微积分基本公式

1.定积分定义4.定积分的性质(1)分割,2.定积分的思想和方法：曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值3.定积分的几何意义(1)当时，A(2)当时，表示各部分面积的代数和，复习近似,取和,求极限.x轴上方的取正号，x轴下方的取负号.(3)当在[a,b]上有正有负时，1(2)则则设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，可加性：(3)若(5)(估值定理)(6)连续，则在积分区间上至少存在一点使(7)定积分中值公式如果函数f(x)在闭区间[a,b]上25-2微积分基本公式一、变上限的定积分即则称之为积分变上限函数.就一定有一个数与之对应.即得一个新函数若函数在上连续，则在上可积，dt3二、积分上限函数的性质：定理1：则积分上限函数是并且它的导数证当从变到时，的改变量为：如果f(x)在区间[a,b]上连续，dt在上具有导数，4由积分中值定理得,即5解解解例1求已知例2已知求例3求已知dt,6求解令则解例4已知例5设求令7解例6已知求8解分析：这是型不定式，求应用洛必达法则.例79例8设f(x)在[a,b]上连续，且则解对所给条件两边关于x求导得，令得88年考研题例9计算解95年考研题10证令设在上连续，且证明：在上只有一个解.例10所以，该函数在[0,1]上至多有一个根.由零点定理知，该方程在[0,1]内至少有一个根.11定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数如果在上连续，则积分上限函数dt就是上的一个原函数.在之间的联系.dxddt12实例：变速直线运动中位置函数与速度函数的联系:变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的一个连续函数，且求物体在这段时间内所经过的路程.其中：13三、牛顿—莱布尼茨公式定理3（微积分基本公式）一个原函数，则证即当时，则当时，故有：如果是连续函数在区间上的任意dtdtdxddt牛顿—莱布尼茨公式令则14微积分基本公式表明：注意：求定积分的问题转化为求原函数的问题.dx一个连续函数在区间[a,b]上的定积分，等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.当a>b时，dx仍成立.dxdx15求下列定积分(1)原式解(2)原式例116解例2求dx.原式ddxdx17解解求dx当x<0时，的一个原函数是dx面图形的面积.面积例3计算曲线在上与x轴所围成的平例418解例5

求dx.原式dxdxdx注意：所给函数与积分区间的关系.dx19解说明:例6设求dx.dxdx在上规定当x=1时，原式=dxdx在上分段连续，即有有限个第一类间断点时，牛顿莱布尼兹公式仍成立，但需可加性.若是第二类间断点，该公式不成立.如:dxdx显然错误.20解例7设求dt.dtdtdtdtdt21例8设求在[0,1]上的最大值和最小值.解当时，则在[0,1]上是单调递增，则最小值为最大值为22例9一汽车以每小时36公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度a=-5m/刹车.问从开始刹车到停车，汽车驶过多少距离？解当t=0时，汽车速度为km/hm/s.刹车后汽车减速行驶，其速度为汽车停住时，则得则汽车行驶的距离为即汽车刹车后，需驶过10米才能停住.