2024年中考数学复习讲义第32讲锐角三角函数及其应用

第32讲锐角三角函数及其应用目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一锐角三角函数题型01理解正弦、余弦、正切的概念题型02求角的正弦值题型03求角的余弦值题型04求角的正切值题型05已知正弦值求边长题型06已知余弦值求边长题型07已知正切值求边长题型08含特殊角的三角函数值的混合运算题型09求特殊角的三角函数值题型10由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型11用计算器求锐角三角函数值题型12已知角度比较三角函数值大小题型13根据三角函数值判断锐角的取值范围题型14利用同角三角函数关系求解题型15求证同角三角函数关系式题型16互余两角三角函数关系考点二解直角三角形题型01构造直角三角形解直角三角形题型02网格中解直角三角形题型03在坐标系中解直角三角形题型04解直角三角形的相关计算题型05构造直角三角形求不规则图形的边长或面积考点三解直角三角形的应用题型01仰角、俯角问题类型一利用水平距离测量物体高度类型二测量底部可以到达的物体高度类型三测量底部不可到达的物体的高度题型02方位角问题题型03坡度坡比问题题型04坡度坡比与仰角俯角问题综合考点要求新课标要求命题预测锐角三角函数利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函数值.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.解直角三角形能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.解直角三角形的应用考点一锐角三角函数1.锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定义表达式图形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.锐角三角函数的关系：在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系：tanA=sinA2)互余两角的三角函数关系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°2332313【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.5.锐角三角函数的性质性质前提：0°＜∠A＜90°sinA随∠A的增大而增大cosA随∠A的增大而减小tanA随∠A的增大而增大11.若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如tanA.sinA.cosA.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方时,一般写成tannA,它与3.锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的.而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关.4.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.题型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC 【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故选：D．【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．tan【答案】D【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，则cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故选：D．【点拨】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则A．35 B．34 C．45 【答案】C【分析】根据三角函数的定义得到BCAB=35，设BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到【详解】解：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，sin∴BC设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得：AC=A∴cos故选：C．【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（）

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡缓程度与∠α的函数值无关【答案】A【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减小，逐一判断即可．【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故Acosα的值越小，梯子越陡，故Btanα的值越大，梯子越陡，故C陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；故选：A．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A.∠B.∠C的对边分别是A.B.c，下列结论正确的是（）A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB【答案】D【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝ac，则a=c·sinA，故AtanA＝ab，则b＝atanAcosB＝ac，则a＝ccosB，故D故选：D．【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（

）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定【答案】A【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，∴∠A的大小没有变，∴tanA的值不变．故选：A．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为A.B.c∴sinB=bc，即b=csinBtanB=ba，即b=atanB故选：B．【点拨】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．题型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（

A．45 B．35 C．34 【答案】A【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA【详解】解：连接OA∵PA、PB分别与⊙O相切于点A.B，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，AP=BP∠APD=∠BPD∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=OA∴sin∠ADB=APOP故选A．【点拨】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C.D，则sin∠ADC的值为（

A．21313 B．31313 C．2【答案】A【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．【详解】∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC，∴在Rt△ACB中，AB=A根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ACAB∴sin∠ADC=2故选A．【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（

A．355 B．175 C．35【答案】D【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得线段AC【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=90°，∴AC=A∴sin∠ACB=故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．题型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．255【答案】C【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，∵每个小正方形的边长为1，∴AC=5设AD=x，则BD=5-x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，DC∴10-(5-x)解得x=2，∴cos∠BAC=故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（

A．45 B．35 C．43 【答案】A【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．【详解】解：连接AD，如右图所示，∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=CD2∴cos∠ADC=ADCD=8∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值为45故选：A．【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cos∠BAC【答案】2【分析】根据AC2=12+32=10，BC2【详解】如图，∵AC2=12∴AC∴△ABC是直角三角形，∠∴cos故答案为：2【点拨】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义．【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝6∴cos∠ECB＝BCEC＝2210∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝1010∴cos∠CDA的值为1010【点拨】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．题型04求角的正切值【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝．【答案】3【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝12∠ABC＝30°【详解】连接BC.AC，∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝12∠ABC＝30°∴tan∠ABE＝tan30°＝33故答案为：33【点拨】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，证得OF为△ABC的中位线，求出OF【详解】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点O作OF⊥BC于F，∵CE=OA,sin∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=AB∵OA=OB，OF∥AC，∴BFCF∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF为△ABC的中位线，∴OF=12∴tan∠CEO=OF【点拨】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的长．【答案】(1)1(2)CH【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC.CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=12【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥∴DG=CG-CD=2，AD∥∴△ADK∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴GK=∴tan∠（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC.CF，如图所示：则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=∴CH=【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．题型05已知正弦值求边长【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，则A．5003 B．5035 C．60 D【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，AC∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC2故选D．【点拨】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（

）A．60sin50° B．60sin50° C．60【答案】A【分析】先求出∠B=180°-88°-42°=50°，再用三角函数定义，求出AD=AB×sin【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠A=88°，∠C=42°，∴∠B=180°-88°-42°=50°，在Rt△ABD中，AD=AB×∴点A到BC的距离为60sin50°，故故选：A．【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函数y=kx(k>0,x>0)经过点A．10 B．24 C．48 D．50【答案】C【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8)，将点C坐标代入解析式可求k的值．【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，∴OC=OA=10，∵sin∠COA=∴CE=8，∴OE=∴点C坐标(6,8)∵若反比例函数y=kx(k>0,x>0)∴k=6×8=48故选C．【点拨】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．题型06已知余弦值求边长【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 D．【答案】B【分析】根据余弦的定义即可求解．【详解】解：∵∠C=90°,cos∴AB=AC故选B．【点拨】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B.C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝45，则线段CE的最大值为【答案】6.4【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣110x2+85x，然后利用二次函数的性质求CE【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，∵AB＝AC，∴BG＝CG，∵∠ADE＝∠B＝α，∴cosB＝cosα＝BGAB＝45∴BG＝45×10＝8∴BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BDCE∴CE＝﹣110x2+8＝﹣110（x﹣8）2+6.4当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.故答案为：6.4.

【点拨】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值．【答案】（1）300；（2）11722；（3）【分析】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，先根据现有条件求出AK，然后即可求出平行四边形ABCD的面积；（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，先证明ΔPEA≅ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF，DE=12，再证明ΔGBF~ΔECF，得出BFCF=BG（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、AA'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，根据已知推出点F在与直线AA'夹角为α2且经过点A'的直线上运动，设直线A'F与CD交于点Q，直线AA'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=413，根据RtΔ【详解】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，∵AB//CD，∴∠ADK=∠DAB，∵cos∠DAB=5∴DK=AD⋅cos∴AK=A∴平行四边形ABCD的面积为AB×AK=25×12=300；（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，∴∠ADP=∠P，∵∠DAB=α，DC//AB，∴∠ADP=∠DAB=α，∴∠P=α，又∠AEF=∠C=α，EA=EF，由∠PEA+∠CEF=180°-α，∠EFC+∠CEF=180°-α，∴∠PEA=∠EFC，∴ΔPEA≅ΔCFE，∴CE=AP=13，PE=CF，∴DE=CD-CE=25-13=12，由（1）得AK=12，∴在RtΔAKD中，KD=5，∴PD=10，∴PE=PD+DE=10+12=22=CF，∴BF=CF-CB=22-13=9，∵BG//CE，∴ΔGBF~ΔECF，∴BF∴9∴BG=117（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、AA'、A∵EA=EA∴点A'、F在⊙E∵∠AEF=α，∴∠AA∴点F在与直线AA'夹角为α2设直线A'F与CD交于点Q，直线AA'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点当点F与H重合时，CF取得最小值，易得RtΔA∴∠QCH=∠MA又∠DCB=α，∴∠BCH=α∴ΔQCR为等腰三角形，∴CQ=CR，由（2）得CR=22，MD=5，∴CQ=22，又CM=CD+DM=25+5=30，∴MQ=CM-CQ=30-22=8，∴在RtΔA'MQ由RtΔA∴A∴4∴CH=66即CF的长度的最小值是6613【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质是解题的关键．题型07已知正切值求边长【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（

A．25+34 B．25+1 C．25【答案】B【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，∵∠ABC=90°，tan∠BAC=∴tan∠DAP=∴DPAD∵AD=2，∴DP=1，∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，∴△ADP∽△ABC，∴APAC∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，∴∠DAB=∠PAC，APAC∴△ADB∽△APC，∴ADAP∵AP=A∴PC=AP⋅DB∴PD+PC=1+25，PC-PD=2在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD<DC，∴25当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为25故选：B．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键．【变式7-1】（2023·山东日照·校考三模）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，则AD的长是【答案】2【分析】如图，连接AB，设AD,BC交于点E，根据题意可得AB是⊙O的直径，∠ADB=90°，设AC=m，证明△CED∽△AEB，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出AE,ED，根据Rt△ABC，勾股定理求得m=5a【详解】解：如图，连接AB，设AD,BC交于点E，∵∠ACB＝90°∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵tan∠CBD＝13∴DE在Rt△DEB中，BE=D∵CD∴∠CBD=∠CAD，∴tan∠CAD=∴设AC=m则CE=1∵AC＝BC，∴EB=2∴DE=1010Rt△ACE中，AE=∴AD=AE+ED=2∵DB=∴∠ECD=∠EAB,又∠CED=∠AEB，∴△CED∽△AEB，∴CD∵CD=a，∴AB=10∵AC=BC=m，∴AB=2∴2解得m=5∴AD=2故答案为：22【点拨】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．【变式7-2】（2023·江西萍乡·统考二模）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA=25，tanA=12，反比例函数y=kx的图像经过OA的中点(1)求k值；(2)求△OBD的面积．【答案】(1)2(2)3【分析】（1）在RtΔACO中，∠ACO=90°，tanA=12，再结合勾股定理求出OC=2，AC=4，得到A（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据AD∥y轴，选择AD为底，利用S△OBD=【详解】（1）解：根据题意可得，在RtΔACO中，∠ACO=90°，∴AC=2OC，∴OC∴OC=2，AC=4，∴A2,4∵OA的中点是B，∴B1,2∴k=2；（2）解：当x=2时，y=1，∴D2,1∴AD=4-1=3，∴S△OBD=S【点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的k，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．【变式7-3】（2021·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，已知，在△ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）4.5【分析】（1）作OF⊥AC于F，利用角平分线的性质证明OF=OB，即可证明AC是⊙O的切线．（2）利用圆周角定理证明△CBE∽△CDB，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：作OF⊥AC于F，∵⊙O与BC相切于点B，∴OB⊥BC，∵CO平分∠ACB，∴OF=OB，又OB是半径，OF⊥AC于F，∴AC是⊙O的切线．（2）解：∵DE是直径，∴∠DBE=90°，又tan∠BDE=2，∴BEDB由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠DBC=∠OBE，∴∠E=∠OBE，∴∠E=∠DBC，又∠C=∠C，∴△CBE∽△CDB，∴BEDB∵BC=6，∴6CD∴CD=3，CE=12

∴DE=9，∵OD=4.5，即⊙O的半径是4.5．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．题型08含特殊角的三角函数值的混合运算【例8】（2022·贵州·模拟预测）计算8+|-2|×cos45°A．2 B．32 C．22+3【答案】B【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．【详解】解：8＝＝2＝32故选：B【点拨】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式8-1】（2023·湖南株洲·校考一模）计算：12-1+12【答案】2【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．【详解】解：12=2=2+2=2【点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．【变式8-2】（2023·山东济南·模拟预测）计算：12+【答案】1【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．【详解】解：12=1【点拨】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．【变式8-3】（2023·山东聊城·统考一模）先化简，再求值：a+1-3a-1【答案】a-2a+2，【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．【详解】解：a+1-====a-2∵a=tan∴原式=a-2【点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型09求特殊角的三角函数值【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理数的个数是（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．【详解】解：在实数2，x0（x≠0）=1，cos30°=32，38=2中，有理数是3所以，有理数的个数是2，故选：B．【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1-tan60°|的值为（A．1-3 B．0 C．3-1 D【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】|1-故选C．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．题型10由特殊角的三角函数值判断三角形形状【例10】（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanB-3+2cosA．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根据非负数的性质求出tanB与cosA的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A、【详解】解：∵tan∴tanB-3∴tanB=3∴∠B=60°，cosA=32在△ABC中，∠C=180°-60°-30°=90°，且∠A≠∠B，∴△ABC是直角三角形．故选：C．【点拨】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．【变式10-1】（2021·广东广州·广州大学附属中学校考二模）在△ABC中，sinA=cos90°-C=2A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【分析】计算出∠A和∠C的角度来即可确定．【详解】解：∵sinA=cos（90°-C）=22∴∠A=45°，90°-∠C=45°，即∠A=45°，∠C=45°，∴∠B=90°，即△ABC为直角三角形，故选：B．【点拨】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．【变式10-2】（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若sinA-32+12-cosB【答案】等边【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断△ABC的形状．【详解】解：∵sinA-∴sinA-32∴sinA=32∴∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．题型11用计算器求锐角三角函数值【例11】（2022·山东烟台·统考一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18＇，按键顺序正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据计算器按键顺序计算即可．【详解】解：根据计算器的按键顺序可知，正确的按键顺序为D选项，故选：D．【点拨】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题的关键．【变式11-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（已精确到0.001）11.3100.00314.7440.005【答案】不得小于12度【分析】根据题意可得DF＝15AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB【详解】解：如图：由题意得：DF＝15AB＝0.15∵斜坡AC的坡比为1：2，∴ABBC＝12，DFCD∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），∵ED＝2.55米，∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ABEB＝0.753.75＝查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°，∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．题型12已知角度比较三角函数值大小【例12】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（

）A．0<sinA<12C．33<tanA<1【答案】A【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．【详解】解：∵0°＜25°＜30°∴0<∴0<sin故选A．【点拨】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．【变式12-1】（2020·江苏扬州·统考一模）比较大小：sin81∘tan47°(填“<”“=”或“【答案】<【分析】根据三角函数的性质得sin81°<1【详解】∵sin∴sin故答案为：<．【点拨】本题考查了三角函数值大小比较的问题，掌握三角函数的性质是解题的关键．【变式12-2】（2020·内蒙古·统考二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为，写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系．【答案】cosA=ACABsin70º＞cos【分析】根据余弦的定义即可确定答案；根据sin70°=cos20°且正弦随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小即可确定大小关系．【详解】解：∵直角三角形ABC中，角C为直角∴BC为斜边，AC为直角边且为∠A的一边∴余弦的定义为cosA∵sin70°=cos20°且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增大而减小∴sin70º==cos20º＞cos40º，cos40º＞cos50º∴sin70º＞cos40º＞cos50º．故答案为cosA=ACAB，sin70º＞cos40º【点拨】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键．题型13根据三角函数值判断锐角的取值范围【例13】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（

）A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间【答案】D【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.【详解】解：∵tan60∴∠A>60∴60°故选：D.【点拨】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°【变式13-1】（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝13，则（

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】A【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝13＜12＝sin∴0°＜∠A＜30°，故选：A．【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．【变式13-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（

）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】cos45∘=【详解】解：∵cos45∘=22∴cos∴30故选：B【点拨】本题考查根据锐角三角函数的数值，判断角度的取值范围，牢记特殊三角函数值是关键．【变式13-3】（2021·安徽安庆·统考一模）若锐角α满足cosα＜22且tanα＜3，则α的范围是(A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵cosα<22∴0<cosα<22又∵cos90°=0,cos45°=22∴45°<α<90°；∵α是锐角，∴tanα>0，∵tanα<3，∴0<tanα<3，又∵tan0°=0,tan60°=3，0<α<60°；故45°<α<60°.故选B.【点拨】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键题型14利用同角三角函数关系求解【例14】（2021·江苏扬州·统考一模）已知∠α为锐角，且sinα=513，则【答案】12【分析】根据sinα=513【详解】∵sinα2+∴cosα=±又∵∠α为锐角，∴cosα=故答案为：1213【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．【变式14-1】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知CF=4，sin∠EFC=35，则

【答案】6【分析】由折叠可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，进而得到AF=BC=BF+CF=BF+4，由同角的余角相等可得∠EFC=∠BAF，则sin∠EFC=sin∠BAF=35，在【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴AF=BC=BF+CF=BF+4，∴∠AFB+∠EFC=90°，∵∠AFB+∠BAF=90°，∴∠EFC=∠BAF，∴sin在Rt△ABF中，sin∠BAF=BF解得：BF=6．故答案为：6．【点拨】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理论证得出∠EFC=∠BAF，进而利用锐角三角函数解决问题．题型15求证同角三角函数关系式【例15】（2021·北京·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB=3，tan∠DBC=34【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出AC=BD，即可得出结论；（2）过点M作MG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出MG=MC．由三角函数定义得出BC=4，sin∠ACB=sin∠DBC．，设CM=MG=x，则BM=4-x【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2BO．∵AO=BO，∴AC=BD．∴▱ABCD为矩形．（2）过点M作MG⊥BD于点G，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=90∴CM⊥CD，∵DM为∠BDC的角平分线，∴MG=CM．∵OB=OC，∴∠ACB=∠DBC．∵AB=3，tan∠DBC=∴tan∴BC=4．∴AC=BD=BC2设CM=MG=x，则BM=4-x，在△BMG中，∠BGM=90°，∴sin解得：x=3∴CM=3【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．【变式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）求证：若α为锐角，则sin2(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC(2)根据（1）中所画图形证明该命题．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作线段AC=m，过点C作CM⊥AC，作∠NAC=α，射线AN，交CM于点B，△ABC即为所求；（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．【详解】（1）解：如图，Rt△ABC（2）证明：∵∠ACB=90°，∴AB∵sinα=BC∴sin【点拨】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．【变式15-2】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，【答案】(1)成立，见解析(2)成立，见解析(3)tan【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；（2）根据正弦函数的定义列出sinα=ac（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△ABC中，sinα=a【详解】（1）解：∵sin30°=12∴sin2（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中，sinα=ac，∴sin2（3）解：tanα=在Rt△ABC中，sinα=ac，∴tanα=∴tanα=【点拨】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键．题型16互余两角三角函数关系【例16】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简sin28°-cos28°A．sin28°-cos28° C．cos28°-sin28°【答案】C【分析】根据二次根式的性质得出sin28°-cos【详解】解：sin28°-cos28°2∵cos28°=sin∴原式=cos故选：C．【点拨】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．【变式16-1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）已知sin42°≈23，则cosA．53 B．13 C．32 【答案】D【分析】根据42°的正弦值和48°余弦值都是42°的对边斜边【详解】sin∴cos故选：D【点拨】此题考查锐角三角形函数值，解题关键是分清锐角三角函数中的对边，邻边和斜边分别是哪条边．【变式16-2】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67【答案】6【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，sinA=∴sinA=∴cosB=故答案为：67

【点拨】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=【变式16-3】（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有.【答案】①②③④【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=AC∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点拨】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．考点二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a，b，c，角：∠A，∠B2）三边之间的关系：a2+3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°4）边角之间的关系：sinA=∠A所对的边斜边=ac，sinB=cosA=∠A所邻的边斜边tanA=∠A所对的边解直角三角形常见类型及方法：已知类型已知条件解法步骤两边斜边和一直角边(如c,a)①②③∠B=90°－∠A两直角边(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一边和一锐角斜边和一锐角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角边和一锐角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角边和一锐角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1.1.在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).2.已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.题型01构造直角三角形解直角三角形【例1】（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（

A．32 B．35 C．37 【答案】D【分析】先解直角△ABC求出AD，再在直角△ABD中应用勾股定理即可求出AB．【详解】解：∵BD=2CD=6，∴CD=3，∵直角△ADC中，tan∠C=2∴AD=CD⋅tan∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=A故选D．【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．【变式1-1】（2021·山东聊城·统考一模）如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为（

A．2 B．52 C．5 D．【答案】B【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由sin∠B=AHAB=1由tan∠C=AHCH=2，且∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=A故选：B．【点拨】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．【变式1-2】（2022·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出【详解】如图，作AD⊥BC于D，作EF⊥在Rt△ABD中，BD在Rt△ADC中，∠DAC=90∴BC在Rt△BEF中，设BF在Rt△EFC中，∠CF=由CF+3x∴x∴EC故答案为：B．【点拨】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．【变式1-3】（2022·浙江杭州·校考一模）在△ABC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠【答案】(1)12(2)25(3)【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、（2）先利用线段的和差关系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为∴∠ADC∵∠C为锐角且tan∴∠C∴∠DAC∴∠DAC∴AD=在Rt△∵sinC=AD∴DC=∵BC=6∴S△∴△ABC的面积为12（2）∵DC=AD=4∴BD=在Rt△AB=∴AB的值为25（3）在Rt△ABD中，AB=2∴cos∠∴cos∠ABC的值为【点拨】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．【变式1-4】（2022·河南安阳·模拟预测）公交总站(点A)与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站点离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号)．【答案】(3【分析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，易得△CDA是等腰直角三角形，由勾股定理可求得AD=CD的长，再由含30°角直角三角形的性质求得BC，再由勾股定理可求得BD，从而求得AB．【详解】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，如图，∵∠B=30°，∠D=90°，∴∠DCB=90°-30°=60°，∵∠ACB=15°，∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=45°，∴∠DCA=∠DAC=45°，∴CD=AD，∴△CDA是等腰直角三角形，由勾股定理得AD=CD=2∵∠B=30°，∠D=90°，∴BC=2CD=62由勾股定理得BD=B∴AB=BD-AD=(36【点拨】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键．题型02网格中解直角三角形【例2】（2022·江苏常州·校考二模）已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则tanα+β=【答案】233【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=3a，由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：连接DE，如图所示：在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=3a，∴tan（α+β）=AEDE=2a故答案为：23【点拨】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．【变式2-1】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin∠ADC2的值是【答案】5【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得∠B=12∠ADC【详解】解：根据题意由勾股定理得：AC=∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC，∠C=90°，结合网格可知D分别为AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠B=∠DCB，又∵∠B+∠DCB=∠ADC，∴∠B=1∴sin∠ADC2故答案为：55【点拨】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出∠B=1【变式2-2】（2022·四川广元·校考一模）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．【答案】3【分析】作M、N两点，连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的逆定理证明△CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图所示，作M、N点，连接CM、DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2=12∴CN∴△CDN是直角三角形，∴tan∠DCN=∴∠APD的正切值为：3．故答案为：3．【点拨】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2-3】（2021·北京延庆·统考一模）如图所示，∠MON是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠MON的值是【答案】1【分析】利用等腰直角三角形的性质即可解问题即可．【详解】解：如图，连接AB．∵AB=12+32=10，OA=∴AB2+OA2=∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠AOB=∠MON=45°，tan∠MON=故答案为：1．【点拨】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．题型03在坐标系中解直角三角形【例3】（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点P1,2，那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα=【答案】2【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，由P点的坐标得PA、OA的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P作PA⊥x轴于点A，如图：∵点PA⊥x，∴PA=2，OA=1，∴tanα=故答案为：2．【点拨】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．【变式3-1】（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=5，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα=A．-2,4 B．-43,23 C．【答案】C【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥x轴，垂足为E，根据已知易证ΔCBO∽ΔCOA，从而可得∠CAO=∠COB，然后在RtΔAOB中求出AO【详解】解：过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足为E，∵OC∴OCAC∵∠ACO=∠BCO，∴Δ∴∠CAO=∠COB，∵tan∴tan∴AO=2BO，在RtΔABO中，∴4BO∴BO=1，∴AO=2BO=2，在RtΔCDO中，∴CD=1∵∠CEO=∠BOA=90°，∠BAO=∠BAO，∴Δ∴OBCE∴1CE∴CE=4∴CD=2∴D(-23，故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2021·山东枣庄·校联考一模）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（

）A．35 B．25 C．34 【答案】A【分析】首先连接BC，可得出点B，A，C共线，再根据勾股定理求出BC，即可求sin∠OBC=OCBC，最后根据∠CDO=【详解】如图，连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC是⊙A的直径，∴点B，A，C三点共线．∵B（-4，0），C（0，3），∴OB=4，OC=3，∴BC=O∴sin∠OBC=∵∠CDO=∠OBC，∴sin∠CDO=故选：A．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数等，连接BC得出直角三角形是解题的关键．【变式3-3】（2022·山东菏泽·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x．则点C到x轴的距离等于（

）A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx【答案】A【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．【详解】作CE⊥y轴于E．在Rt△OAD中，∵∠AOD=90°，AD=BC=b，∠OAD=x，∴OD=ADsin∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=x，∴在Rt△CDE中，∵CD=AB=a，∠CDE=x，∴DE=CDcos∴点C到x轴的距离=EO=DE+OD=acos故选：A．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．题型04解直角三角形的相关计算【例4】（2023·上海奉贤·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为．【答案】2【分析】先求解AB=3,AD=【详解】解：由题意可得：DE=1,DC=15-12=3,∵∠A=60°,∠ABC=90°,∴AB=BC同理：AD=DE∴BD=AB-AD=3故答案为：2【点拨】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．【变式4-1】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是

cm．(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为cm．【答案】16【分析】（1）当E.O、F三点共线时，E.F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可．（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，可得CH⊥AB，AH=BH，利用已知先求出CE=125cm，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由sin∠ECO=OECO=【详解】（1）当E.O、F三点共线时，E.F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=EF=2cm，∴以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm．（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，∴CH⊥AB，AH=BH，∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，∴CE=12在Rt△OEF中，CO=O∵sin∠ECO=OECO∴AB=2AH=6013故答案为16，6013【点拨】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．【变式4-2】（2022·上海金山·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB=12，则tan∠DEC【答案】2【分析】过点C作CF⊥BD于点F，易证ΔABE≅ΔCDF(AAS)，从而可求出AE=CF，BE=FD，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD=2a，在ΔABE与ΔCDF中，∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDF∴ΔABE≅ΔCDF(AAS∴AE=CF，BE=FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝ABAD＝1设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝5a，∵S△ABD＝12BD•AE＝12AB•∴AE＝CF＝255∴BE＝FD＝55a∴EF＝BD﹣2BE＝5a﹣255a＝3∴tan∠DEC＝CFEF＝2故答案为：23【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．【变式4-3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为mm．【答案】20【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．【详解】解：如图，设正六边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=a，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=AMAB∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=12AC∵AC=20mm，∴a=AB=AMcos30°故答案为：203【点拨】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解是关键．题型05构造直角三角形求不规则图形的边长或面积【例5】（2022·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC.BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（

）A．34 B．32 C．3 D【答案】C【分析】过B.D两点分