2025届北京石景山数学九上期末预测试题含解析

2025届北京石景山数学九上期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为()A．y=2(x﹣1)2﹣2 B．y=2(x+1)2﹣2C．y=﹣2(x﹣1)2﹣2 D．y=﹣2(x+1)2﹣22．下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，四边形ABCD内接于⊙0，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．如图，在中，，，点是边上的一个动点，以为直径的圆交于点，若线段长度的最小值是4，则的面积为（）A．32 B．36 C．40 D．485．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（）A． B． C．2或3 D．或6．某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（）A．抽一次不可能抽到一等奖B．抽次也可能没有抽到一等奖C．抽次奖必有一次抽到一等奖D．抽了次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖7．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（）A． B． C． D．8．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（）A．25° B．40° C．45° D．50°9．如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为（）A． B． C． D．10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6，BC=8，则△AEF的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．611．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56° B．62° C．68° D．78°12．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝2，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（1，0） B．（1，8） C．（1，﹣1） D．（1，﹣6）二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．14．已知点，都在反比例函数图象上，则____(填“”或“”或“”)．15．已知x=1是一元二次方程x2﹣3x+a=0的一个根，则方程的另一个根为_____.16．形状与抛物线相同，对称轴是直线，且过点的抛物线的解析式是________．17．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=______．18．如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=，则k的值为________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？20．（8分）（1）计算：﹣|﹣3|+cos60°；（2）化简：21．（8分）综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF=；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF=．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．22．（10分）解方程：x2﹣2x﹣5＝1．23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求k的值；（2）已知点P（a，﹣2a）（a＜0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝﹣2x﹣2于点M，交函数y＝（x＜0）的图象于点N．①当a＝﹣1时，求线段PM和PN的长；②若PN≥2PM，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．（1）求∠CAD的度数；（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．25．（12分）如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．（1）求证：AB=AC；（2）若AB＝8，求圆环的面积．26．如图，直线经过⊙上的点，直线与⊙交于点和点，与⊙交于点，连接，.已知，，，.（1）求证：直线是⊙的切线；（2）求的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】抛物线y=1x1绕原点旋转180°，即抛物线上的点（x，y）变为（-x，-y），代入可得抛物线方程，然后根据左加右减的规律即可得出结论．【详解】解：∵把抛物线y=1x1绕原点旋转180°，∴新抛物线解析式为：y=﹣1x1，∵再向右平移1个单位，向下平移1个单位，∴平移后抛物线的解析式为y=﹣1(x﹣1)1﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解题的关键．2、A【分析】根据圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，依次分析可得出正确的命题，即可得出答案．【详解】①不共线的三点确定一个圆，错误，假命题；②任何三角形有且只有一个内切圆，正确，真命题；③在同一个圆中,圆心角相等所对的弧也相等,错误，假命题；④正五边形、正三角形都不是中心对称图形，错误，假命题；故答案为A.【点睛】本题考查了圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，解题时记牢性质和判定方法是关键．3、C【分析】由题意根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠AOC，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理列式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠ABC=∠AOC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，由圆周角定理得，∠ADC=∠AOC，∴∠ADC=60°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及平行四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4、D【分析】连接BQ，证得点Q在以BC为直径的⊙O上，当点O、Q、A共线时，AQ最小，在中，利用勾股定理构建方程求得⊙O的半径R，即可解决问题.【详解】如图，连接BQ，∵PB是直径，∴∠BQP=90°，

∴∠BQC=90°，

∴点Q在以BC为直径的⊙O上，∴当点O、Q、A共线时，AQ最小，设⊙O的半径为R，在中，，，，∵，即，解得：，故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式．解决本题的关键是确定Q点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．5、A【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．【详解】∵方程有两个相等的实根，∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，解得：k=．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．6、B【解析】根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．【详解】A.“抽到一等奖的概率为”，抽一次也可能抽到一等奖，故错误；B.“抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故正确；C.“抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故错误；D.“抽到一等奖的概率为”，抽第10次的结果跟前面的结果没有关系，再抽一次也不一定抽到一等奖，故错误；故选B.【点睛】关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量.概率小的有可能发生,概率大的有可能不发生.概率等于所求情况数与总情况数之比.7、D【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可.【详解】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成的两部分面积相等，∴△ADE：△ABC=1:2，∴.故选D.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方.8、B【分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．【详解】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．9、C【分析】由旋转的性质知∠AOD=30°、OA=OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．【详解】解：由题意得，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．10、A【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC=8，∠BAD=90°，，又因为点E，F分别是AO，AD的中点，所以EF为三角形AOD的中位线，推出，，AF:AD=1:2由此即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8

∴，∵E，F分别是AO．AD中点，

∴，，AF:AD=1:2，∴△AEF的面积为3，

故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．11、C【解析】分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．详解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故选C．点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．12、A【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=2，∴该定弦抛物线过点(0，0)、(2，0)，∴该抛物线解析式为y=x(x﹣2)=x2﹣2x=(x﹣2)2﹣2．将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=(x﹣2+2)2﹣2+3=x2﹣2．当x=2时，y=x2﹣2=0，∴得到的新抛物线过点(2，0)．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、8或【解析】根据题意，以为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．【详解】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP，过点O作OH⊥AB于点H，∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∴，由垂径定理可知，∴，在Rt△OAH中，在Rt△CAP中，，且∴，在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，∴Rt△PAG∽Rt△PCA∴，则，∴；②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，∴BC=AB=8故答案为8或【点睛】本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．14、【分析】先判断，则图像经过第一、三象限，根据反比例函数的性质，即可得到答案.【详解】解：∵，∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，∵，∴，故答案为：.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握时，反比例函数经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小.15、【解析】设方程另一个根为x，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．【详解】设方程另一个根为x，根据题意得x+1=3，解得x=2.故答案为：x=2.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键.16、或．【分析】先从已知入手：由与抛物线形状相同则相同，且经过点，即把代入得，再根据对称轴为可求出，即可写出二次函数的解析式．【详解】解：设所求的二次函数的解析式为：，与抛物线形状相同，，，又∵图象过点，∴，∵对称轴是直线，∴，∴当时，，当时，，所求的二次函数的解析式为：或．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的系数和图象之间的关系．解答时注意抛物线形状相同时要分两种情况：①开口向下，②开口向上；即相等．17、50°【解析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得．【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°．故答案为：50°．【点睛】本题考查圆周角定理，题目比较简单．18、1【详解】试题分析：把x=2代入y=x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．解：∵点C在直线AB上，即在直线y=x﹣2上，C的横坐标是2，∴代入得：y=×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），∴OM=2，∵CD∥y轴，S△OCD=，∴CD×OM=，∴CD=，∴MD=﹣1=，即D的坐标是（2，），∵D在双曲线y=上，∴代入得：k=2×=1．故答案为1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．三、解答题（共78分）19、10，1．【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程求出边长的值．试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得化简，得，解得：当时，（舍去），当时，，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m．考点：一元二次方程的应用题．20、（1）；（2）【分析】（1）分别计算平方根、绝对值、特殊角的三角函数值，然后根据实数的运算法则计算即可.（2）利用完全平方公式及单项式乘多式展开后，合并同类项即可.【详解】（1）﹣|﹣3|+cos60°（2）【点睛】本题考查了实数的运算，整式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键.21、（1）矩形，4；（2）菱形，；（3）详见解析．【分析】（1）由题意及图形可直接解答；（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；（3）根据旋转的性质及题意易得，然后得到四边形ACBF为平行四边形，最后问题得证．【详解】（1）如图所示：△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，，，四边形ACBF是矩形，AB=4，AB=CF=4；故答案为：矩形，4；（2）如图所示：△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，，，四边形ECBF是平行四边形，点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，，，故答案为：菱形，；（3）证明：如图所示：∵∵∴∴∵∵∴为等边三角形∴∴∵∴四边形ACBF为平行四边形∵∴四边形ACBF为矩形．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可．22、x1＝1+，x2＝1﹣．【解析】利用完全平方公式配平方，再利用直接开方法求方程的解即可．【详解】解：x2﹣2x+1＝6，那么（x﹣1）2＝6，即x﹣1＝±，则x1＝1+，x2＝1﹣．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．23、（1）k=-3；（3）①PM＝1，PN＝3；②a≤﹣3或﹣1≤a＜1．【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入解析式即可求解；（3）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，3），把y＝3分别代入y＝﹣3x﹣3与y＝﹣即可求得M、N的坐标，进一步即可求得PM、PN；②先求出PN＝3PM时a的值，再根据函数的图象即可求解．【详解】（1）∵函数y＝（x＜1）的图象经过点A（﹣1，3）．∴k＝﹣1×3＝﹣3．（3）①当a＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，3）．∵直线y＝﹣3x﹣3，反比例函数的解析式为y＝﹣，PN∥x轴，∴把y＝3代入y＝﹣3x﹣3，求得x＝﹣3，代入y＝﹣求得x＝﹣3，∴M（﹣3，3），N（﹣3，3），∴PM＝1，PN＝3．②把y＝-3a代入y＝﹣3x﹣3，求得x＝a-1；代入y＝﹣求得x＝，∴M点的坐标为(a-1，-3a)，N点的坐标为(，-3a)当PN＝3PM时，，解得：a=±1或±3（负值舍去）∴当a＝﹣1或a＝﹣3时，PN＝3PM，∴根据图象PN≥3PM，a的取值范围为a≤﹣3或﹣1≤a＜1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．24、（1）∠CAD＝35°；（2）．【分析】(1)由AB=AC，得到=，求得∠ABC=∠ACB，推出∠CAD=∠ACD，得到∠ACB=2∠ACD