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文档简介
江苏省无锡市锡山区锡东片2025届数学九上期末达标检测模拟试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,三个边长均为的正方形重叠在一起,、是其中两个正方形对角线的交点,则两个阴影部分面积之和是()A. B. C. D.2.方程的两根分别为()A.=-1,=2 B.=1,=2 C.=―l,=-2 D.=1,=-23.如图,已知AB是ʘO的直径,点P在B的延长线上,PD与⊙O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径为1.BC=9,则PA的长为()A.8 B.4 C.1 D.54.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,且AD=2,AB=3,AE=4,则AC等于()A.5 B.6 C.7 D.85.方程的解是()A. B., C., D.6.关于x的一元二次方程有两个实数根,则k的取值范围在数轴上可以表示为()A. B.C. D.7.下列事件中,是随机事件的是()A.任意一个五边形的外角和等于540°B.通常情况下,将油滴入水中,油会浮在水面上C.随意翻一本120页的书,翻到的页码是150D.经过有交通信号灯的路口,遇到绿灯8.已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),请你在图中画出这个新图象,当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是()A.﹣<m<3 B.﹣<m<2 C.﹣2<m<3 D.﹣6<m<﹣29.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且DE∥BC,,DE=6,则BC的长为()A.8 B.9 C.10 D.1210.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点C顺时针旋转60°,则顶点A所经过的路径长为()A.10π B.C.π D.π二、填空题(每小题3分,共24分)11.已知关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是________.12.在中,,,在外有一点,且,则的度数是__________.13.如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为______.14.如图,边长为4的正六边形内接于,则的内接正三角形的边长为______________.15.如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC.则BD=_____.16.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的面积为20,顶点A在y轴上,顶点C在x轴上,顶点D在双曲线的图象上,边CD交y轴于点E,若,则k的值为______.17.已知二次函数y=x2﹣4x+3,当a≤x≤a+5时,函数y的最小值为﹣1,则a的取值范围是_______.18.方程x(x﹣5)=0的根是_____.三、解答题(共66分)19.(10分)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,点C在OP上,满足∠CBP=∠ADB.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.20.(6分)如图,在中,对角线AC与BD相交于点O,,,.求证:四边形ABCD是菱形.21.(6分)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点,与轴相交于点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点与点关于轴对称,求的面积;(3)若是反比例函数上的两点,当时,比与的大小关系.22.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D,交AC于点E.(1)求证:BD=CD.(2)若弧DE=50°,求∠C的度数.(3)过点D作DF⊥AB于点F,若BC=8,AF=3BF,求弧BD的长.23.(8分)在学习概率的课堂上,老师提出的问题:只有一张电影票,小丽和小芳想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影,请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案.甲同学的方案:将红桃2、3、4、5四张牌背面向上,小丽先抽一张,小芳从剩下的三张牌中抽一张,若两张牌上的数字之和是奇数,则小丽看电影,否则小芳看电影.(1)甲同学的方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明;(2)乙同学将甲同学的方案修改为只用2、3、5、7四张牌,抽取方式及规则不变,乙的方案公平吗?并说明理由.24.(8分)(操作发现)如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.(1)请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′;(2)在(1)所画图形中,∠AB′B=____.(问题解决)(3)如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;想法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.…请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)25.(10分)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润为10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属于第几档次产品?(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?26.(10分)阅读下列材料,然后解答问题.经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆,圆心是正四边形的对称中心,这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形.如图,正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的面积为S1,正方形ABCD的面积为S1.以圆心O为顶点作∠MON,使∠MON=90°.将∠MON绕点O旋转,OM、ON分别与⊙O交于点E、F,分别与正方形ABCD的边交于点G、H.设由OE、OF、及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积为S.(1)当OM经过点A时(如图①),则S、S1、S1之间的关系为:(用含S1、S1的代数式表示);(1)当OM⊥AB于G时(如图②),则(1)中的结论仍然成立吗?请说明理由;(3)当∠MON旋转到任意位置时(如图③),则(1)中的结论任然成立吗:请说明理由.
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】连接AN,CN,通过将每部分阴影的面积都转化为正方形ACFE的面积的,则答案可求.【详解】如图,连接AN,CN∵四边形ACFE是正方形∴∵,∴∴∴所以四边形BCDN的面积为正方形ACFE的面积的同理可得另一部分阴影的面积也是正方形ACFE的面积的∴两部分阴影部分的面积之和为正方形ACFE的面积的即故选A【点睛】本题主要考查不规则图形的面积,能够利用全等三角形对面积进行转化是解题的关键.2、D【解析】(x-1)(x+1)=0,可化为:x-1=0或x+1=0,解得:x1=1,x1=-1.故选D3、C【分析】连接OD,利用切线的性质可得∠PDO=90°,再判定△PDO∽△PCB,最后再利用相似三角形的性质列方程解答即可.【详解】解:连接DO∵PD与⊙O相切于点D,∴∠PDO=90°,∵BC⊥PC,∴∠C=90°,∴∠PDO=∠C,∴DO//BC,∴△PDO∽△PCB,∴,设PA=x,则,解得:x=1,∴PA=1.故答案为C.【点睛】本题考查了圆的切线性质以及相似三角形的判定与性质,证得△PDO∽△PCB是解答本题的关键.4、B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可.【详解】∵DE∥BC,∴,∴,∴AC=6,故选:B.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理,难度系数不高,解题关键是找准对应线段.5、B【分析】用因式分解法求解即可得到结论.【详解】∵x2﹣3x=0,∴x(x﹣3)=0,则x=0或x﹣3=0,解得:,.故选:B.【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键.6、B【分析】利用根的判别式和题意得到,求出不等式的解集,最后在数轴上表示出来,即可得出选项.【详解】解:∵关于x的方程有两个实数根,∴,解得:,在数轴上表示为:,故选:B.【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集,根的判别式的应用,注意:一元二次方程(为常数)的根的判别式为.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.特别注意:当时,方程有两个实数根,本题主要应用此知识点来解决.7、D【分析】根据随机事件的定义,逐一判断选项,即可得到答案.【详解】∵任意一个五边形的外角和等于540°,是必然事件,∴A不符合题意,∵通常情况下,将油滴入水中,油会浮在水面上,是必然事件,∴B不符合题意,∵随意翻一本120页的书,翻到的页码是150,是不等能事件,∴C不符合题意,∵经过有交通信号灯的路口,遇到绿灯,是随机事件,∴D符合题意,故选D.【点睛】本题主要考查随机事件的定义,掌握必然事件,随机事件,不可能事件的定义,是解题的关键.8、D【解析】如图,解方程﹣x2+x+6=0得A(﹣2,0),B(3,0),再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=(x+2)(x﹣3),即y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3),然后求出直线•y=﹣x+m经过点A(﹣2,0)时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共点时m的值,从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围.【详解】如图,当y=0时,﹣x2+x+6=0,解得x1=﹣2,x2=3,则A(﹣2,0),B(3,0),将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x﹣3),即y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3),当直线y=﹣x+m经过点A(﹣2,0)时,2+m=0,解得m=﹣2;当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共点时,方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解,解得m=﹣6,所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围为﹣6<m<﹣2,故选D.【点睛】本题考查了抛物线与几何变换,抛物线与x轴的交点等,把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.9、C【解析】根据相似三角形的性质可得,再根据,DE=6,即可得出,进而得到BC长.【详解】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,又∵,DE=6,∴,∴BC=10,故选:C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.10、C【详解】如图所示:在Rt△ACD中,AD=3,DC=1,根据勾股定理得:AC=,又将△ABC绕点C顺时针旋转60°,则顶点A所经过的路径长为l=.故选C.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【详解】根据题意得:△=(﹣2)2-4×m=4-4m>0,解得m<.故答案为m<.【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式:(1)当△=b2﹣4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=b2﹣4ac=0时,方程有有两个相等的实数根;(3)当△=b2﹣4ac<0时,方程没有实数根.12、、【分析】由,可知A、C、B、M四点共圆,AB为圆的直径,则是弦AC所对的圆周角,此时需要对M点的位置进行分类讨论,点M分别在直线AC的两侧时,根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补可得两种结果.【详解】解:∵在中,,,∴∠BAC=∠ACB=45°,∵点在外,且,即∠AMB=90°∵∴A、C、B、M四点共圆,①如图,当点M在直线AC的左侧时,,∴;②如图,当点M在直线AC的右侧时,∵,∴,故答案为:135°或45°.【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补和同弧所对的角相等,但解题的关键是要先根据题意判断出A、C、B、M四点共圆.13、1【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长,利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形,即可求出所求.【详解】解:连接,
由网格可得,,即,
∴为等腰直角三角形,
∴,
则,故答案为1.【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义,解直角三角形,以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.14、【分析】解:如图,连接OA、OB,易得△AOB是等边三角形,从而可得OA=AB=4,再过点O作OM⊥AE于点M,则∠OAM=30°,AM=ME,然后解直角△AOM求得AM的长,进而可得答案.【详解】解:如图,连接OA、OB,则∠AOB=60°,OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=4,过点O作OM⊥AE于点M,则∠OAM=30°,AM=ME,在直角△AOM中,,∴AE=2AM=.故答案为:.【点睛】本题考查了正多边形和圆,作辅助线构造直角三角形、利用解直角三角形的知识求解是解题关键.15、4【分析】由BC⊥AC,AB=10,BC=AD=6,由勾股定理求得AC的长,得出OA长,然后由勾股定理求得OB的长即可.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6,OB=OD,OA=OC,∵AC⊥BC,∴AC==8,∴OC=4,∴OB==2,∴BD=2OB=4故答案为:4.【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.16、4【分析】过D作DF⊥x轴并延长FD,过A作AG⊥DF于点G,利用正方形的性质易证△ADG≌△DCF,得到AG=DF,设D点横坐标为m,则OF=AG=DF=m,易得OE为△CDF的中位线,进而得到OF=OC,然后利用勾股定理建立方程求出,进而求出k.【详解】如图,过D作DF⊥x轴并延长FD,过A作AG⊥DF于点G,∵四边形ABCD为正方形,∴CD=AD,∠ADC=90°∴∠ADG+∠CDF=90°又∵∠DCF+∠CDF=90°∴∠ADG=∠DCF在△ADG和△DCF中,∵∠AGD=∠DFC=90°,∠ADG=∠DCF,AD=CD∴△ADG≌△DCF(AAS)∴AG=DF设D点横坐标为m,则OF=AG=DF=m,∴D点坐标为(m,m)∵OE∥DF,CE=ED∴OE为△CDF的中位线,∴OF=OC∴CF=2m在Rt△CDF中,∴解得又∵D点坐标为(m,m)∴故答案为:4.【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合问题,需要熟练掌握正方形的性质,全等三角形的判定和性质,中位线的判定和性质以及勾股定理,解题的关键是作出辅助线,利用全等三角形推出点D的横纵坐标相等.17、﹣3≤a≤1【分析】求得对称轴,然后分三种情况讨论即可求得.【详解】解:∵二次函数y=x1﹣4x+3=(x﹣1)1﹣1,∴对称轴为直线x=1,当a<1<a+5时,则在a≤x≤a+5范围内,x=1时有最小值﹣1,当a≥1时,则在a≤x≤a+5范围内,x=a时有最小值﹣1,∴a1﹣4a+3=﹣1,解得a=1,当a+5≤1时,则在a≤x≤a+5范围内,x=a+5时有最小值﹣1,∴(a+5)1﹣4(a+5)+3=﹣1,解得a=﹣3,∴a的取值范围是﹣3≤a≤1,故答案为:﹣3≤a≤1.【点睛】本题考查了二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.18、x1=0,x2=1【分析】根据x(x-1)=0,推出x=0,x-1=0,求出方程的解即可.【详解】解:x(x﹣1)=0,∴x=0,x﹣1=0,解得:x1=0,x2=1,故答案为x1=0,x2=1.【点睛】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程,关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程.三、解答题(共66分)19、(1)见解析;(2)BP=1.【分析】(1)连接OB,如图,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC=90°,即可得出结论;(2)证明△AOP∽△ABD,然后利用相似三角形的对应边成比例求BP的长.【详解】(1)证明:连接OB,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,∴∠A+∠ADB=90°,∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∵∠CBP=∠ADB,∴∠OBA+∠CBP=90°,∴∠OBC=180°﹣90°=90°,∴BC⊥OB,∴BC是⊙O的切线;(2)解:∵OA=2,∴AD=2OA=4,∵OP⊥AD,∴∠POA=90°,∴∠P+∠A=90°,∴∠P=∠D,∵∠A=∠A,∴△AOP∽△ABD,∴=,即=,解得:BP=1.【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键.20、见解析【分析】根据平行四边形的性质得到AO和BO,再根据AB,利用勾股定理的逆定理得到∠AOB=90°,从而判定菱形.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AC=16,BD=12,∴AO=8,BO=6,∵AB=10,∴AO2+BO2=AB2,∴∠AOB=90°,即AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.【点睛】本题考查了菱形的判定,勾股定理的逆定理,解题的关键是证明∠AOB=90°.21、(1)一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为;(2);(3).【分析】(1)利用待定系数法即可解决求问题.
(2)根据对称性求出点D坐标,发现BD∥x轴,利用三角形的面积公式计算即可.
(3)利用反比例函数的增减性解决问题即可.【详解】解:(1)反比例函数经过点,,点在上,,,把坐标代入,则有,解得,一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为.(2)直线交轴于,,关于轴对称,轴,.(3)是反比例函数上的两点,且,.【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题,学会利用函数的增减性,比较函数值的大小.22、(1)详见解析;(2)65°;(3).【分析】(1)连接AD,利用圆周角定理推知AD⊥BD,然后由等腰三角形的性质证得结论;(2)根据已知条件得到∠EOD=50°,结合圆周角定理求得∠DAC=25°,所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数,则∠C=∠ABD,得解;(3)设半径OD=x.则AB=2x.由AF=3BF可得AF=AB=x,BF=AB=x,根据射影定理知:BD2=BF•AB,据此列出方程求得x的值,最后代入弧长公式求解.【详解】(1)证明:如图,连接AD.∵AB是圆O的直径,∴AD⊥BD.又∵AB=AC,∴BD=CD.(2)解:∵弧DE=50°,∴∠EOD=50°.∴∠DAE=∠DOE=25°.∵由(1)知,AD⊥BD,则∠ADB=90°,∴∠ABD=90°﹣25°=65°.∵AB=AC,∴∠C=∠ABD=65°.(3)∵BC=8,BD=CD,∴BD=1.设半径OD=x.则AB=2x.由AF=3BF可得AF=AB=x,BF=AB=x,∵AD⊥BD,DF⊥AB,∴BD2=BF•AB,即12=x•2x.解得x=1.∴OB=OD=BD=1,∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD=60°.∴弧BD的长是:=.【点睛】此题主要考查圆的综合,解题的关键是熟知圆周角定理、三角形内角和及射影定理的运用.23、(1)甲同学的方案不公平.理由见解析;(2)公平,理由见解析.【解析】(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率,比较即可.
(2)解题思路同上.【详解】(1)甲同学的方案不公平.理由如下:列表法,所有结果有12种,数字之和为奇数的有:8种,故小丽获胜的概率为:,则小芳获胜的概率为:,故此游戏两人获胜的概率不相同,即游戏规则不公平;(2)公平,理由如下:所有结果有12种,其中数字之和为奇数的有:6种,故小丽获胜的概率为:,则小芳获胜的概率为:,故此游戏两人获胜的概率相同,即他们的游戏规则公平.【点睛】本题考查树状图或列表法求概率,列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合于两步或两步以上的完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.24、(1)如图,△AB′C′即为所求;见解析;(1)45°;(3)S△APC=.【解析】(1)如图所示,△AB′C′即为所求;(1)利用等腰三角形的性质即可解决问题;【问题解决】结论:PA1+PB1=PC1.证法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;证法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.【详解】(1)如图,△AB′C′即为所求;(1)∵△ABB′是等腰直角三角形,
∴∠AB′B=45°.
故答案为45°;(3)如图②,∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,∴△APP′是等边三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣110°=150°,∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,∴∠PP′C=90°,∠P′PC=30°,∴PP′=PC,即AP=PC∵∠APC=90°,∴AP1+PC1=AC1,即(PC)1+PC1=71,∴PC=,∴AP=,∴S△APC=AP•PC=【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握旋转的性质,属于中考常考题型.25、(1)第3档次;(2)第5档次【解析】试题分析:(1)根据生产提高一个
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