《函数y=Asin（ωx+φ）的图像》教学设计、导学案、同步练习

第五章三角函数

《5.6函数y=Asin（cox+力）的图像》教学设计

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》5.6.2节函数

y=Asin（3x+6）的图象通过图象变换，揭示参数巾、3、A变化时对函数图象的

形状和位置的影响。通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin（wx+<t>）的图象变

换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过

对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破,让学生

学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数小、3、A的

分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系。通过图象变

换和"五点"作图法，正确找出函数y=sinx到y=Asin（3x+6）的图象变换规

律,这也是本节课的重点所在。提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转

化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

1.借助计算机画出函数y=Asin（wx+a.数学抽象：三个参数对函数图像变化的

巾）的图象，观察参数①，a,A对函数影响；

图象变化的影响；b.逻辑推理：由特殊到一般的归纳推理；

2.引导学生认识y=Asin（wx+<i>）的图C.数学运算：运用规律解决问题；

象的五个关键点，学会用“五点法”画d.直观想象：由函数图像归纳规律；

函数y=Asin（3x+6）的简图；用准确的e.数学建模：运用规律解决问题；

数学语言描述不同的变换过程.

3.体会数形结合以及从特殊到一般的化

归思想;培养学生从不同角度分析问题，

解决问题的能力.

【教学重难点】

教学重点：重点：将考察参数A、3、巾对函数y=Asin（3x+@）图象的影

响的问题进行分解，找出函数y=sinx到y=Asin（3x+6）的图象变换规律.学

习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函

数y=Asin(«x+<t>)的简图.

教学难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解.

【教学过程】

教学过程设计意图

(一)创设问题情境

提出问题

上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin通过开门

(Qx+)其中(A>0,3>0)的函数.显然，这个函数由见山，提出问

参数A,3,6所确定.因此，只要了解这些参数的意义，知题，利用图像

道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质.从变换观察参数

解析式看，函数y=cosx就是函数y=Jsin(a>x+。)，在A=1,对函数图像的

3=1,0=0时的特殊情形.影响问题，培

(1)能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参养和发展数学

数A,3,0对函数尸力sin(3x+0)的影响？抽象、直观想

(2)函数y=Nsin(0)含有三个参数，你认为应按怎样象的核心素

的思路进行研究.养。

1.探索0对y=sin(x+。)图象的影响

为了更加直观地观察参数。对函数图象的影响，下面借助

信息技术做一个数学实验.如图5.6.4,取A=1,3=1,动

点M在单位圆。1上以单位角速度按逆时针方向运动.图5.6.4

如果动点M以。0为起点(此时。=0),经过xs后运动到点P,

那么点P的纵坐标y就等于sinx.以(x,y)为坐标描点，可

得正弦函数尸sinx的图象.

在单位圆上拖动起点Qo,使点Qo绕点Q1旋转m到Q1，你发现

图象有什么变化？如果使点Qo绕点Qi旋转或者旋转一

633

个任意角0呢

当起点位于Qi时，0岑，可得函数尸sin(x+g)的图象.进

66

一步，在单位圆上，设两个动点分别以Qo,Qi为起点同时开始

运动.如果以为为起点的动点到达圆周上点P的时间为xs,那

么以Qi为起点的动点相继到达点P的时间是(广$s.这个规律

反映在图象上就是：如果F(x,y)是函数y=sinx图象上的一

点，那么力就是函数y=sin(x+p图象上的点，如图

5.6-4所示.这说明，把正弦曲线y=sinx上的所有点向左平移

g个单位长度，就得到y=sin(x+g)的图象.

66

一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为。时，对应

的函数是尸sin(x+。)(，把正弦曲线上的所有点向左

(当0时)或向右(当0时)平移|。|个单位长度，

就得到函数y=sin(x+。)的图象.

2.探索3(3>0)对y=sin(cox+)图象的影响下面,

仍然通过数学实验来探索.如图5.6.5,取圆的半径A=l.为了

研究方便，不妨令e当3=1时得至Ijy=sin(x+£)的图

66

象.

取3=2,图象有什么变化？取3=｝呢？取3=3,3

=%图象又有什么变化？当3取任意正数呢？

取3=2时，得到函数y=sin（2x+9的图象.进一步，

在单位圆上，设以Q1为起点的动点，当3=1时到达点p的时

间为久1S,当3=2时到达点P的时间为久2S.因为3=2时

动点的转速是3=1时的2倍，所以久2=之为「这样，设G（x,

y）是函数y=sin（x+g）图象上的一点，那么K（；久，y）就是

6Z

函数y=sin（2x+g）图象上的相应点，如图5.6-5示.这说明，

6

把了=5行5+9的图象上所有点的横坐标缩短到原来的;倍（纵

坐标不变），就得到尸sin（2x+g）的图象.尸sin（2x+g）的周

66

同理，当3=凯寸，动点的转速是3=1时的1倍，以Qi为

起点，到达点P的时间是3=1时的2倍.这样，把尸sin（X

+5图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），

6

就得到尸sin（；x+m）的图象.尸sin&r+E）的周期为4n,

2626

是/=5壮5+0的周期的2倍.

6

一般地，函数的周期是打，把/=5壮5+“）图象上所有点

0）

的横坐标缩短（当3>1时）或伸长（当0<3V1时）到原

来的工倍（纵坐标不变），就得到的图象.

0）

3.探索A（A>0）对丫=$:111（3x+<i>）图象的影响

下面通过数学实验探索A对函数图象的影响.为了研究方

便，不妨令3=2,6=囚.当A=1时，如图5.6.6,可得y=sin

6

(2x+-)的图象.

6

变化？当A取任意正数呢？

当A=2时，得到函数y=2sin(2x+g)的图象.

进一步，设射线。iQi与以。1为圆心、2为半径的圆交于

如果单位圆上以。1为起点的动点，以3=2的转速经过x

s到达圆周上点P,那么点P的纵坐标是2sin(2x+g)；相应地,

点Ti在以。1为圆心、2为半径的圆上运动到点T,点T的纵坐标

是2sin(2x+-).这样，设K(x,y)是函数y=sin(2x+-)图

66

象上的一点，那么点N(x,2y)就是函数图象y=2sin(2x+-)通过对典

6

型问题的分析

上的相应点，如图5.6.6所示.这说明，把丫=$血(2*十三)图象

6解决，发展学

上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到

生数学建模、

y=2sin(2x+g)的图象.同理，把y=sin(2x+g)图象上所有点

逻辑推理，直

的纵坐标缩短到原来的J倍(横坐标不变)，就得到y=；sin(2x+m)观想象、数学

226

抽象、数学运

的图象.

算等核心素

一般地，函数尸Nsin(0)的图象，可以看作是把y

养；

=4sin(3x+0)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或

缩短(当0<AV1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从

而，函数y=4sin(ox+0)的值域是[—A,A],最大值是A,

最小值是一A

你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到y

=/sin（。）（A>0,w>0）图象的过程与方法吗？

一般地，函数y=Asin{ox+。）（A>0,。>0）的图象，

可以用下面的方法得到：先画出函数y=sinx的图象；再把正

弦曲线向左（或右）平移个单位长度，得到函数_7=5m（、

+0）的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的工倍（纵

0）

坐标不变），得到函数y=sin（0）的图象；最后把曲线上

各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是

函数y=/sin（ox+0）的图象.

规律总结：

先平移后伸缩的步骤程序如下：

向左（尹>0）或向右（0<0））

y=sinx的图象平移飙个单位长度

得y=sin（x+6）的图象

横坐标伸长（0<卬<1）或缩短3>1）,

到原来L（纵坐标不变）

得y=sin（3x+6）的图象

纵坐标伸长（4>1）或缩短（0<月<1））

为原来的4倍（横坐标不变）

得y=Asin（ox+<t>）的图象.

先伸缩后平移（提醒学生尽量先平移），但要注意第三步的

平移.

纵坐标伸长（4>1）或缩短）

y=sinx的图象这原来的月倍（横坐标不变）

得y=Asinx的图象

横坐标伸长或缩短盛>1））

到原来的L（纵坐标不变）

㈤

得y=Asin（wx）的图象

向左3>o）或缩短（3>i））

平移凶个单位

得y=Asin（ax+巾）的图象.

典例解析

例1画出函数y」sin（3^--）的简图.

26

解：先画出函数片sinx的图象；再把正弦曲线向右平移.个

单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为

原来的2倍，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为

原来的2倍，这时的曲线就是函数y=：sin（3『g）的图象，如

26

图5.6.7所示.

下面用“五点法”画函数y=；sin（3x《）在一个周期（T=

26

—）内的图象.令X=3X-3则x*（X+-）列表（表5.6.1）,

3636

描点画图（图5.6.8）

客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景

色.如图5.6.9,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘

直径为110m,设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋

转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需

要30in.

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地

面的高度为Hm,求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析

式；

(2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；

(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行

一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)关于t

的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1)

分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周

上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度军呈现周

而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.

解：如图5.6.10,设座舱距离地面最近的位置为点P,

以轴心0为原点，与地面平行的直线为无轴建立直角坐标系.

(1)设t=0加九时，游客甲位斗

于点P(0,-55),以0P为终边的角

为q；根据摩天轮转一周大约需要4——；

30min,可知座舱转动的角速度约为\1^/

々nrad/min,由题意可得H=55sin.._..

15图5.6-10

(巳片气+65,0Wt<30,

(2)当£=5时，H=55sin(-x5--)+65=37.5

152

所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5

(3)如图5.6.10,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示,

则ZA0B=—=—.经过tmin后甲距离地面的高度为“i=55sin

(93)+65,点B相对于点A始终落后看rad,此时乙距离地

面的高度为”2=55sin(2片詈)+65.则甲、乙距离地面的高度

差八=|匕一%|=55sin程仁)-

sin(—t--)|=55|sin(—t--)+sin(———t)\,

15247111522415J\

sind+sincp=2sin^^~cos^^~,可得

/i=lio|sin—sin(―^——)|,0<t<30,当工t——=-(

1481548y|15482

371x

2，

即个7.8(或22.8)时，/i的最大值为HOsin工-7.2.

48

所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.

三、当堂达标

1.函数旷=3$行已F十用的振幅和周期分别为（）通过练习

巩固本节所学

JIJIJI

A.3,4B.3,-^~C.―,4D.—,3知识，巩固对

三角函数图像

（JI兀）

【解析】由于函数y=3sinQx+iJ,・,•振幅是3,周期

变换规律的理

2兀解，增强学生

T--4.

JI

T的直观想象、

数学抽象、数

【答案】A

学运算、逻辑

2.将函数y=sin（x—3的图象上所有点的横坐标伸长到

推理的核心素

JI养。

原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移万个单位，

则所得函数图象对应的解析式为（）

fl吟（吟1

A.y=sinly=sinl—IC.y=sin-xD.y=

sm俣-高

【解析】函数y=sin[x—的图象上所有点的横坐标伸

长到原来的

2倍，得y=sin|jx一司的图象，再将此图象向左平移勺个

单位，

1/几、JI~|「1JI

得尸sin]/+可一-I=sin|jx—记的图象，选D.

【答案】D

3.已知函数尸4sin（=x+。）（/>0,。〉0）的最大值是3,

2nJI

最小正周期是〒，初相是方，则这个函数的表达式是（）

7b

A.y=3sin17x——B.y=3sin[7x+

D.y=3sin（7x-

C.y=3sinux+-

,,2兀JI2兀

【解析】由已知得N=3,T—,。=w，G=———7,

77b7

所以y=3sin^7x+—

【答案】B

4.函数y=2sin[x+w]图象的一条对称轴是.（填序

号）

①X=一5；②x=0；③x=g；@x=一百

JIJI

【解析】由正弦函数对称轴可知.x+—=kTi+—,ke

O乙

JItJI

Z,X=AJT+L，kRZ,A=0时，x=—.

ob

【答案】③

5.已知函数f{x)=2sin[2^——Lx£R.

(1)写出函数M的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区

间；

「兀］

⑵求函数F(x)在区间0,万上的最大值和最小值.

JIJI,

【解】(1)由2x—/■=4冗+于，k《Z,解得F(x)的对称

bZ

,11kJI

轴方程是x=—+~JT,A£Z；由2x——=kn,

32b

(兀A)JI

NdZ解得对称中心是后十］n,0j,AGZ；由2Nn—5W2x

JIJI,、.、，、

一~^w2kM+—,Nez解得单调递增区间是

0z

rJIJIJIJI3

—玄+A兀，~+kJi,A£Z；由2A兀+wW2x—kW2A兀+片

［bJ」zbL

「ji5几

兀,k《Z,解得单调递减区间是Q+A兀，:+左兀,AGZ.

|_3b

JIJIJI5

(2)0WxW?,/.2^——^-几，

2bbb

JIJI,一一,

/.当2x——=——,即x=0时，f{x}取取小值为一1；

00

当2X——=—即x=k时，f{x}取最大值为2.

6293

四、小结学生根据

1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对课堂学习，自

三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成主总结知识要

为学生凝练提高的平台.点，及运用的

2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(o思想方法。注

x+§)的图象,并分别观察参数巾、3、A对函数图象变化的影响，意总结自己在

学习中的易错

同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一

八占、、，・

般的化归思想.

五、作业

1.课时练2.预习下节课内容

《5.6函数y=Asin（（ox+（p）的图像》导学案

【学习目标】

1.理解参数A,0，夕对函数y=Asin（0x+夕）的图象的影响；能够将y=sinx

的图象进行交换得到y=Asin（ox+e）,x©R的图象.

2.会用“五点法”画函数尸Asin（0x+0）的简图；能根据尸Asin（①x+夕）的部

分图象，确定其解析式.

3.求函数解析式时夕值的确定.

【重点难点】

重点：将考察参数A、3、（p对函数y=Asin®x+（p）图象的影响的问题进行分

解，找出函数y=sinx到y=Asin®x+（p）的图象变换规律.学习如何将一个复杂问

题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y=Asin®x+（p）的简

图.

难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解.

【知识梳理】

1.函数」=sin（x+*）,XW&（其中”0）的图象，可以看作是正弦曲线上所

有的点（当夕>0时）或（当*<0时）平行移动网个单

位长度而得到.

-2.函数T=sin皈,（其中。>。且GW1）的图象，可以看作是把正弦

曲线上所有点的横坐标（当。>1时）或（当0<

3<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.

3.函数」=Hsinx,*eR（H>o且A*1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点

的纵坐标（当A>1时）或（当0<A<l）到原来的A倍

（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx的值域为.最大值为

,最小值为.

-4.函数J=Hs皿GX+诵其中的（A>0,Q>0）的图象，可以看作用下面

的方法得到：先把正弦曲线上所有的点（当尹>0时）或

（当尹<0时）平行移动网个单位长度，再把所得各点的横坐标（当

公>1时）或（当0<"1）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得

各点的纵横坐标I_____________（当A>1时）或（当0<A<l时到原来

的A倍（横坐标不变）而得到.

【学习过程】

提出问题

上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin（sx+cp）其中（A>

0,3>0）的函数.显然，这个函数由参数A,3,cp所确定.因此，只要了

解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性

质.

从解析式看，函数y=cosx就是函数y=Asin（①x+夕）

在A=1,3=1,（p=0时的特殊情形.

（1）能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A,3,夕对函

数y=Asin（①x+夕）的影响？

（2）函数y=Asin（0x+0）含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究.

L探索（p对y=sin（x+。）图象的影响

为了更加直观地观察参数夕对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数

学实验.如图5.6.4,取A=1,3=1,动点M在单位圆。1上以单位角速度按

逆时针方向运动.图5.6.4如果动点M以。0为起点（此时9=0）,经过xs后运

动到点P,那么点P的纵坐标y就等于sinx.以（x,y）为坐标描点，可得正弦

函数产siiw的图象.

在单位圆上拖动起点Qo,使点Q。绕点Qi旋转等UQi，你发现图象有什么变化?

6

如果使点Qo绕点Qi旋转或者旋转一个任意角9呢

633

当起点位于Qi时，9=g可得函数y=sin(x+g)的图象.进一步，在单位圆

上，设两个动点分别以Qo，Qi为起点同时开始运动.如果以Qo为起点的动点到

达圆周上点P的时间为xs,那么以Qi为起点的动点相继到达点P的时间是(x[)

s.这个规律反映在图象上就是：如果F(x,y)是函数y=sinx图象上的一点，

那么G(xl，y)就是函数丁=5皿兀+勺图象上的点，如图5.6-4所示.这说明，把正

66

弦曲线y=siwc上的所有点向左平移g个单位长度，就得到y=sin(x+刍的图象.

66

一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为夕时，对应的函数是y=sin(x

+夕)(夕HO),把正弦曲线上的所有点向左(当9>0时)或向右(当9<0时)平

移I矶个单位长度，就得到函数y=sin(x+0)的图象.

2.探索to(o>0)对y=sin((ox+(p)图象的影响下面，仍然通过数学实验

来探索.如图5.6.5,取圆的半径A=l.为了研究方便，不妨令(p=g当3=1

时得到y=sin(x+g)的图象.

6

取3=2,图象有什么变化？取3=楙呢？取3=3,W=|,图象又有什么

变化？当3取任意正数呢？

取3=2时，得到函数丁=5111（2%+刍的图象.进一步，在单位圆上，设以Qi

为起点的动点，当3=1时到达点P的时间为%1S,当3=2时到达点P的时间

为久2s.因为3=2时动点的转速是3=1时的2倍，所以久这样，设

G（x,y）是函数尸sin（x+2）图象上的一点，那么K（；无，y）就是函数尸sin（2x

62

+刍图象上的相应点，如图5.6-5示.这说明，把y=sin（x+g）的图象上所有点的

横坐标缩短到原来的;倍（纵坐标不变），就得到y=sin（2x+g）的图象.y=sin（2x

26

十9的周期为兀，是丁=5m。+刍的周期的;倍.

662

同理，当3=手寸，动点的转速是3=1时的1倍，以Qi为起点，到达点P的

时间是3=1时的2倍.这样，把丁=4!1（%+今图象上所有点的横坐标扩大到原

来的2倍（纵坐标不变），就得到y=sin（、+8的图象.y=sin（、+》的周期为4

2.626

n>是y=sina+g）的周期的2倍.

一般地，函数的周期是詈，把7=5垣（》+（|））图象上所有点的横坐标缩短（当

3>1时）或伸长（当0<3<1时）到原来的2倍（纵坐标不变），就得到的图

0）

象.

3.探索A（A>0）对y=sin（ox+（p）图象的影响

下面通过数学实验探索A对函数图象的影响.为了研究方便,不妨令3=2,（p=

当A=1时，如图5.6.6,可得y=sin（2xJ）的图象.

66

当A取任意正数呢？

当A=2时，得到函数y=2sin（2x+g）的图象.

6

进一步，设射线01Q1与以。1为圆心、2为半径的圆交于如果单位圆上

以。1为起点的动点，以3=2的转速经过xs到达圆周上点P,那么点P的纵坐

标是2sin（2X+2）;相应地，点A在以。i为圆心、2为半径的圆上运动到点T,

点T的纵坐标是2sin（2x+-）.这样，设K（x,y）是函数y=sin（2x+-）图象上

的一点，那么点N（x,2y）就是函数图象y=2sin（2x+-）上的相应点，如图5.6.6

6

所示.这说明，把丫=411（2X+G图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横

6

坐标不变），就得到y=2sin（2x+-）的图象.同理，把y=sin（2x+-）图象上所有

点的纵坐标缩短到原来的J倍（横坐标不变），就得到y[sin（2x+、的图象.

226

一般地，函数y=Asin（0x+夕）的图象，可以看作是把尸Asin（0x+夕）图象上

所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横

坐标不变）而得到.从而，函数y=Asin（①元+夕）的值域是[―A,A],最大值是

A,最小值是一A

你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到尸Asin（s+e）（A

>0,3>0）图象的过程与方法吗？

一般地，函数y=Asin（0x+夕）（A>0,a>>0）的图象，可以用下面的方

法得到：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移|矶个单位

长度，得到函数丁=5皿%+夕）的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的工倍

（X）

（纵坐标不变），得到函数y=sin（0x+夕）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变

为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y二而垣（0x+夕）的图象.

典例解析

例1画出函数y=Kin（3x--）的简图.

26

例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢

慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图569,某摩天轮最高点距离地面

高度为120m,转盘直径为HOm,设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速

旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.

图5.6-9

（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm,

求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；

（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求

两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大

值（精确到0.1）

【达标检测】

1.函数尸3sin（|x+加振幅和周期分别为（）

兀兀兀

A.3,4B.3,2C.于4D.],3

2.将函数y=sin（x一学的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标

不变），再将所得图象向左平移1个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）

A.尸B.)/=sinl2x—7

D.y=sin|

3.已知函数y=Asin(0X+9)(A>0,0>0)的最大值是3,最小正周期是万,

初相是会则这个函数的表达式是()

y=3sinl7%+g

y=3sin[7x+/D.y=3sin(7x-瓦

4.函数y=2sin[+§图象的一条对称轴是—.(填序号)

①x=一$②x=0；③X=";@x=~T.

2oo

5.已知函数1x)=2sin(2x一看)，%ER.

(1)写出函数人为的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；

7T

(2)求函数兀¥)在区间[o,之上的最大值和最小值.

【课堂小结】

1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三

角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.

2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin®x+§的图象，并分别观

察参数中、3、A对函数图象变化的影响，同时通过具体函数的图象的变化，领会由

简单到复杂、特殊到一般的化归思想.

参考答案：

学习过程

例1解:先画出函数产sin%的图象;再把正弦曲线向右平移个单位长度，

得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的I倍，得到函数的

图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数ygsin

(3x--)的图象，如图5.6.7所示.

6

下面用“五点法”画函数y=；sin(3xf)在一个周期(T=冬)内的图象.

263

令X=3尤-工,则(X+-)列表(表5.6.1),描点画图(图5.6.8)

636

表5.61

7T37t

X0nK

7T2

n2-77r57r137c

18918918

y020-20

例2分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋

转.在旋转过程中，游客距离地面的高度军呈现周而复始的变化，因此可以考虑

用三角函数来刻画.

解：如图5.6.10,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心。为原点，与

地面平行的直线为％轴建立直角坐标系.

（1）设t=Oniin时，游客甲位于点P（0,-55）,

以OP为终边的角为《；根据摩天轮转一周大约需要30nliri,可知座舱转动

的角速度约为9兀rad/min,

15

由题意可得H=55sin（工彳）+65-0工t$30,

（2）当［=5时，H=55sin（―x5--）+65=37.5

152

所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.

（3）如图5.6.10,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，则NAOB=|^=±

4824

经过Cm讥后甲距离地面的高度为“i=55sin脸吟）+65,

点B相对于点A始终落后或*ad,此时乙距离地面的高度为42=55sin（¥骨）

+65.

则甲、乙距离地面的高度差九=四―m1=55卜in（自《）-sin（自-詈）|

——I./ITTC\•/137T7T、|

=55sin（一）+sin（-------,

I1522415Jv

sin0+sincp—2sincos,可得九=110卜in^sinC|,0<

t<30

当工厂二上（或到），即tM.8（或22.8）时，九的最大值为UOsin巴，.2.

15482248

所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.

三、达标检测

1•【解析】由于函数尸3sin&+；）,.•.振幅是3,周期T/=4.

2

【答案】A

2.【解析】函数丁=411卜一用的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2倍，得y=5皿俣一号的图象，再将此图象向左平移占个单位，

得尸singb+1）一,=sing—的图象，选D.

【答案】D

3.【解析】由已知得A=3,T=差9=茅0=半=7,所以y=3sin（7x+g.

故选B.

【答案】B

1JI1JIJI

4.【解析】由正弦函数对称轴可知.x+）=E+/,k《Z,x=E+5,k

,兀

左时，XT

©Z,=0=o.

【答案】③

5.【解】（1）由2xJ=E+全左©Z,解得益）的对称轴方程是x=l/

,兀

兀,左£Z；由2x—%=ku.

左GZ解得对称中心是信+与i,o],左©Z；由弧一自2%一卜也十宗左CZ

解得单调递增区间是一1+E,三十左兀，左©Z；由2kn+^<2x—+|K,

JT、兀

左©Z,解得单调递减区间是~^+kn,左©Z.

(2)*.*Q<x<^,—^<2x—

jrjr

.,.当2x—4=—4,即x=0时，兀0取最小值为一1；

当2L1号即尸飘，段）取最大值为2.

《5.6函数y=Asin（3x+4））》同步练习一

基础巩固

1.已知函数〃x）=&cos2x,要得到g（x）=&cos[2x+?]的图象，只需将“力

的图象（）

A.向左平移g个单位长度B.向右平移J个单位长度

48

TTJT

C.向右平移?个单位长度D.向左平移5个单位长度

48

2.为了得到函数y=3sin]2x+?]的图象，只需把函数y=3sinx的图象上所有

点的（）

A.横坐标缩短到原来的g倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移?

26

B.横坐标缩短到原来的白倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移行.

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移2

D.横坐标缩短到原来的;倍（纵坐标不变），再将所得的图像向右平移力.

3.将曲线y=cos3x上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所

得曲线向右平移专个单位长度，得到的曲线对应的函数解析式为（）

3兀

A.y=cos{—x—）B.y=sin&x

28

3兀

C.y=cos{—x+—}D.y=-sin&x

28

4.将函数/（%）=2sin（2x+。）（时＜g）的图象向右平移*个单位长度后所得的图

jr

象关于y轴对称，则〃无）在o,-上的最小值为（）

A.-73B.-1C.-2D.0

5.将曲线y=2sin[x+g]上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,

得到的曲线的对称轴方程为（）

A.%=--+—(^eZ)B.%=--+—(^eZ)

808V7202',

C.%=—+—(^eZ)D.x=-+—(^eZ)

808V7202'/

6.函数y=sinx的图像向右平移？个单位，所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

则可得到函数的图像.

7.已知函数y=sin2x的图象上每个点向左平移0(0＜°＜春)个单位长度得到函

数〉=sin［2x+?］的图象，则9的值为.

8.已知/(x)=Ain12x-。画出小)在区间-三三上的图像.

能力提升

9.将函数/(xhsinox+GcosoM&oO)的图象向右平移3个单位，平移后的

图象关于》轴对称，则/(%)周期的最大值为()

A.也B.丝C.2D.包

5546

10.已知函数/(%)=4$皿3；+9)14〉0,0〉0,|9|＜］的最大值为0,其图象

相邻两条对称轴之间的距离为1且/(对的图象关于点上三，。］对称，则下列判

断正确的是()

A.要得到函数八％)的图象，只需将y=V^cos2x的图象向右平移弓个单位

B.函数/(%)的图象关于直线x=/对称

C.当xe时，函数〃尤)的最小值为-我

D.函数〃力在-,y上单调递增

11.已知函数y=sin（ox+9）1o〉0,0<o<]J的部分图像如图所示，则点P（0,°）

的坐标为.

71

12.已知函数/(x)=sinCOXH---（--。〉0）的最小正周期为万.

3

（1）求。的值；

（2）将函数“X）图象上各点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，得到函数

jr

g（x）的图象，求函数g（x）在区间0,-上的最小值.

素养达成

13.若函数/（%）=25皿0%+。）10〉0,0<。<叁]的图象经过点（0,6），且相邻

的两个零点差的绝对值为6.

（1）求函数Ax）的解析式；

（2）若将函数〃尤）的图象向右平移3个单位后得到函数g（x）的图象，当

xe[-L,5]时,求g(x)的值域.

5.6函数y=Asin（3x+6）答案解析

基础巩固

1.已知函数/（%）=血32%,要得到8（%）=夜3（2》+"的图象,只需将〃力

的图象（)

A.向左平移?个单位长度B.向右平移£个单位长度

48

IT7T

C.向右平移g个单位长度D.向左平移5个单位长度

48

【答案】D

【解析】8（%）=岳。5,+£|=属0$21+2.将/（力的图象向左平移?个

单位长度可得到g（x）的图象.故选：D

2.为了得到函数y=3sin］2x+7］的图象，只需把函数y=3sinx的图象上所有

点的（）

A.横坐标缩短到原来的;倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移，

B.横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移高.

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移］

D.横坐标缩短到原来的;倍（纵坐标不变），再将所得的图像向右平移

【答案】B

【解析】为了得到函数y=3sin，x+7］的图象，先把函数y=