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文档简介
2025届辽宁省昌图县数学九上期末学业质量监测模拟试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每题4分,共48分)1.半径为10的⊙O和直线l上一点A,且OA=10,则直线l与⊙O的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交2.在平面直角坐标系中,二次函数与坐标轴交点个数()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个3.点A(﹣3,y1),B(﹣1,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=﹣的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y34.抛物线的顶点坐标是()A. B. C. D.5.如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡的坡度为(
)A. B. C. D.6.若3x=2y(xy≠0),则下列比例式成立的是()A. B. C. D.7.若,则的值是()A. B. C. D.8.已知函数的图象如图所示,则一元二次方程根的存在情况是A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.无法确定9.如图,AB是⊙O直径,若∠AOC=140°,则∠D的度数是()A.20° B.30° C.40° D.70°10.如图,随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球,则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为()A. B. C. D.11.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=3,则BC的长为()A.3sin35° B. C.3cos35° D.3tan35°12.如图,PA与PB分别与圆O相切与A、B两点,∠P=80o,则∠C=()A.45 B.50 C.55 D.60二、填空题(每题4分,共24分)13.如图,在△ABC中,∠BAC=35°,将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°,得到△AB′C′,则∠B′AC的度数是.14.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是______.15.在平面直角坐标系中,直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点B、C,半径为1的⊙P的圆心P从点A(4,m)出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动,设点P运动的时间为t秒,则当t=_____秒时,⊙P与坐标轴相切.16.如图,在矩形ABCD中,如果AB=3,AD=4,EF是对角线BD的垂直平分线,分别交AD,BC于点EF,则ED的长为____________________________.17.因式分解:______.18.将二次函数y=2x2的图像向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的图像所对应的函数表达式为____.三、解答题(共78分)19.(8分)解方程:x(x-2)+x-2=1.20.(8分)如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点E,使△EDC的周长最小,求符合条件的E点坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出PB2的值;若不存在,请说明理由.21.(8分)如图1,在△ABC中,AB=BC=20,cosA=,点D为AC边上的动点(点D不与点A,C重合),以D为顶点作∠BDF=∠A,射线DE交BC边于点E,过点B作BF⊥BD交射线DE于点F,连接CF.(1)求证:△ABD∽△CDE;(2)当DE∥AB时(如图2),求AD的长;(3)点D在AC边上运动的过程中,若DF=CF,则CD=.22.(10分)佩佩宾馆重新装修后,有间房可供游客居住,经市场调查发现,每间房每天的定价为元,房间会全部住满,当每间房每天的定价每增加元时,就会有一间房空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每间房每天支出元的各项费用.设每间房每天的定价增加元,宾馆获利为元.(1)求与的函数关系式(不用写出自变量的取值范围);(2)物价部门规定,春节期间客房定价不能高于平时定价的倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利元?23.(10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若AC=8,CE=4,求弧BD的长.(结果保留π)24.(10分)已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+2m=1.(1)若该方程的一个根为x=1,求m的值;(2)求证:不论m取何实数,该方程总有两个实数根.25.(12分)若关于的一元二次方程有实数根,(1)求的取值范围:(2)如果是符合条件的最小整数,且一元二次方程与方程有一个相同的根,求此时的值.26.超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速,如图,观测点设在到县城城南大道的距离为米的点处.这时,一辆出租车由西向东匀速行驶,测得此车从处行驶到处所用的时间为秒,且,.求、之间的路程;请判断此出租车是否超过了城南大道每小时千米的限制速度?
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、D【分析】根据直线和圆的位置关系来判断.【详解】设圆心到直线l的距离为d,则d≤10,当d=10时,d=r,直线与圆相切;当r<10时,d<r,直线与圆相交,所以直线与圆相切或相交.故选D点睛:本题考查了直线与圆的位置关系,①直线和圆相离时,d>r;②直线和圆相交时,d<r;③直线和圆相切时,d=r(d为圆心到直线的距离),反之也成立.2、B【分析】首先根据根的判别式判定与轴的交点,然后令,判定与轴的交点,即可得解.【详解】由题意,得∴该函数与轴有一个交点当时,∴该函数与轴有一个交点∴该函数与坐标轴有两个交点故答案为B.【点睛】此题主要考查利用根的判别式判定二次函数与坐标轴的交点,熟练掌握,即可解题.3、C【解析】将x的值代入函数解析式中求出函数值y即可判断.【详解】当x=-3时,y1=1,
当x=-1时,y2=3,
当x=1时,y3=-3,
∴y3<y1<y2
故选:C.【点睛】考查反比例函数图象上的点的特征,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.4、D【分析】当时,是抛物线的顶点,代入求出顶点坐标即可.【详解】由题意得,当时,是抛物线的顶点代入到抛物线方程中∴顶点的坐标为故答案为:D.【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标问题,掌握求二次函数顶点的方法是解题的关键.5、A【解析】试题解析:∵一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,∴这个斜坡的水平距离为:=10m,∴这个斜坡的坡度为:50:10=5:1.故选A.点睛:本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题,解题的关键是明确坡度的定义.坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常写成i=1:m的形式.6、A【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.【详解】A.由得:3x=2y,故本选项比例式成立;B.由得:xy=6,故本选项比例式不成立;C.由得:2x=3y,故本选项比例式不成立;D.由得:2x=3y,故本选项比例式不成立.故选A.【点睛】本题考查了比例的性质,主要利用了两内项之积等于两外项之积,熟记性质是解题的关键.7、B【分析】解法一:将变形为,代入数据即可得出答案.解法二:设,,带入式子约分即可得出答案.【详解】解法一:解法二:设,则故选B.【点睛】本题考查比例的性质,将比例式变形,或者设比例参数是解题的关键.8、C【详解】试题分析:一次函数的图象有四种情况:①当,时,函数的图象经过第一、二、三象限;②当,时,函数的图象经过第一、三、四象限;③当,时,函数的图象经过第一、二、四象限;④当,时,函数的图象经过第二、三、四象限.由图象可知,函数的图象经过第二、三、四象限,所以,.根据一元二次方程根的判别式,方程根的判别式为,当时,,∴方程有两个不相等的实数根.故选C.9、A【分析】根据邻补角的性质,求出∠BOC的值,再根据圆周角与圆心角的关系求出∠D的度数即可.【详解】∵∠AOC=140°,∴∠BOC=180°-∠AOC=40°,∵∠BOC与∠BDC都对,∴∠D=∠BOC=20°,故选A.【点睛】本题考查了圆周角定理,知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.10、B【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比.【详解】解:∵如图所示的正三角形,∴∠CAB=60°,∴∠OAB=30°,∠OBA=90°,设OB=a,则OA=2a,则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为.故选:B.【点睛】本题考查了概率问题,掌握圆的面积公式是解题的关键.11、C【分析】根据余弦定义求解即可.【详解】解:如图,∵∠C=90°,∠B=35°,AB=3,cos35°=,∴BC=3cos35°.故选:C.【点睛】本题考查了锐角三角函数,属于基础题型,熟练掌握余弦的定义是解此题的关键.12、B【分析】连接AO,BO,根据题意可得∠PAO=∠PBO=90°,根据∠P=80°得出∠AOB=100°,利用圆周角定理即可求出∠C.【详解】解:连接AO,BO,∵PA与PB分别与圆O相切与A、B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵∠P=80°,∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°,∴∠C=,故选:B.【点睛】本题考查了切线的性质以及圆周角定理,解题的关键是熟知切线的性质以及圆周角定理的内容.二、填空题(每题4分,共24分)13、15°【分析】先根据旋转的性质,求得∠BAB'的度数,再根据∠BAC=35°,求得∠B′AC的度数即可.【详解】∵将绕点顺时针方向旋转50°得到,∴,又∵,∴,故答案为:15°.【点睛】本题主要考查了旋转的性质,解题时注意:对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.14、(2,3)【分析】已知解析式为顶点式,可直接根据顶点式的坐标特点,求顶点坐标,从而得出对称轴.【详解】解:y=(x-2)2+3是抛物线的顶点式,
根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,3).
故答案为(2,3)【点睛】考查将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.15、1,3,5【分析】设⊙P与坐标轴的切点为D,根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B、C的坐标,即可求出AB、AC的长,可得△OBC是等腰直角三角形,分⊙P只与x轴相切、与x轴、y轴同时相切、只与y轴相切三种情况,根据切线的性质和等腰直角三角形的性质分别求出AP的长,即可得答案.【详解】设⊙P与坐标轴的切点为D,∵直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点B、C,点A坐标为(4,m),∴x=0时,y=-2,y=0时,x=2,x=4时,y=2,∴A(4,2),B(2,0),C(0,-2),∴AB=2,AC=4,OB=OC=2,∴△OBC是等腰直角三角形,∠OBC=45°,①如图,当⊙P只与x轴相切时,∵点D为切点,⊙P的半径为1,∴PD⊥x轴,PD=1,∴△BDP是等腰直角三角形,∴BD=PD=1,∴BP=,∴AP=AB-BP=,∵点P的速度为个单位长度,∴t=1,②如图,⊙P与x轴、y轴同时相切时,同①得PB=,∴AP=AB+PB=3,∵点P的速度为个单位长度,∴t=3.③如图,⊙P只与y轴相切时,同①得PB=,∴AP=AC+PB=5,∵点P的速度为个单位长度,∴t=5.综上所述:t的值为1、3、5时,⊙P与坐标轴相切,故答案为:1,3,5【点睛】本题考查切线的性质及一次函数图象上点的坐标特征,一次函数图象上的点的坐标都适合该一次函数的解析式;圆的切线垂直于过切点的直径;熟练掌握切线的性质是解题关键.16、【分析】连接EB,构造直角三角形,设AE为,则,利用勾股定理得到有关的一元一次方程,即可求出ED的长.【详解】连接EB,
∵EF垂直平分BD,
∴ED=EB,
设,则,
在Rt△AEB中,
,
即:,
解得:.∴,
故答案为:.【点睛】本题考查了矩形的性质,线段的垂直平分线的性质和勾股定理,正确根据勾股定理列出方程是解题的关键.17、x(x-5)【分析】直接提公因式,即可得到答案.【详解】解:,故答案为:.【点睛】本题考查了提公因式法因式分解,解题的关键是熟练掌握因式分解的方法.18、y=2(x-2)2+3【分析】根据平移的规律:左加右减,上加下减可得函数解析式.【详解】解:将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式为y=2(x-2)2+3,
故答案为:y=2(x-2)2+3.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换,关键是掌握平移的规律.三、解答题(共78分)19、.【分析】把方程中的x-2看作一个整体,利用因式分解法解此方程.【详解】解:(x-2)(x+2)=2,∴x-2=2或x+2=2,∴x2=2,x2=-2.20、(1)y=﹣x2+2x+3;(2)点E(,0);(3)PB2的值为16+8.【分析】(1)求出点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B、C的坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C′,连接CD′交x轴于点E,则此时EC+ED为最小,△EDC的周长最小,即可求解;(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况,由勾股定理可求解.【详解】(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,令x=0,则y=3,令y=0,则x=3,∴点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B、C的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故函数的表达式为:y=﹣x2+2x+3;(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C′,连接CD′交x轴于点E,此时EC+ED为最小,则△EDC的周长最小,令x=0,则﹣x2+2x+3=0,解得:,∴点A的坐标为(-1,0),∵y=﹣x2+2x+3,∴抛物线的顶点D的坐标为(1,4),则点C′的坐标为(0,﹣3),设直线C′D的表达式为,将C′、D的坐标代入得,解得:,∴直线C′D的表达式为:y=7x﹣3,当y=0时,x=,故点E的坐标为(,0);(3)①当点P在x轴上方时,如图2,∵点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),∴OB=OC=3,则∠OCB=45°=∠APB,过点B作BH⊥AP于点H,设PH=BH=a,则PB=PA=a,由勾股定理得:AB2=AH2+BH2,∴16=a2+(a﹣a)2,解得:a2=8+4,则PB2=2a2=16+8;②当点P在x轴下方时,同理可得.综合以上可得,PB2的值为16+8.【点睛】本题是二次函数综合题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法,勾股定理,等腰三角形的性质,点的对称性等知识,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.21、(1)证明见解析;(2);(3)1.【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.
(2)解直角三角形求出BC,由△ABD∽△ACB,推出,可得AD=.
(3)点D在AC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.作FH⊥AC于H,BM⊥AC于M,BN⊥FH于N.则∠NHM=∠BMH=∠BNH=90°,由△BFN∽△BDM,可得=tan∠BDF=tanA=,推出AN=AM=×12=9,推出CH=CMMH=CMAN=169=7,再利用等腰三角形的性质,求出CD即可解决问题.【详解】(1)证明:如图1中,∵BA=BC,∴∠A=∠ACB,∵∠BDE+∠CDE=∠A+∠ABD,∠BDE=∠A,∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△CDE.(2)解:如图2中,作BM⊥AC于M.在Rt△ABM中,则AM=AB•cosA=20×=16,由勾股定理,得到AB2=AM2+BM2,∴202=162+BM2,∴BM=12,∵AB=BC,BM⊥AC,∴AC=2AM=32,∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE,∵∠ADE=∠B,∠B=∠ACB,∴∠BAD=∠ACB,∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△ACB,∴∴AD==.(3)点D在AC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.理由:作FH⊥AC于H,AM⊥AC于M,BN⊥FH于N.则∠NHM=∠BMH=∠BNH=90°,∴四边形BMHN为矩形,∴∠MBN=90°,MH=BN,∵AB=BC,BM⊥AC,∵AB=20,AM=CM=16,AC=32,BM=12,∵BN⊥FH,BM⊥AC,∴∠BNF=90°=∠BMD,∵∠DBF=90°=∠MBN,∴∠NBF=∠MBD,∴△BFN∽△BDM,∴=tan∠BDF=tanA=,∴BN=BM=×12=9,∴CH=CM﹣MH=CM﹣BN=16﹣9=7,当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知△DFC为等腰三角形,∵FH⊥DC,∴CD=2CH=1.故答案为:1.【点睛】本题属于相似形综合题,考查了新三角形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数等,等腰三角形的判定和性质知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考压轴题.22、(1);(2)每间房价为元时,宾馆可获利元【分析】(1)根据题意表示出每间房间的利润和房间数,进而求得答案;(2)代入(1)求出的函数式,解方程即可,注意要符合条件的.【详解】解:由题意得答:与的函数关系式为:由可得:令,即解得解得此时每间房价为:(元)答:每间房价为元时,宾馆可获利元。【点睛】本题考查的是盈利问题的二次函数式及二次函数的最值问题,通常做法是先列出二次函数式,然后利用y最值或化成顶点式进行求解.用代数表示每间房间的利润和房间数是关键.23、(1)见解析;(2)【分析】(1)连接OD,由OA=OD知∠OAD=∠ODA,由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO,据此可得∠DAE=∠ADO,继而知OD∥AE,根据AE⊥EF即可得证;(2)作OG⊥AE,知AG=CG=AC=4,证四边形ODEG是矩形,得出OA=OB=OD=CG+CE=4,再证△ADE∽△ABD得AD2=192,据此得出BD的长及∠BAD的度数,利用弧长公式可得答案.【详解】(1)证明:连接OD,如图1所示:∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠EAF,∴∠DAE=∠DAO,∴∠DAE=∠ADO,∴OD∥AE,∵AE⊥EF,∴OD⊥EF,∴EF是⊙O的切线;(2)解:作OG⊥AE于点G,连接BD,如图2所示:则AG=CG=AC=4,∠OGE=∠E=∠ODE=90°,∴四边形ODEG是矩形,∴OA=
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