，所以它是假命题．(4)这种含有未知数的语句，未知数的取值是否使不等式恒成立无法确定，不能推断其真假，所以它不是命题．(5)因为当x∈N时，x2＋4x＋7>0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．学问点二充分条件与必要条件3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法推断答案A解析当a＝1时，|a|＝1成立，但当|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不确定成立，所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．故选A.4．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件答案C解析∵－2＜x＜1eq\o(⇒,/)x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1eq\o(⇒,/)－2＜x＜1.∴“－2＜x＜1”既不是“x＞1或x＜－1”的充分条件，也不是“x>1或x<－1”的必要条件．5．“a>b”是“a>|b|”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案B解析当a＝1，b＝－2时，满意a＞b，但a＞|b|不成立，即充分性不成立．因为a>|b|≥b，所以必要性成立．故“a＞b”是“a＞|b|”的必要条件但不是充分条件．6．“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案A解析当x>1时，eq\f(1,x)<1成立；当x<0时，也满意eq\f(1,x)<1，故“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的充分条件但不是必要条件．7．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案B解析由a∈M∪Neq\o(⇒,/)a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即peq\o(⇒,/)q，但q⇒p.8．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的________条件．答案必要条件但不是充分解析由两个三角形全等可得两个三角形面积相等．反之不成立．所以“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件但不是充分条件．9．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．答案充分条件但不是必要解析当a＝1时，N＝{1}，此时N⊆M；当N⊆M时，a2＝1或a2＝2，解得a＝1或－1或eq\r(2)或－eq\r(2).故“a＝1”是“N⊆M”的充分条件但不是必要条件．10．给出下列四组命题：(1)p：两个三角形相像，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.试分别指出p是q的什么条件．解(1)∵两个三角形相像eq\o(⇒,/)两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相像，∴p是q的必要条件但不是充分条件．(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不确定是矩形，∴qeq\o(⇒,/)p.∴p是q的充分条件但不是必要条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．(4)∵peq\o(⇒,/)q，且qeq\o(⇒,/)p，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．学问点三充分条件、必要条件的应用11．已知p：－4<x－a<4，q：2<x<3，若q是p的充分条件，则a的取值范围为()A．1<a<6 B．－1<a<6C．1≤a≤6 D．－1≤a≤6答案D解析p：a－4<x<a＋4，q：2<x<3，由于q是p的充分条件，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤6.12．(多选)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要条件但不是充分条件，则a的值可能为()A．2B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)答案BC解析p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－eq\f(1,a).由题意知peq\o(\s\up7(\a\vs4\al(⇒)),\s\do5(/))q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).综上可知，a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).故选BC.13．若a－1<x<a＋1成立的充分条件但不是必要条件是eq\f(1,2)<x<eq\f(3,2)，则a的取值范围为()A.eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)C．a<eq\f(1,2)或a>eq\f(3,2) D．a≤eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2)答案B解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤\f(1,2)，,a＋1>\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1<\f(1,2)，,a＋1≥\f(3,2)，))解得eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2).14．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围是________．答案{m|m>1}解析由题意，得AB，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－1，,m＋1>2，))解得m>1.15．已知p：x<－1，q：x≤a.若p是q的必要条件但不是充分条件，则a的取值范围是________，若p是q的充分条件但不是必要条件，则a的取值范围是________．答案{a|a<－1}{a|a≥－1}解析若p是q的必要条件但不是充分条件，则{x|x≤a}{x|x<－1}，则a<－1.若p是q的充分条件但不是必要条件，则{x|x<－1}{x|x≤a}，则a≥－1.16．已知p：a≤x≤a＋1，q：0<x<4，若p是q的充分条件但不是必要条件，则a的取值范围是________．答案0<a<3解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0<x<4}．∵p是q的充分条件但不是必要条件，∴MN，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a＋1<4，))解得0<a<3.17．已知p：－1<x<3，q：k－2≤x≤k＋5，若p是q的充分条件但不是必要条件，求实数k的取值范围．解因为p是q的充分条件但不是必要条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2≤－1，,k＋5≥3，))解得－2≤k≤1，所以实数k的取值范围为{k|－2≤k≤1}．18．设命题p：“a－1≤x≤a＋1”，命题q：“2≤x≤3”．(1)当a＝0时，推断p是q的什么条件；(2)若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，命题p：“－1≤x≤1”，命题q：“2≤x≤3”，明显p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(2)命题p：“a－1≤x≤a＋1”，命题q：“2≤x≤3”．因为p是q的必要条件但不是充分条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥3，,a－1<2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>3，,a－1≤2，))解得2≤a≤3，所以实数a的取值范围是2≤a≤3.19．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．(1)若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分条件但不是必要条件，求实数m的取值范围．解(1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要条件但不是充分条件，所以q是p的充分条件但不是必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10.))解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．(2)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分条件但不是必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))解得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}．易错点推断充分、必要条件时忽视隐含条件致错推断下列说法是否正确，假如不正确，分析错误的缘由．(1)x2＝x＋2是xeq\r(x＋2)＝x2的充分条件；(2)x2＝x＋2是xeq\r(x＋2)＝x2的必要条件．易错分析本题简单忽视题目中的隐含条件致误．正解(1)x2＝x＋2⇔x＝±eq\r(x＋2)，x＝±eq\r(x＋2)⇒x2＝±xeq\r(x＋2)，故x2＝x＋2eq\o(⇒,/)x2＝xeq\r(x＋2).故说法错误．(2)xeq\r(x＋2)＝x2⇔x＝0或eq\r(x＋2)＝x(其中x为正数)，故xeq\r(x＋2)＝x2eq\o(⇒,/)x2＝x＋2.故说法错误．一、单项选择题1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案B解析“便宜没好货”的意思是“好货”确定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案A解析若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而当a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分条件但不是必要条件．3．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案B解析因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要条件但不是充分条件．故选B.4．设x∈R，则“|x|<1”是“x3＜1”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案A解析由|x|<1，得－1<x<1，所以－1<x3<1；由x3<1，得x<1，不能推出－1<x<1.所以“|x|<1”是“x3<1”的充分条件但不是必要条件．故选A.5．使|x|＝x成立的一个必要条件但不是充分条件是()A．x≥0B．x2≥－xC.eq\r(x)≥0D.eq\f(1,x)>0答案B解析由|x|＝x，得x≥0.选项A和C是必要条件也是充分条件，不符合题意；选项D是充分条件但不是必要条件，不符合题意．选项B满意题意，故选B.6．已知p：4x＋m<0，q：x>2或x<－1，若p是q的充分条件但不是必要条件，则m的取值范围为()A．m>4B．m<4C．m≥4D．m≤4答案C解析p：4x＋m<0，即x<－eq\f(m,4)，因为p是q的充分条件但不是必要条件，所以－eq\f(m,4)≤－1，即m≥4.7．王昌龄是盛唐闻名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最终一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．必要条件B．充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件答案A解析由题意可知“返回家乡”可以推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．8．设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个大于1”的一个充分条件但不是必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1答案B解析A项，x＋y＝2时，令x＝y＝1，不符合命题；而命题“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y≠2，所以既不是充分条件，也不是必要条件；B项，x＋y＞2时，若x，y都不大于1，则x＋y≤2冲突，可得x，y中至少有一个大于1；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y＜2，所以是充分条件但不是必要条件；C项，x2＋y2＞2时，令x＝－2，y＝0，不符合命题；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝1.1，y＝0，x2＋y2＜2，所以既不是充分条件，也不是必要条件；D项，xy＞1时，令x＝－1，y＝－2，不符合命题；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，xy＜1，所以既不是充分条件，也不是必要条件．二、多项选择题9．下列不等式中，是|x|<1的一个充分条件的是()A．x<1 B．0<x<1C．－1<x<0 D．－1<x<1答案BCD解析由于|x|<1，即－1<x<1，x<1eq\o(⇒,/)－1<x<1，故A错误；0<x<1⇒－1<x<1，故B正确；－1<x<0⇒－1<x<1，故C正确；D明显正确，故选BCD.10．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y) D．若x<y，则x2<y2答案BC解析p是q的必要条件，则q是p的充分条件．对于A，当x＝y＝0时，推不出eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，A不正确；对于B，x＝1⇒x2＝1，B正确；对于C，eq\r(x)＝eq\r(y)⇒x＝y，C正确；对于D，令x＝－2，y＝－3，则x2<y2eq\o(⇒,/)x<y，D不正确．故选BC.11．下面四个条件中，使a>b成立的充分条件但不是必要条件是()A．a≥b＋1 B．a>2bC．a2>b2 D．a>|b|答案AD解析对于A，由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，若a＝4，b＝3.5，则4>3.5eq\o(⇒,/)4≥3.5＋1，故a>beq\o(⇒,/)a≥b＋1，故A正确；对于B，当a＝－3，b＝－2时，－3>－4eq\o(⇒,/)－3>－2，故B错误；对于C，若a＝－4，b＝3，则(－4)2>32eq\o(⇒,/)－4>3，故C错误；对于D，由a>|b|≥b，从而a>|b|⇒a>b，反之，若a＝1，b＝－2，则1>－2eq\o(⇒,/)1>|－2|，故a>beq\o(⇒,/)a>|b|，故D正确．故选AD.12．下列说法正确的是()A．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要条件但不是充分条件B．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要条件但不是充分条件C．“a<－1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分条件但不是必要条件D．“A≠∅”是“A∩B≠∅”的充分条件但不是必要条件答案BC解析当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不确定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分条件但不是必要条件，故A错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要条件但不是充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要条件但不是充分条件，故B正确；由“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”，得a<0，所以“a<－1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分条件但不是必要条件，故C正确；由“A≠∅”得不到“A∩B≠∅”，即“A≠∅”不是“A∩B≠∅”的充分条件，由“A∩B≠∅”可知“A≠∅”，即“A≠∅”是“A∩B≠∅”的必要条件，故“A≠∅”是“A∩B≠∅”的必要条件但不是充分条件，故D错误．故选BC.三、填空题13．“a和b都是偶数”是“a＋b也是偶数”的________条件．答案充分条件但不是必要解析当a和b都是偶数时，则a＋b也是偶数；当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．14．“a为素数”________“a为奇数”的充分条件(填“是”或“不是”)．答案不是解析素数是除了1和它本身以外不再有其他因数的数，奇数是不能被2整除的数．当a＝2时，a为素数，但a是偶数不是奇数．所以“a为素数”不是“a为奇数”的充分条件．15．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为________．答案m≥4解析令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B.所以m≥4.16．已知P＝{x|－a－4<x<a＋4}，Q＝{x||x|<6}．若P＝Q，则a＝________；若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，则a的取值范围为________．答案2a<2解析Q＝{x||x|<6}＝{x|－6<x<6}，若P＝Q，则a＋4＝6，a＝2.若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，则PQ，则需满意a＋4<6，得a<2.四、解答题17．指出下列命题中，p是q的什么条件．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．解(1)数a能被6整除，则确定能被3整除，反之不确定成立．即p⇒q，qeq\o(⇒,/)p，∴p是q的充分条件但不是必要条件．(2)∵x2>1⇒x>1或x<－1，∴p⇒q，且qeq\o(⇒,/)p.∴p是q的充分条件但不是必要条件．(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不确定为正三角形，即peq\o(⇒,/)q，且q⇒p，∴p是q的必要条件但不是充分条件．18．已知条件p：x<1－a或x>1＋a和条件q：x<eq\f(1,2)或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a.解依题意a>0.由条件p：x<1