高中数学选择性必修一课件：第一课时 用空间向量研究距离问题(人教A版)

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第一课时用空间向量研究距离问题课标要求素养要求1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.通过学习空间中距离的概念，点、线、面距离的相互转化与计算，培养学生的数学抽象、直观想象素养和数学运算素养.新知探究哥特式建筑是一种兴盛于中世纪高峰与末期的建筑风格.它由罗曼式建筑发展而来，为文艺复兴建筑所继承.发源于十二世纪的法国，持续至十六世纪.哥特式建筑的特色包括尖形拱门、肋状拱顶与飞拱.问题在上述图片中，如何利用空间向量计算塔尖到房顶的斜面的距离呢？提示建立空间直角坐标系，求出房顶斜面的法向量，利用投影向量求解.1.直线外一点P到直线l的距离两平行直线之间的距离可以转化为点到直线的距离2.平面外一点P到平面α的距离两平行平面间的距离可以转化为点到平面的距离3.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.拓展深化[微判断]1.直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的距离.()

提示直线外一点到直线的距离就是过该点作已知直线的垂线段的长度，所以错误.2.直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离.()3.两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面的距离都相等.(

)×√√[微训练]1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为(

)答案D2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(

)答案A2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(

)答案A题型一点到直线的距离【例1】如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.解∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，【训练1】如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.解如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，【训练1】如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.解如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，题型二点到平面的距离【例2】在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离.设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2，0，1).∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.规律方法利用向量法求点到平面的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求出该平面的一个法向量.(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.【训练2】已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面A1BC1的距离.解如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，规律方法(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.【训练3】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1).∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离，一、素养落地1.通过学习利用向量方法计算空间的距离，提升学生的数学运算素养；在学习点到直线的距离、点到平面的距离、两平行线间的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离相互转化的过程中，提升学生的数学抽象、直观想象素养.2.两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得.点面距可利用向量在平面的法向量上的投影向量求得，线面距、面面距可转化为点面距计算.二、素养训练答案D2.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.则直线AC到平面PEF的距离为(

)则P(0，0，1)，A(1，0，0)，设平面PEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，答案B4.设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________.备用工具&资料4.设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________.设平面PEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，答案B3.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.[微训练]1.已知平面α