高中数学选择性必修一课件：3 1 2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用(人教A版)

第2课时椭圆的标准方程及性质的应用第三章

3.1.2椭圆的简单几何性质1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置

关系.学习目标传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人.囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁.后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，导语就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”.这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音.随堂演练课时对点练一、实际生活中的椭圆问题二、直线与椭圆的位置关系三、中点弦问题内容索引一、实际生活中的椭圆问题例1

(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是√√解析由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；反思感悟解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.(3)用解得的结果说明原来的实际问题.跟踪训练1

某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为

如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是____米.解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米.32跟踪训练1

某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为

如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是____米.解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米.32二、直线与椭圆的位置关系问题1

类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？提示联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数.位置关系解的个数Δ的取值相交

解Δ

0相切

解Δ

0相离

解Δ

0两>知识梳理一＝无<注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况.(1)有两个不同的公共点；将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，

③关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，

③关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.跟踪训练2

已知椭圆

直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.不确定√解析由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交.三、中点弦问题问题2

已知椭圆的方程为

(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中点为(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？知识梳理x＋2y－4＝0解析方法一易知直线AB的斜率k存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，又M为AB的中点，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.经检验，所求直线满足题意.方法二设点A(x1，y1)，B(x2，y2).∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.经检验，所求直线满足题意.方法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于AB的中点为M(2,1)，则另一个交点为B(4－x，2－y).∵A，B两点都在椭圆上，①②①－②，化简得x＋2y－4＝0.显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.反思感悟涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.1.知识清单：(1)实际生活中的椭圆问题.(2)直线与椭圆的位置关系.(3)中点弦的求法.2.方法归纳：分类讨论法、点差法.3.常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况.课堂小结随堂演练1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆

＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.相交或相切√1234∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离.2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是√1234消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，3.若直线y＝x＋2与椭圆

有两个公共点，则m的取值范围是________________.1234(1,3)∪(3，＋∞)∴m>0且m≠3.得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞).4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看1234成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为___cm.20解析因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，1234解得a小＝10.所以小椭圆的长轴长为20cm.课时对点练A.相交 B.相切C.相离

D.无法判断√基础巩固12345678910111213141516即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.12345678910111213141516消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交.A.－2 B.－1C.1 D.2√12345678910111213141516解析∵x＋4y＋m＝0，12345678910111213141516设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB中点的横坐标为1，3.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是√解析设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，12345678910111213141516√12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析显然当x＝1时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；12345678910111213141516由直线与椭圆相切，得Δ＝0，A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0√12345678910111213141516即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.7.已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋

y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______.123456789101112131415169x＋y－5＝012345678910111213141516解析设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点A，B在椭圆上，12345678910111213141516所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，12345678910111213141516整理得9x＋y－5＝0.9.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.12345678910111213141516解设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，12345678910111213141516消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.1234567891011121314151610.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M的轨迹方程；12345678910111213141516解设M(x，y).因为kAM·kBM＝－2，化简得2x2＋y2＝2(x≠±1).即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1).12345678910111213141516解设C(x1，y1)，D(x2，y2).1234567891011121314151612345678910111213141516即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.√12345678910111213141516综合运用消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，1234567891011121314151612.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，√12345678910111213141516底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为解析椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，1234567891011121314151612345678910111213141516√消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF.12345678910111213141516在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.所以|EF|＝|F′E|＝2，12345678910111213141516即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，1234567891011121314151615.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的的离心率的取值范围是√拓广探究12345678910111213141516解析当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值.如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大，a＋c＝|BF|＝|BG|＝2，1234567891011121314151616.如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆

组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).(1)求“挞圆”的方程；12345678910111213141516解由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25，b＝15.(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值.12345678910111213141516解设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点，12345678910111213141516所以网箱所占水面面积的最大值为510m2.备用工具&资料(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值.1234567891011