人教版高一必修第二册数学《平面向量的应用》单元检测

平面向量的应用—单元检测

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.在四边形ABC。中，ABBC=0,且而=反，则四边形ABCZ)是()

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

2.已知两个力耳=(1,2),耳=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍

保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力耳，则耳=()

A.(1,-5)B.(-1,5)C.(5,-1)D.(-5,1)

3.在△ABC中，角4,B,C的对边分别为“，b,c若c=2,sinA=2sinC,cosB=—,

4

则AABC的面积S=()

A.1B.275C.后D.—

4

4.河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在

静水中的速度大小为()

A.10m/sB.25/26m/sC.4>/6m/sD.12m/s

5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()

A.a=8fb=16,4=30°,有两解

B.b=l8fc=20,3=60。,有一解

C.a=5,c=2,A=90°,无力用

D.”=30,b=25,A=150°,有一解

6.ZkABC的内角A.B.C的对边分别为a、b、c,S表示△ABC的面积，若S=-02+c2-a2),

4

贝ijA=()

A.90°B.60°C.45°D.30°

7.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,

深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知

图中的圆A(前轮)，圆。(后轮)的半径均为6，△4BE,△

BEC,AECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上

的一点，则在骑动该自行车的过程中，冠出巨的最大值为()

A.18B.24

C.36D.48

8.已知。为正三角形ABC内一点，且满足砺+九丽+(1+九)无=6,若△OA8的面积与

△OAC的面积比值为3,则入的值为()

A.-B.1C.2D.3

2

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在△A8C中，角A,B,C所对各边分别为〃，b,c,若a=l,b=6,A=30°,则

()

A.30°B.45°C.135°D.150°

10.已知角A,B,。是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有()

A.sinA=sin(B+C)

B.cosC=cos(A+B)

C.若4>8,则sinA>sinZ?

D.若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形/J)*F

11.如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的N/

阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的\/

是()

A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小

C.船的浮力不断小D.船的浮力保持不变

12.奔驰定理：己知。是△ABC内的一点，△80C,△AOC,ZVIOB的面积分别为臬,

SK,Sc,则S,•函+S广丽+Sc•觉=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与"奔驰"轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地

称其为“奔驰定理”.若。是锐角AABC内的一点，A,B,C是AABC的三个内角，且点

O满足若|丽卜=则

A.。为△ABC的外心

B.ZAOB=2C

C.S&«>B:S岫0c:=sinC:sinA:sin8

D.sin24•况+sin28•丽+sin2c灰=0

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若4=60°,/=历,则sinBsinC=.

14.已知△ABC是边长为2的等边三角形，点。，E分别是边AB,BC的中点，连接OE并

延长到点F,使得DE=3EF,则布•前的值为.

15.在△4BC中，内角4,B,C的对边分别是a,b,c,若a。-白=61bc,sinC=2^sinB,

贝！IA=.

16.在△ABC中，AB=4,AC=3,A=~,动点P在以点4为圆心，半径为1的圆上，则

3

PBPC的最小值为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在△ABC中，点E是边BC的中点，点尸是边AC的中点，点G是线段AE上的一点,

且4EG=AE,判断FG是否平行于AB.

18.飞机从甲地按南偏东10°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按北偏西70°的方

向飞行2000km到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地离甲地多远？

19.如图，在平面四边形ABCZ)中，若NADC=90°,sinA=—,AB=8,BD=6.

8

(1)求NAO8；01y---yC

(2)若3c=26，求BC.

A

20.h2+\/2ac=a2+c2,@acosB=bsinA>③sinB+cosB=75这三个条件中任选一

个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为“，b,c,,A=~,b=近,(1)求角

3

B；(2)求△ABC的面积.

21.在△ABC中，三边a",c的对角分别为A,B,C,己知a=3,cosB+cosAcosC=叵

sinBcosCb

(1)若c=26，求sinA；

(2)若A8边上的中线长为巨，求△ABC的面积.

2

22.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，A8为地面，CD,CE为

路灯灯杆，CDLAB,ZDCE=—,在E处安装路灯，且路灯的照明张角NMEN='.已知

33

CD=4m,CE=2m.E

(1)当M,。重合时，求路灯在路面的照明宽度MM

(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.

参考答案

水

题核心平

答案解析

号素养等

级

【分析】

由南=觉，可判断四边形A8CD为平行四边形.由福•配=0然后

水可得NB=90°,故可得答案.

逻辑

1C平【详解】

推理

由通=觉可得四边形ABC。为平行四边形，又因为油力。=0,即

ABLBC,所以ZB=90°,所以四边形ABC。为矩形.

故选C.

【分析】

逻辑本题考查向量在物理中的应用，为使物体平衡，即合外力为零，即3

水

推理个向量相加等于零向量.

2A平

数学

【详解】

运算

由物理知识知耳+耳+耳=6,故耳=-(耳+豆)=(1,-5).

故选A.

【分析】

由已知利用正弦定理可得〃=2c=4,利用同角三角函数基本关系式可求

sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解.

【解答】

数学水

解:、飞=2,sinA=2sinC,

3C运算平

由正弦定理可得a=2c=4,

2

*.*cosB=—9/.sinB=Jl-cosB=，

44

S,/-LesinB=2x4x2x=A/L5，

"224

故选：C

【分析】

本题主要考查了向量的物理运用，根据题意结合向量知识求解即可.

【解答】

解：如图，•・,%=%+%)(,且％■*■口水，

数学

水

运算L

4B平

数学

建模

>VTK

•­•同+1町=V102+22=>/i04=2^6.

故选B.

【分析】

本题考查正弦定理的应用，运用正弦定理，对各选项逐一分析，即可

得到答案.

【解答】

解：选项A中，由，_=上得sinB=%吧迎=1,即8=90°,

水sinAsinB8

数学

5D平只有一解；

运算

选项B中，sinC=20XSin6()0=—,且c>b,；.C>8,故有两解；

189

选项C中，VA=90°,4=5,c=2,：.b=>Ja2-c2=V25-4=^1,有

解.

因此A,B,C都不正确，

故选D.

【分析】

本题考查解三角形的相关公式，根据面积公式和余弦定理即可求解.

数学【解答】

水

运算解：。.七='(/+/-/),...由三角形的面积公式以及余弦定理可得：

6C平

逻辑4

推理,bcsinA='x2bccosA,化简得tanA=l,又A是三角形的内角，则

24

4=45°.

故选C.

【分析】

本题考查向量的数量积和平面向量的坐，昧运算，以A为坐标原点，AD

所在直线为x轴，过A垂直AD的直线,为y轴，建立直角坐标系，可得

AC=(6,2^3),BP=(6+6cosO,-2G+GsinO),则

/衣=24+12sin(0+»即可求解;

【解答】

解：以A为坐标原点，AD

数学

运算所在直线为x轴，过A垂直

水y

逻辑A。的直线为y轴，建立直

7C平

推理

角坐标系，则A=(0,0),

数学

8=(2,2我，

建模

C=(6,2A/3),设

P(8+Gcos0,Gsin0),

/IC=(6,273),8户=(6+8cosO,-26+GsinO),

AC-BP=36+6V3cos0-12+6sin0=24+12sin(6+-),当sin(0+2)=l

33

时而户的最大值为36.

故选C.

【分析】

本小题主要考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义等基础知

数学

水识，考查运算求解能力，如图。，E分别是对应边的中点，对所给的向

运算

8A平量等式进行变形，根据变化后的条件得到在=-九而①；由于正三角

逻辑

形ABC,结合题目中的面积关系得到近=1而②.由①②可得。分

推理

3

OE所成的比，从而得出2的值.

【解答】

A

解：VoA+Wfi+(i+x)oc=6,，A

dA+OC+UOB+OC)=0,如图，//\

D,E分别是对应边的中点，由平行四边形

法则知方+近=2OE,

\(OB+OC)=2WD,；.0巨=-入Ob①,c

在正三角形ABC中,,/SM0C=gS.MCT)=gx；xSMBC

=！5刖“=,、5凶8，且三角形AOC与三角形AOC同底边AC,故。

63

点到底边AC的距离等于。到底边AC的距离的三分之一，故

OE=-DE^OE=--OD®,由①②得入=L

322

故选A.

【分析】

根据正弦定理，_=_也，代入已知数据进行运算即可得解.

sinAsinB

逻辑

水本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，

推理

9BC平【详解】

数学

解：由正弦定理知，，=_也，二1=巫,二

运算

sinAsin8sin30°sin5

sinB=也，VBS(0,180°),.*.B=45°或135°.

2

故选：BC.

【分析】

本题主要考查诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性.由题意利用

诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，逐一判断各个选项是否正

逻辑

水确，从而得出结论.

推理

10AC平【解答】

数学

运算解：对于A,三角形48c中，"A+B+C=Jt,；.sinA=sin(B+Q,故

A正确；

对于B,三角形ABC中，♦.•A+B+C=x,-cosC=cos(A+B),故B

错；

对于C,因为A>8,所以根据正弦定理可得sinA>sin8,C正

确；

对于D,因为sin2A=sin28,所以2A=28或2A+2B=180°,即4=8

或4+8=90°,此三角形为等腰三角形或直角三角形，故D错.

故选AC.

【分析】

设水的阻力为了，绳子的拉力为声，声与水平方向的夹角为

8（0<0苔），利用同cos0=|7|,结合余弦函数的单调性逐一分析判断

数学

即可.本题考查了平面向量在物理中的应用，考查了逻辑推理能力与转

运算:

水化能力.

逻辑

11AC平【详解】

推理

解：设水的阻力为了，绳子的拉力为声，声与水平方向的夹角为

数学

建模|7|

0（0<0苦），则同cos0=7|,所以，忸卜岩.因为8增大，cos。减

小，则同增大，因为网sinO增大，且问sin©加上浮力等于船的重力，

所以船的浮力减小.

故选：AC.

【分析】本题为一道创新题，考查了向量的应用、正弦定理、三角形面

积公式以及平面几何的相关知识，通过点o满足若。,

从而得到。为AABC的外心，由正弦定理结合平面几何中的知识得出

数学了连比式鼠（08:SMOC：SM0C=sin2C:sin24:sinIB,应用以上的结论、

运算

水三角形面积公式及题干中的奔驰定理即可推出选项D.

逻辑

12ABD平【解答】

推理

解：

数学

建模对于A.因为（叫说，故。为△ABC的外心，故选项A正

确；

对于B.由砺卜砺卜|喝知0为△ABC的外心，所以NAOB是劣弧

AB所对的圆心角，ZACB是劣弧AB所对的圆周角所以

ZAOB=2ZACB,故选项B正确；

对于C・S^OB：SABOC：Smoc~

-OAOB&inZAOB-.-OC-OBsinZCOB-.-OA-OC-sinZAOC因为

222

|OA|=|OB=|o(^,所以

S^0Bg0c:SM0C=sinZAOB:sinZ.COB:sinZAOC,结合选项B,可知

SMOB:S20c:5凶0c=sin2C:sin2A:sin2B,故选项C错误；

对于D.由选项C的结论：SMOB:S;XB()C:SMOC=sin2C:sin2A:sin2B,

再由奔驰定理SAOA+SBOB+SCOC=0.即得

sin2A•砺+sin25•丽+sin2c•沅=0,故选项D正确.

故应选ABD.

【分析】

本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应

用，由条件利用正弦定理边化角，特殊角的三角函数值即可求解.

水

【解答】

3数学

13平

4运算解：,.•A=60°,a2=bc，，由正弦定理可得

sinBsinC=sin2A=(*)=:•

故答案为：2.

4

【分析】

1一

根据条件连接AE则AELBC,根据条件得到前=』诙=—AC，

36

AF=A£+£F=AE+1AC>则犷.阮=（荏+：砌7

元

=AEBC+-ACBC>即可求出答案.

6

【解答】

数学解：连接AE则AELBC,根据条件%

水

运算

14平DE=^AC-DE=3EF,所以口/'

3逻辑

推理EF=^-DE=-AC>/\

J3^4

AF^AE+EF=AE+-AC>则

6F

AFBC=\AE+-XC\BC=AEBC+-ACBC

I6）6

=O+^x|AC|xBc|xcos60°=0+[x2x2x；=g-

故答案为

3

【分析】

本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值.利用正弦定

理化简sinC=2白sinB,得至Uc=2gb,代入a2-b2=#>bc得到

a=y/lb,利用余弦定理求出cosA的值，即可确定出A的度数.

数学

水【解答】

运算

15A=30°平

逻辑解：利用正弦定理化简sinC=26sinB，得到c=23，代入

推理

"一〃2=屏,中，得：/一〃=662,即〃=将人由余弦定理得：

cosA=从+C,二//+]2夕-谊=叵•••人为三角形的内角，...

2bc4屈22

A=30°.

故答案为300.

【分析】

本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理.先用余弦定理算出8c

的长度，再由勾股定理得三角形A8C为以/C为直角的直角三角形，

进行求解即可.

【解答】

解：由余弦定理得BC=>/42+22-2X2X4XCOS60°=2后，/.

ACr+B^AB2,：.ZACB=90a,以A点为坐标原点，AC所在直线为y

数学轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B(2石，2),C

水

运算(0,2),P为单位圆上的一

165-2币平

逻辑点，设尸(cosasin。)，

r\_________________R

推理

PB=(2>/3-cos0,2-sin0),4

一广

PC=f—cos0.2-sinO'i._____

1.41/

HiPC=(26-cos6)-(2-sin0)2

=-2>/3cos0+cos20+4-4sin0+sin20=5-277sin(0+<p),(其中

tan(p=5)故当sin(0+(p)=l时，丽•前有最小值5-26,故答案

为5-2币.

【详解】

解：因为点尸是边AC的中点，点E是边BC的中点，所以

水

逻辑

17FG不平行于AB平AF=-AC,AE=-(AB+AC).因为4EG=AE,所以而=一荏.

推理224

所以而=而-通=3通」而=3通一".因为通与3而一一

4288

不共线，所以/G不平行于4艮

【详解】

解：设甲地为A,乙地为

数学B,丙地为C,作出示意图——声

,\

运如图所示，则N

算、ABC=60°,A8=2000,S

丙地在甲地的南水

逻辑BC=2000,,所以三角形

18偏西50°,距离平/

推A8C为等边三角形，

2000km.

理、又由图知NCA8=60°,

数学所以丙地在甲地的南偏一

A甲

建模西50。，且两地相距2000

km.

故：丙地在甲地的南偏西50°,距:驾200(km.

【详解】

解：⑴在△AB。中，sinA=乎，AB=8,。尸

BD=6,可得型〜AB_，即有)^8

sinAsinZADB

数学8班d/

水

运算•/AnoA8sinAX§百甲、,人

19BC=2也平sinNADB=--------=-----=—,因为/

逻辑BD62

推理ADC=90a,所以可得锐角A£>B为60°；

(2)在△BCD中，BD=6,CD=2y/3,ZCDB=90°-60°=30°,可得

BC2=DB2+DC2-&CIC7DB3£C£K^2+36--^2.—=，可

2

得BC=26.

【详解】

解：⑴若选择①b2+s/2ac=a2+c2,由余弦定理得

cosB="2+c'_b2=正竺一正.因为BG(0,n),所以B=4.若选

2ac2ac24

TT数学

(1)B=-(2)水

4运算择②.cosBubsinA,则sinAcos3=sin5sinA,因为4£(0,n),所以

20平

3++逻辑TV

sinA>(),所以cos8=sin8,因为BW(0,n),又tan8=l,B=~,

4

4推理

若选择③cosB+sinB=>/2,则>/2sin(fi+—)=^2,所以

4

sin(B+—)=1.因为8仁(0,Ji),所以8+二£(殳,2),所以8+q=百，

444442

所以8」.

4

,,.\/2sin—

(2)由正弦定理」二=上，得。=殳丝44=—1=有.因为4=3,

sinAsinBsinByJ23

T

B=—,所以K--,所以sinC=sin—=sin(—+—)

434121246

7CTC7T.TT3+,\/3匕二1、]°>

-sin—cos—4-cos—sin—=--------,m以o=—absinC

46464“ARr2

iAn瓜+近