高中数学选择性必修一课件：2 2 2 直线的两点式方程(人教版)

2.2.2直线的两点式方程第二章

§2.2直线的方程1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.学习目标斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？导语随堂演练课时对点练一、直线的两点式方程二、直线的截距式方程内容索引一、直线的两点式方程问题1

我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程_________

，我们把它叫做直线的两点式方程，简称

.注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示.(2)两点式方程与这两个点的顺序无关.(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等.两点式知识梳理例1

已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：(1)求BC边所在的直线方程；解BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.(2)求BC边上的中线所在直线的方程.解设BC的中点为M(a，b)，又BC边的中线过点A(－3,2)，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.(2)求BC边上的中线所在直线的方程.解设BC的中点为M(a，b)，又BC边的中线过点A(－3,2)，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.延伸探究若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程.即10x－4y－37＝0.反思感悟利用两点式求直线的方程首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.跟踪训练1

(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为_____________.解析因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，4x＋5y＋3＝0化简得4x＋5y＋3＝0.解由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；(2)当直线斜率存在，即m≠1时，(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程.即x－(m－1)y－1＝0.综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.二、直线的截距式方程二、直线的截距式方程问题2

若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？我们把方程

叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线

，此时直线在y轴上的截距是

.在x轴上的截距b知识梳理注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.(4)过原点的直线的横、纵截距都为零.例2

求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.解得a＝－1.即x－y＋1＝0.(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，即4x－3y＝0.综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.延伸探究1.若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？解(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)，所以直线l的方程为4x－3y＝0.综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.2.若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？所以直线l的方程为x＋y－7＝0.(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.反思感悟截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式方程的逆向应用.两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0. ①②所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.1.知识清单：(1)直线的两点式方程.(2)直线的截距式方程.2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.课堂小结随堂演练1.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是√12342.过(1,2)，(5,3)的直线方程是√1234解析∵所求直线过点(1,2)，(5,3)，3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为___________________________.12342x－y＝0或x－y＋1＝0解析当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为______________.2x－y＋1＝01234解析AB的中点坐标为(1,3)，即2x－y＋1＝0.课时对点练1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2√基础巩固12345678910111213141516整理得y＝x＋3.2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是A.1 B.－1C.－2或－1 D.－2或1√12345678910111213141516∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，A.a>0，b>0 B.a>0，b<0C.a<0，b>0 D.a<0，b<0√解析因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.123456789101112131415164.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为A.2 B.－3C.－27 D.27√12345678910111213141516即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0√解析由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，12345678910111213141516即2x＋y－8＝0.12345678910111213141516√解析依题意知，a＝2，P(0,5).设A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)，所以A(4,8)，B(－4,2)，123456789101112131415167.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.3x＋y－6＝0解析由题意知直线过点(2,0)，12345678910111213141516整理得3x＋y－6＝0.8.若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____.－2即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.12345678910111213141516解得a＝2或a＝1，9.求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.1234567891011121314151610.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).(1)求边AC和AB所在直线的方程；12345678910111213141516解由截距式，得边AC所在直线的方程为即x＋y－4＝0.(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.12345678910111213141516解由题意，得点D的坐标为(－4,2)，即2x－y＋10＝0.11.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为A.x＋y＝5 B.x－y＝5C.x－4y＝0 D.x＋4y＝0√12345678910111213141516综合运用√即x－4y＝0；把(4,1)代入，解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5.综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0.12.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0√解析由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，12345678910111213141516于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足.12345678910111213141516√14.已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为_______________________.解析若l在坐标轴上的截距均为0，123456789101112131415163x－2y＝0或x＋2y－8＝0即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，所以l的方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____.3拓广探究1234567891011121314151616.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程.12345678910111213141516解∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，12345678910111213141516∴a＝±6，∴直线l的方程为x＋y±6＝0.若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，∴a＝±6，∴直线的方程为x－y±6＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.12345678910111213141516备用工具&资料解∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l在两坐标轴上