统计学教程：第10章 时间序列分析

《统计学教程》第10章时间序列分析2024年7月11日/*《统计学》第10章时间序列分析10.1描述性分析

10.1.1时间序列的种类

10.1.2发展水平和平均发展水平

10.1.3增长量与平均增长量

10.1.4发展速度和增长速度

10.1.5平均发展速度与平均增长速度10.2长期趋势分析

10.2.1长期趋势的因素分析

10.2.2移动平均法

10.2.3指数平滑

10.2.4模型拟合法10.3季节变动分析

10.3.1

长期趋势的剔除

10.3.2

季节指数的计算10.4循环变动分析第10章时间序列分析

10.1描述性分析《统计学教程》2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析10.1.1时间序列的种类时间序列（TimeSeries）是指按照时间先后依次排列的观测值所构成的数列，因而也称为时间数列，或动态数列。按照时间序列中依次排列的观测值的属性不同，可以将时间序列分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。其中绝对数时间序列又具体分为时期序列和时点序列两种。

时期序列是由时期绝对数数据所构成的时间序列，其中的每个数值反映现象在一段时间内发展过程的总量。时点序列是由时点绝对数数据所构成的时间序列，其中的每个数值反映现象在某一时点上所达到的水平。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析

时期序列与时点序列的区别。

其一，时期序列中的各个数数值可以相加，各个数数值的和表示了在所对应的时期之内事物及其现象的发展总量。而时点序列中各个数数值相加通常没有明确的意义；其二，时期序列中各项数值的大小与所包括的时期长短有直接关系，时点序列中各数数值与其时点间隔长短没有直接关系。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析10.1.2发展水平和平均发展水平1．发展水平发展水平（DevelopmentLevel）是指时间序列中数据的具体数值，用来反映事物及其现象的数量特征在各个时期或时点上所达到的规模和水平。在时间序列分析中，用t表示时间，可以是年、季、月、周、日，也可以是任何一个时间间隔。用表示Y发展水平，通常把时间序列中的第一个数数值叫最初水平，用Y0表示。最后一个数数值叫最末水平，用YN表示，其余各项发展水平均称为中间水平。在进行两项发展水平的比较时，一般把所研究的那个时间的发展水平叫报告期水平或计算期水平，用Y1

表示，把用来作为比较基础的发展水平叫基期水平，用Y0表示。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析2．平均发展水平平均发展水平（AverageDevelopmentLevel）使指时间序列中的发展水平的平均数，一般又称为序时平均数。按照时间序列是时期序列，还是时点序列，序列中各项数据的时期长度是否一致，有以下4种平均发展水平的计算公式。

（1）时期序列，各项时期数据的时期长度一致，其计算公式为

（10.1）在时点序列情况下，采用逐日登记方式采集数据时，称之为连续性的时点序列，一般也采用式（10.1）。（2）时期序列，各项时期数据的时期长度（用表示）不一致，其计算公式为

（10.2）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析（3）时点序列，各项时点数据的间隔时间长度一致，其计算公式为

（10.3）（4）时点序列，各项时点数据的间隔时间长度不一致，其计算公式为

（10.4）采用式（10.3）和式（10.4），由时点序列计算平均发展水平的基本思想是假定数据在相邻两个时点之间的变动是均匀的，呈直线发展的，时间间隔越大，这一假定性就越大，准确程度也就越差。为此，时点序列数据之间的时间间隔不宜过长。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析3．由相对数或平均数时间序列计算平均发展水平相对数和平均数时间序列，需先分别计算出分子、分母两个绝对数时间序列的序时平均数，然后再进行分子和分母的对比，进而求出相对数和平均数时间序列的平均发展水平。由相对数或平均数时间序列计算平均发展水平基本公式为

（10.5）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析

例10.1

某工厂第三季度各月计划完成情况如表10.1所示。表10.1某工厂第三季度各月计划完成情况要求试计算该工厂第三季度计划完成程度。（1）在各月的计划数和实际数数据都具备时，直接采用式（10.5）计算。（2）在拥有各月的计划数和计划完成情况数据，缺少母项数据时，则可根据式（10.5）间接地获得各月的实际数数据，再计算出该工厂第三季度计划完成程度。（3）在拥有各月的实际数和计划完成情况数据，缺少子项计划数数据时，仍然可以根据式（10.5）间接地获得各月的计划数数据，再计算出该工厂第三季度计划完成程度。2024年7月11日/*《统计学》

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10.1描述性分析例10.2

某商店第二季度商品流转次数及有关资料如表10.2所示。表10.2某商店第二季度商品流转情况要求试计算该商店第二季度月平均商品流转次数。

（1）计算子项——该商店第二季度月平均零售总额。采用式（10.1），有（2）计算母项——该商店第二季度月平均库存额。采用式（10.3）计算。有（3）比较子项和母项，该商店第二季度月平均商品流转次数为1.78次。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析10.1.3增长量与平均增长量1．增长量增长量（GrowthAmount）是时间序列中报告期水平与基期水平之差，用来说明事物及其现象的某一数量特征在一定时期内增减变动的水平。在计算增长量数时，由于采用的基期不同，增长量分为逐期增长量和累计增长量两种。累计增长量是报告期水平同某一固定时期水平（通常为最初水平）之差，说明报告期比某一固定时期增加或减少的总量数量。

（10.6）逐期增长量是时刻的报告期水平同前一时期时刻水平之差，说明报告期比前一期增加或减少的总量。

（10.7）

逐期增长量与累计增长量之间的关系为逐期增长量之和等于对应的累计增长量。2024年7月11日/*《统计学》

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10.1描述性分析2．平均增长量平均增长量（AverageGrowthAmount）是逐期增长量的算术平均数，用来事物及其现象的某一数量特征在一定时期内平均每期增加或减少的绝对数量。其计算公式为

（10.9）

由于逐期增长量之和等于累计增长量，所以上式又可写成：

（10.10）

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第10章时间序列分析

10.1描述性分析10.1.4发展速度和增长速度

1．发展速度。发展速度（DevelopmentRate）是时间序列中报告期水平与基期水平之比，说明某一数量特征在一定时期内的相对程度的高低变化。发展速度可分为定基发展速度和环比发展速度。定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平（通常为最初水平）之比，表明事物及其现象的数量特征在一个较长时期内总的变动情况。

（10.11）环比发展速度是时刻的报告期水平同前一期水平之比，反映事物及其现象的数量特征的逐期发展变动情况。

（10.12）环比发展速度的连乘积等于对应的定基发展速度。2024年7月11日/*《统计学》

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10.1描述性分析2．增长速度增长速度（GrowthRate）是增长量与基期水平之比，说明事物及其现象的某一数量特征在一定时期内增长的相对程度，也称为增长率。

由于增长量是报告期水平与基期水平之差，所以增长速度等于发展速度减去1，当发展速度大于1时，增长速度为正值，表明事物及其现象某一数量特征的增长程度；当发展速度小于1时，增长速度为负值，表明某一数量特征降低的程度。由于所采用的基期不同，增长速度也分为定基增长速度和环比增长速度。定基增长速度是累计增长量与固定基期水平之比，反映某一数量特征在一段较长时期内总的增长程度。环比增长速度是逐期增长量与前期水平之比，反映某一数量特征的逐期增长程度。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.1描述性分析

为了剔除季节变动影响，满足经济管理需要，在政府统计工作中经常使用年距增长量、年距发展速度和年距增长速度等，具有年距特征的统计指标。有

年距增长量＝本期发展水平

—

上年同期发展水平

年距发展速度（%）＝（本期发展水平/上年同期发展水平）×100％

年距增长速度（%）＝年距发展速度（%）—100%

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第10章时间序列分析

10.1描述性分析

10.1.5平均发展速度与平均增长速度平均发展速度是时间序列中的环比发展速度的动态平均数。平均增长速度是时间序列中的环比增长速度的动态平均数。平均增长速度不能通过环比增长速度直接计算，而必须在平均发展速度的基础上间接计算。平均发展速度与平均增长速度之间的关系是平均增长速度＝平均发展速度－1，即

（10.16）根据环比发展速度计算的平均发展速度，也是一种序时平均数，可以采用几何平均法或方程式法这两种方法来计算。

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第10章时间序列分析

10.1描述性分析1．水平法水平法又叫几何平均法。由于现象在一段时期内环比发展的总速度不等于各期环比发展速度之和，而是等于各期环比发展速度的连乘积，所以计算平均发展速度不能应用算术平均法，可以使用几何平均法。即（10.17）水平法的思想是从最初水平出发，每一期都按照平均发展速度匀速递增，到最末一期正好达到实际的最末水平。因此，水平法的着眼点是最初水平和最末水平，符合经济管理中许多情况下人们对平均发展速度的理解和要求。例如在研究社会生产能力和发展水平时，如计算一定时间内国内生产总值达到的水平时，就要使用水平法来计算这一段时间内国内生产总值的平均发展速度。但是水平法忽略了对于中间水平的考察，一般需要计算分段的水平法平均发展速度加以补充。2024年7月11日/*《统计学》

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10.1描述性分析2．累计法累计法又称为方程式法。这种方法的基本思想是从最初水平出发，每期按照平均发展速度固定发展，将各期推算的递增的水平加总，恰好等于各期实际水平的总和。即（10.18）

累计法不仅考虑了最初水平和最末水平，而且还考虑了中间水平的的数值水平。当我们分析以各期累计数值为目标的实际问题时，应采用累计法。运用累计法得到的平均发展速度，计算的最末水平一般不等于实际的最末水平数值。2024年7月11日/*《统计学》

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10.1描述性分析

例10.3

某钢铁企业近五年产品产量数据如表10.3所示。表10.3某钢铁企业近五年产品产量情况万吨

要求试计算该钢铁企业近五年产品产量的逐期增长量、累计增长量、环比发展速度、定基发展速度、平均增长量、以及运用水平法计算平均发展速度，和平均增长速度。2024年7月11日/*《统计学》

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10.1描述性分析

表10.4某钢铁企业近五年产品产量情况分析

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10.2长期趋势分析《统计学教程》2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2.1长期趋势的因素分析

1．时间序列变动的影响因素时间序列所反映的某一数量特征的发展变化是由多种复杂因素共同作用的结果，可将时间序列中的影响因素大致归纳为四类，即长期趋势（T）、季节变动（S）、循环变动（C）和不规则变动（I）。长期趋势（Trend）是指时间序列在一个相当长时期内，持续向上或向下发展变化的趋势，反映了长期发挥作用的基本因素引起的变动。季节变动（SeasonalFluctuation）是指时间序列以一年为周期的有规律的波动。循环变动（CyclicalFluctuation）是指时间序列中围绕长期趋势的一种高低往复、周而复始的规则性变动。不规则变动（IrregularVariations）即为剩余变动，是指时间序列中除了长期趋势（T）、季节变动（S）和循环变动（C）的变动之外的，受随机的、偶然的因素引起的一种非趋势性、非周期性的变动。10.2长期趋势分析

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第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析2．时间序列变动因素的测定模型当时间序列中的四类变动因素按照总和的方式组合起来，即将时间序列的总变动（Y）表现为各种因素变动的总和，这时有（10.19）称之为加法模型。在加法模型中，Y，T，S，C和I均为绝对数。当时间序列中的四类变动因素按照连乘的方式组合起来，即将时间序列的总变动（Y）表现为各种因素变动的积，这时有（10.20）称之为乘法模型。在乘法模型中，Y，T为绝对数，S，C和I为相对数，一般用百分数表示。由于相对数具有直接的可比性，乘法模型得到了广泛的使用。此外，还有将加法模型和乘法模型综合运用的混合模型等用于测定时间序列变动因素的其它模型形式。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

10.2.2移动平均法移动平均法（MovingAverageMethod）是指逐期移动计算时间序列的序时平均数的方法和过程，也称为移动平滑法。在趋势分析中，将移动平均数作为趋势值或预测值，移动平均数一般记为。

1．简单移动平均简单移动平均（SimpleMovingAverage）是指以t时刻之前K期发展水平的简单序时平均数作为第t+1时刻发展水平的预测值的方法和过程。在移动平均中称K为移动间隔，移动间隔为K的移动平均称为K项移动平均。事物发展运动的数量特征总是围绕着基本趋势上下波动，采用移动平均数值作为预测数值，就是试图通过移动平均消除原时间序列数据中的波动干扰，将事物及其现象某一数量特征的长期趋势呈现出来。移动平均数值所具有的滞后性、稳健性的平滑数值特征，恰好满足了一些时间序列长期趋势分析的要求。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

有第t+1时刻的移动平均预测值为（10.21）由式（10.21）可见，简单移动平均就是以逐期移动的方式，采用式（10.1）计算出各期的序时平均数作为预测值。由此，可得出简单移动平均预测值的递推公式，为（10.22）利用式（10.22）的简单移动平均递推公式，可以更加便利地计算出第时刻的移动平均预测值。

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10.2长期趋势分析

例10.4

某城市近15年以来人口自然增长率数据如表10.5所示。表10.5某城市近16年人口自然增长率情况‰

要求试在移动间隔为3、5、7时，对该市近16年以来人口自然增长率进行简单移动平均分析。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析2．加权移动平均加权移动平均（WeightedMovingAverage）是指以t时刻之前K期发展水平的加权算术平均值作为第t+1时刻发展水平的预测值的方法和过程。有

（10.23）式（10.21）中的权数一般是以t时刻的权数数值最大，然后逐项减小，以反映离预测时刻越近的数值对预测值影响力越大的客观要求，所以，加权移动平均是以逐期移动的方式，采用类似式（10.2）的加权方式计算出各期的序时平均数作为预测值。由于式（10.21）中的各项权数的数值各不相同，使得加权移动平均的递推公式不能导出一般形式的递推公式。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

10.2.3指数平滑指数平滑（ExponentialSmoothing）是指以作为时间序列中第t-j项数据的权数，计算出来作为第t+1时刻发展水平的预测值的方法和过程。有一次指数平滑的第t+1时刻的预测值的计算公式为（10.24）

由式（10.24）可以看出一次指数平滑的预测值为t+1时刻之前所有发展水平的加权算术平均值。权数的数值依其平滑因子的取值呈指数衰减，靠近时刻的权数数值最大，其它则逐项减小。并且权数的数值呈指数衰减的速度，决定于平滑因子的取值。平滑因子α的取值越大，越趋于1，（1-α）数值越小，权数的数值呈指数衰减的速度越快，靠近时刻的数据对一次指数平滑的预测值的影响越大，预测值表现得越为敏感。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

由式（10.24）可导出一次指数平滑的递推公式，由有一次指数平滑的递推公式为（10.25）利用递推公式，只要根据时刻的预测值，和时刻的实际发展水平数据，以及平滑因子就可以简单而快捷地计算出时刻的一次指数平滑预测值。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

例10.5

仍然采用例10.5的某城市近15年以来人口自然增长率实例，试在平滑因子分别为0.5、0.25、0.1时，进行一次指数平滑分析。

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

10.2.4模型拟合法使用移动平均数值作为预测值是将一个平均数值，人为地前移之后，作为t+1时刻的预测数值，存在着一个固有的，不可克服的滞后问题。所以，在许多场合需要采用模型拟合法对长期趋势进行预测和分析。对于长期趋势的模型拟合是采用数学方程的形式，来模拟客观存在的事物及其现象的某一数量特征的基本的、稳定的、长期的增长规律性，因此又统称为趋势模型，或增长模型。趋势模型与在第9章中介绍的回归模型的共同特点是均可采用回归的方法来估计模型的参数，但是趋势模型并不揭示事物及其现象之间的因果联系，只是反映事物及其现象的某一数量特征依时间推移所呈现出来的某种变动的规律性。因而趋势模型也被称为非因果关系的定量模型。

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析1．线性模型拟合当事物及其现象的某一数量特征依时间推移呈现出稳定的增长或上升的直线变动趋势时，可以采用线性模型来描述其变动规律性，进行相关的预测和分析。有线性方程为（10.26）式（10.26）就是线性趋势方程，或称直线趋势方程。由最小二乘法，可以得到求解线性方程的标准方程为

（10.28）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

例10.6某企业自1991年至2005年以来年产量数据如表10.8所示。

表10.8某企业近15年产品产量情况万吨要求试采用线性模型拟合方法，估计该企业自1991年至2005年的15年以来年产量的线性趋势方程，并预计该企业在2006年度的产量。解首先分析该企业近15年以来年产量的发展水平是否存在显著的线性趋势，然后采用式（10.28）来估计该企业近15年以来年产量的线性趋势方程，并对企业在2006年度的产量进行预测。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

（1）绘制散点图或折线图，对该企业近15年以来年产量的发展水平是否存在显著的线性趋势进行初步判断。根据表10.8数据绘制的折线图如图10.3所示，该折线图概略地描绘出该企业近15年以来年产量的发展水平存在着线性趋势。

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

（2）计算该企业近15年以来年产量的发展水平与时间的相关系数，对两者之间的线性相关关系进行定量分析。计算出年产量与时间的相关系数为0.9905，并对其进行显著性检验，有检验统计值为该检验统计量的自由度为n-2=13，在显著性水平为0.05下，检验统计值大于t分布临界值，拒绝的原假设，认为该企业近15年以来年产量的发展水平与时间之间存在显著的线性相关关系。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

（3）运用式（10.28）估计出该企业近15年以来年产量的线性趋势方程（4）预测该企业在2006年度的产量。由拟合的线性趋势方程，令t=16，预计该企业在2006年度的产量为1176.33万吨。（5）统计显著性检验

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析2．二次曲线模型拟合当事物及其现象的某一数量特征依时间推移呈现出抛物线的形态时，可以考虑拟合二次曲线方程来描述其变动规律性，进行相关的预测和分析。有二次曲线方程为（10.29）由最小二乘法，可以得到求解待估参数的标准方程为（10.30）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

例10.7若例10.7中某企业自1991年至2005年以来15年中产品产量的数据，依时间推移呈现出二次曲线的特征。要求试采用二次曲线模型拟合方法，估计该企业自1991年至2005年的15年以来年产量的二次曲线趋势方程，并预计该企业在2006年度的产品产量。表10.12方差分析表表10.13参数估计表

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

3．指数曲线模型拟合指数曲线模型（ExponentialCurveModel）是指呈几何级数变动特征的数学模型。有指数曲线方程为（10.31）在指数曲线模型里，待估参数

的经济意义类似于最初水平；而待估参数相当于平均发展速度，表示某一数量特征依时间推移按照的数值水平呈几何级数变动。对式（10.31）等号的左右端同时取自然对数，即将指数曲线方程“线性化”，得到对数线性方程，并由最小二乘法，可以得到求解和的标准方程为（10.33）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析例10.8某企业自1990年至2005年产品年销售总额数据如表10.8所示。表10.14某企业1990年至2005年销售总额情况万元

表10.16方差分析表表10.17参数估计表2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

4．修正指数曲线模型拟合修正指数曲线模型（ModifiedExponentialCurveModel）是在指数曲线模型基础上增加了一个常数项，将指数曲线沿y轴平移了K个单位的趋势模型。当事物及其现象的某一数量特征在初期快速增长，随后增长逐渐减缓，增长速度依时间推移呈现出几何级数下降的变动趋势时，可以采用修正指数曲线模型来描述其变动规律性，进行相关的预测和分析。有修正指数曲线方程为（10.34）

一般来说，修正指数曲线模型适宜在和的条件下使用。由于修正指数曲线模型中增加了一个常数项的待估参数，不能够通过简单的变化来实现对模型的线性化处理，一般采用三和法求解修正指数曲线方程中的待估参数。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

三和法将时间序列中的发展水平等分为3个部分，每个部分的项数为m项，构成了3项等式在此基础上来解出3个待估参数。由几何级数的前n项和公式，有可以解得修正指数曲线方程中3个待估参数的公式为

（10.38）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

例10.9某公司自1988年至2005年主产品A年销售总额数据如表10.18所示。表10.18某公司1988年至2005年A产品年销售总额情况万元要求试采用修正指数曲线模型拟合方法，估计该公司自1988年至2005年A产品年销售总额的修正指数曲线趋势方程，并预计该企业在2006年度的销售总额。

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析5．逻辑曲线模型拟合逻辑曲线模型（LogisticCurveModel）是由比利时数学家Verhulst提出的一类趋势模型，最初主要用于模拟人口数量的增长，通常根据其图形的基本特征称之为“S”曲线。逻辑曲线方程的一般形式为

（10.39）经常采用的是逻辑曲线方程的简化形式，即

（10.40）式（10.40）也称为狭义的逻辑曲线方程。

可以采用采用三和法求解逻辑曲线方程。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

首先将式（10.40）写为（10.41）然后，将样本分为3个部分并分别求和，令

有

（10.43）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

例10.10某医药企业1988年试制生产的B药品，自1988年至2005年的年销售总量数据如表10.20所示。表10.20某医药企业B药品年销售总量情况kg

要求试采用逻辑曲线模型拟合方法，估计该医药企业B药品销售总量自1988年至2005年的逻辑曲线趋势方程，并预计该企业在2006年度的销售总量。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析6．龚铂茨曲线模型拟合龚铂茨曲线模型（GompertzCurveModel）由英国统计学家B.Gompertz于1825年提出，并因此而得名。龚铂茨曲线方程的一般形式为

（10.44）与逻辑曲线方程相似，龚铂茨曲线方程也有两条渐近线，和一个拐点。同样，可以采用三和法求解龚铂茨曲线的待估参数。首先，对式（10.44）等式两端取对数，有

（10.45）

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

设时间序列3个部分的发展水平之和分别为则求解龚铂茨曲线方程中3个待估参数的公式为

（10.46）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.2长期趋势分析

在进行长期趋势分析时，对于同一时间系列数据的不同长期趋势模型的优劣比较，可以采用长期趋势方程的拟合值与原时间序列观测值的离差平方和，即误差平方和作为评价测度。一般有，误差平方和较小的趋势模型拟合的效果较好。第10章时间序列分析

10.3季节变动分析《统计学教程》2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.3季节变动分析10.3.1

长期趋势的剔除季节变动分析一般采用乘法模型。由式（10.20）可知，在时间序列的乘法模型中剔除长期趋势，可以用长期趋势数值去除时间序列样本的原有数据，有（10.46）当时间序列中含有显著的长期趋势，而又没有剔除长期趋势变动影响时，长期趋势就会参杂在季节变动之中，使计算出来的反映季节因素变动的季节指数中含有显著的系统性偏误。所以在实施季节分析之前，必须对时间序列进行分析，当时间序列存在显著的长期趋势时，就必须首先对该时间序列进行长期趋势的剔除，为正确地计算季节指数奠定基础。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.3季节变动分析

例10.11某市近3年各个季节的冬季服装销售总量数据如表10.21所示。由表10.21中该市各年的冬季服装销售量合计数据，每年销售量上升的势头明显，可以看出该市冬季服装销售量时间序列存在着逐年递增的长期趋势。表10.21某市近3年各季冬季服装销售量千件

要求

采用线性趋势模型来反映该市近3年冬季服装销售量的长期趋势，并利用线性趋势方程估计数值来剔除原时间序列中的长期趋势。2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.3季节变动分析

解首先，根据拟合线性趋势方程的式（10.28），计算出该市近3年冬季服装销售量的线性趋势方程。然后，用估计的线性趋势方程计算出来的拟合数值，去除原时间序列中对应的数值。

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.3季节变动分析10.3.2

季节指数的计算在剔除了长期趋势之后的时间序列中，除了季节变动（S），还包括循环变动（C）、和不规则变动（I）。一般采用平均的方法，通过计算每年各月（季）的平均数，使每年各季（月）中的循环变动（C）、和不规则变动（I）的变动相互抵消，让季节变动（S）呈现出来。然后，将每年各月（季）的平均数与总的月（季）平均数的比值，作为度量季节变动的测度，称为季节指数。季节指数（SeasonalIndex,S.I.）是指剔除了长期趋势之后的时间序列的月（季）的平均数与总的月（季）平均数的比值，一般用百分数表示。

2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.3季节变动分析计算季节指数的具体步骤如下：（1）分别将每年各月（季）的数值加总，计算各年月（季）的总数。（2）根据各年同月(季)的总数，计算各年月（季）的平均数。（3）将各个月（季）的平均数加总，计算各年总的月（季）平均数。（4）将若干年内同月（季）的平均数与总的月（季）平均数相比，即求得用百分数表示的各月（季）的季节比率，又称季节指数（S.I.）。

（10.47）当按月计算的季节指数之和不为1200%；按季计算的季节指数之和不为400%时，需要计算出校正系数，有（10.48）2024年7月11日/*《统计学》

第10章时间序列分析

10.3季节变动分析

例10.11