2021届高三高考数学复习压轴题39-双曲线三【含答案】

2021届高三高考数学复习压轴题专练39—双曲线（3）【含

答案】

一、单选题

?v2

1.已知圆*-2）2+）,2=9与X轴的交点分别为双曲线C：r-4=1（。>0力>0）的顶点和焦

ab~

II2

点，设片，B分别为双曲线c的左、右焦点，尸为C右支上任意一点，则HpF匕的取

值范围为（）

99

A.（1,B.（0,-]C.[2,+00）D.（1,2]

解：令（x-2y+y2=9中的y=0,解得x=-l或5,

则双曲线的a=l,c=5,

设|PF21=t>t..c—a=4,

由双曲线的定义可得|「耳|=2a+f=2+r,

4

所+4+r=+

，44

厂tf+

f

4

由+-,

z..5

则

故选：A.

22

2.已知双曲线土-乙=1,O为坐标原点，P,。为双曲线上两动点，且OP_LOQ,则APOQ

45

面积的最小值为（）

A.20B.15C.30D.25

解：设直线OP的方程为y=fcc,k>0,

且P在第一象限内，

由OP，O。，可将上面中的无换为一:

20

)，

可得跳店55k2-4

所以APOQ面积S=」|OP|,|OQ|=」Jl+〃•

22

=10(1+k1)1------~；——..10(1+/)-------J~--=20,

丫(5-4k,X5k2-4)5-4公+5X-4

2

当且仅当5-4/=5^-4,即4=1时，上式取得等号,

所以APOQ面积的最小值为20.

故选：A.

fv2

3.已知双曲线£:-?-4=1(“>0力>0)的右顶点为4,抛物线C:y2=12ox的焦点为F.若

a-b-

在双曲线的渐近线上存在一点P,使得胡•尸户=0,则双曲线E的离心率的取值范围是(

)

A.(1,2)B.(1,手］C.(2,-K»)D.［竿，+oo)

解：由题意知，A(a,0),F(3a,0),

不妨设点P在渐近线y=^x上，P(%2〃］),

aa

PAPF=0,

(a-m,-—m)•(3a-m»--m)=0,即(〃-nt)(3a-根)+(-—m)2=0,

aaa

2

整理得,g疗-4am+3a*=0，

a

原问题可转化为关于机的方程二苏-4〃〃?+3/=0有根，

a

2

.•.△=16。2_4二.3/=161-124:2..0,

a

c2G

,p=----,

a3

又e>1,ew(1,———].

故选：B.

22

4.已知双曲线C:二-5=l(a>0力>0)的左、右焦点分别为片，鸟，过点鸟作倾斜角为。

a"b~

的直线/交双曲线C的右支于A,B两点、,其中点A在第一象限，且COS0=L.若

4

|A8|=|AEI，则双曲线C的离心率为（）

A.4B.715C.-D.2

2

解：由双曲线的定义知，|A耳|-|4工=2a,

•••|AB|=|AKI，

.--IAF2\+\BF2\=\AFt\,即I*I-1但HBF21=2a,

:\BFt\=\BF2\+2a=4a,

在中，由余弦定理知，cos"世F+W』「二I姐『,

2\BF2\-\FtF2\

1_4/+4c2-16a2_c2-3a2

"4~2-2a-2c一lac'

/.2c2-ac-6a2=0,

c,

e=—>i,

a

.-.2e2-e-6=0,解得e=2或一］（舍），

双曲线C的离心率为2.

故选：D.

5.已知双曲线£5-3=13>0,。>0）的左、右焦点分别为巴，鸟，过心作圆

O:d+y2=/的切线，切点为T,延长尼7交双曲线E的左支于点P.若|PE|>2|*|,

则双曲线E的离心率的取值范围是（）

A.（2,-H»）B.（百，+oo）C.（0,石）D.（2,76）

解：在RtAOTE,中，|OT|=a,|OFJ=c,:\TF,|=fe,cosNP86=2,

c

由双曲线的定义知，|空|-|PZI=2a,

2l

在△尸耳月中,由余弦定理知，|PFt|=|PF^+\F,F2\-2\PF2\-\FtF2\-cosZPF2F},

(|PF,|-2a)2=|PF,\2+4C2-2|PF\-2C--,

2c

22i2

b-ab-a

：.b>a，

',]PF\>2\TF\>2b,即力v2a,

22fb-a

2v2

6.已知双曲线C:——x匕=1的右焦点为尸，过原点O的直线与双曲线。交于A,B两点、,

169

且NAFB=60。，则AABF的面积为（）

A.3B.-C.36D.6G

2

解：设双曲线的左焦点为白，连接A耳，BF,,

由双曲线的定义知，|B/"-|BF|=2a=8,|4尸|=2c=10,

由双曲线的对称性知，ZAFF,=ZBF,F,

ZAFB=60°,即ZAFFt+NBFF、=60°,

ZBFtF+ZBFFt=60°,NF、BF=120°,

在△F,BF中，由余弦定理知

cosNFBF=I-『+1明12TMl2=(|86|一|8-|)2+2|8尸||85|一|F二|2,

'。"2|8尸|・|8片|一2|BF|-|^|

.1_64+2|3/4|防|一100

"~2~2\BF\-\BF}\

:]6户|・|班|=12,

.•.AAfi/的面积5=52"=|・sinZF；B尸=gxl2xsinl20°=36.

7.已知椭圆C与双曲线W-y2=i有相同的左焦点耳、右焦点招，点。是两曲线的一个交

点，且P/，Pg=0.过鸟作倾斜角为45。的直线交C于A,8两点（点A在x轴的上方），

且Ag=/lA/<,则;I的值为（）

A.3+73B.3+V2C.2+6D.2+72

->2

解：设椭圆的方程为二+马=im>b>o）,

ab

双曲线的方程为d-V=i的焦点为片（_忘，0）,居（夜，0）,

可得片-Z?2=2,

由尸方•尸8=0,可得尸耳_126，

设|尸耳|=〃7,|PF21=n,则m+〃=2?,\m-n\=2,

且加2+/=|耳工『=（2&）2=8,

所以mn=2，

则4a*=6？+/+2mn=8+4=12,即。=6,b=l9

则椭圆的方程为—+y2=i,

3.

过F工作倾斜角为45。的直线的方程为y=x-血，

4r-

联立可得，2-2岳+1=0,

3

372+763五-瓜

解得％=X-f=，

4~4

3近+限瓜-近、3A/2-V6-瓜-也、

交点为4，------),DD\-Z----------------------------,-)

4444

h_1

|AB|=G,I伍1=三」，

所以力=也1=3+6.

\AF2\

故选：A.

8.设《，心为双曲线—=1(4>0力>0)的两个焦点,点P是双曲线C上一点，若

右焦点E(2,0),|尸/"+|尸乙1=4”,且一条渐近线与圆(x-2)2+y2=i相切，则△P4月的

最小内角的余弦值为()

2A/3「573D.述

\_z.--------------

亍9II

22

解:双曲线C:‘方=1(4>0,。>0)的c=2,即a2+b2=4,

且法-ay=0是双曲线的一条渐近线,

又渐近线桁-0=0与圆(x-2)?+y2=l相切，

所以圆心(2,0)到渐近线的距离为1,即.=],

y/h2+a2

可得2/?=c=2,解得b=l,a=6,

由IP4I+IP鸟|=44=46，

不妨设P为双曲线右支上的一点，

由双曲线的定义可得IPf；|-|Pg1=2a=2后,

所以|P耳|=36,|尸鸟|=G,|片名|=4,

则△尸百心的最小内角为NP61,

由余弦定理可得“四飞部^二号"¥

故选：C.

二、多选题

22

9.己知我尸2分别为双曲线°：^-a=1（。＞°力＞°）的左、右焦点，c的一条渐近线/的

方程为y=Gx,且K到/的距离为36,点P为c在第一象限上的点，点Q的坐标为（2,0）,

PQ为/耳Pg的平分线，则下列正确的是（）

A.双曲线的方程为工-上=1

927

B.皿2

\PF2\

C.\PF}+PFA=3＞/6

D.点尸到x轴的距离为主叵

2

解：•.•渐近线/的方程为y=6x,.•.3=6，

I—■(-c)|

4(-c,0)至I"的距离为3岔，,3G=7一=b,

..a—3,

二.双曲线的标准方程为工-£=1,即选项A正确；

927

c=^cr+tr=J9+27=6，

.•.4(-6,0),6(6,0),

由角分线定理知，叨=h^l=§=2,即选项B正确;

1尸611。耳4

由双曲线的定义知，|PE|-|PR|=2a=6,

」尸耳|=12=|耳|尸£|=6,

3£

在等腰中，cosZPf；/*=।

124

2

sin/尸鸟耳=^\-COSAPF2FX=乎,

19

:.Xp=|Of；|-|P^|cosZPf；f；=6-6x-=-,

力=|尸K|・sinNP8耳=6x孚=孑乎，即选项O正确;

••.IOP1=/（,+（誓）2=3限,

:\西+网|=|2OP|=2|（9P|=6娓,即选项C错误.

故选：ABD.

10.已知双曲线方程为工=1,A为双曲线右支上任意一点，耳，工为左、右焦点,

916-

△的内切圆圆心为/,0/与x轴切于点N,线段4的延长线与x轴交于点

0）.则以下结论正确的有（）

A.|f；N|-|乙N|为定值B./的横坐标为定值

C.%的范围是（0,3）D.0/半径的最大值为4

解：双曲线方程为—工-=1的a=3,b=4,c=5）

916

0/与x轴切于点N,与4=；切于点P,与A心切于点T,

因为/的横坐标与N的横坐标相等，设/（赤，r）,

由切线长相等，可得IWIHN月\PA\=\TA\,\TF2HNF2\,

由双曲线的定义可得|A耳|-1A心|=2a,即有|胡|-1”|=2〃，

又|N耳|+|”|=2c,解得|NKI=c-a,可得|ON|=a,

则A,8都正确；

由内角平分线的性质定理可得"豆=生」=6+1,

5—%\AF2\\AF2\

即有|A居|=3(2—l)>c—a=2,解得0<x<X()v3,故C正确;

可设A。％"),m,n>0,△A"K的内切圆的半径为尸，

22

则工一工=1,①

916

又SA.M=；・2C-〃=；«2C+|4K|+|A巴|),

即为5〃=r(5+3+|AF2\)=r(S+e/n-a)=r(5+,

化为〃=〃(1+：加)，

若r=4,贝！J〃=4(1+,m)，②

3

联立①②，可得方程组无解.

故。错误.

故选：ABC.

11.已知双曲线C:工--匚=1(〃蚱/?)的一条渐近线方程为4》-3>=0,则()

mw+7

A.(",0)为C的一个焦点

B.双曲线C的离心率为*

3

C.过点(5,0)作直线与C交于A,8两点，则满足|A8|=15的直线有且只有两条

D.设A,B,M为C上三点且A,8关于原点对称，则M4,MB斜率存在时其乘积

为约

9

22

解：双曲线C:三--匚•=1(m£/?)的一条渐近线方程为4*-3'=0,

m"2+7

可得竺±2=3,解得〃=29,

m9

则双曲线的方程为《-廿•=1，

916

可得a=3,6=4,c=5,焦点为(±5,0),故4错误；

双曲线的离心率为e=£=»,故5正确；

a3

过右焦点（5,0）作直线与C交于力，8两点，

2A232

若A,3均在右支上，可得|AB|..J=§,

而15＞当，可得这样的直线有两条；

3

若A,3分别在双曲线的左、右支上，可得|A8|..2a=6,

而15＞6,可得这样的直线有两条，则满足|AB|=15的直线共有4条，故C错误；

、IYT鹿2c2尸

设A（m,"），M（5,Z）,可得--------I9..............-19

916916

两式相减可得（"T）M+S）=妇以3）,

916

即有M4,MB斜率存在时其乘积为2匚="，

m-sm+s9

故。正确.

故选：BD.

12.设O为坐标原点，耳，亮是双曲线予•-£=1（〃＞0力＞0）的左、右焦点.在双曲线的

右支上存在点P满足N4Pf；=60。，且线段P4的中点5在y轴上，则（）

A.双曲线的离心率为6

B.双曲线的方程可以是工-丁=1

C.\OP\=^a

D.的面积为G/

解：如图，耳（-c,0）,❷（c,0）,

•••3为线段「耳的中点，。为耳心的中点，.1OB//P用，

NP）耳=90°,

由双曲线定义可得，|P/"-|P/"=2a,

设|=2租（机＞0）,则1Pgi=〃？，\FtF2\=y^m,

.\2m—m=2a,艮□〃=一,

2

又®n=2c，：.c=^m,则《=£=6，故A正确；

2a

=c1-a1则3=岑机，双曲线的渐近线方程为y=±&x,

选项B的渐近线方程为〉=±3'，故B错误；

对于C,为百鸟的中点，,P[+PU=2P0.,

则（所+理了=4PO,即|PF^+1PKl2+21||PF^\cos600=4|PO|2,

即|西『+|理『+|所||网上4|所F，①

而|尸耳|-"鸟|=2«,两边平方并整理得，|不|2+|尸6|2一2|尸/"|/>6|=4/,②

联立①②可得，|「用|徐；|=8〃，4|用『=28/,即|PO|=Jf。，故c正确；

SPFF,=-1IIIsin60°=-x8«2x=2x/3a2,故。错误.

A12222

故选：AC.

三、填空题

22

13.双曲线r：1-与=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为乙，尸,，过尺的直线与「的左、

ab~

右两支分别交于A，8两点，点〃在x轴上，亚'=g丽，B鸟平分N£BM,则「的渐近

线方程为—.

解：根据题意，作出如下所示的图形，

由题可知，|月月|=2c,由48=；5而，..△FiAF!s"BM,:\F2M\=4C,

设|A乙|=加，则

由角分线定理可知，

BF2平分NRBM,

.I耳片I_Im|=2c=1

"\MFZ\~2

:.\BFt\~,\AF,\=^\BFl\=^,\AB\=^\BFt\=m,

由双曲线的定义知，|4£|-|A4|=2a,

m——m=2a,即/??=4a①，

2

\BF,\-\BF2\=2a,

:\BF2\=^m-2a=m,|=|AB\^AF2\=m,即乙48玛是等边三角形,

NF?BM=ZABF2=60°,

在中，由余弦定理知，

\BF^+\BM^-\MF^1*+9*_]6。2

cosZ.F.BM=----=-----------------=—,即m一=----------------,

2\BF2\-\BM\22m-3m

化简得，=16c2②，

由①②可得，==7,

a

则h2=c2-a2=6a2,

可得双曲线的渐近线方程为y=土瓜x.

故答案为：y=±y/6x.

22

14.已知耳，尸,分别为双曲线=-与=1(“>0,6>0)的左、右焦点，过点F,作圆f+y2=/

ab

的切线交双曲线左支于点且/£岫=60。，则该双曲线的渐近线方程为一.

解：设切点为A,过月作片8，沙，垂足为3,

由题意可得IOA|=a,IOg|=c,|A/s|=x/c2*4—a2=b>

由Q4为△明马的中位线，可得|8/"=2°,

|BF2|=2b,

y.ZFtMF2=60°,可得|M8|=||

\MF2\=4MB\+\BF21=

又耳\=~L+2b-^-=2a,

所以6=(1+

所以双曲线的渐近线方程为y=±(l+

22

15.己知点F为双曲线[-]=l(a>0,6>0)的左焦点，4为该双曲线渐近线在第一象限

a'b'

内的点，过原点O作OA的垂线交E4于点8,若3恰为线段AF的中点，且AA8O的内切

圆半径为j(6>a),则该双曲线的离心率为

4

解：设|OA|=〃，\OB\=m,

由题意知，点A在渐近线y=2x上，点B在渐近线y=-2x上,

-ab、~ba、

：.A(一〃，—n),8(——m,—m),

•••B为线段4r的中点，且尸(-c,0),

_ba

—2•一"2=一〃一c