高中数学选择性必修一课件：§1 2 第1课时 空间向量基本定理(人教A版)

第1课时空间向量基本定理第一章

§1.2空间向量基本定理1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交分解.学习目标回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？导语随堂演练课时对点练一、空间向量基本定理二、空间向量的正交分解三、用基底表示空间向量内容索引一、空间向量基本定理问题1

如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝

，p

能否用i，j，k表示呢？问题2

你能证明唯一性吗？提示假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.1.空间向量的基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在

的有序实数组(x，y，z)，使得

.2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个

，a，b，c都叫做基向量.唯一p＝xa＋yb＋zc知识梳理基底1.空间向量的基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在

的有序实数组(x，y，z)，使得

.2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个

，a，b，c都叫做基向量.唯一p＝xa＋yb＋zc知识梳理基底注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，反思感悟基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.跟踪训练1

(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有A.{a，b，x} B.{x，y，z}C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}√√√可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.跟踪训练1

(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有A.{a，b，x} B.{x，y，z}C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}√√√可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.二、空间向量的正交分解1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量

，且长度都为

，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.2.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使

.像这样，把一个空间向量分解为三个

的向量，叫做把空间向量正交分解.两两垂直1知识梳理a＝xi＋yj＋zk两两垂直三、用基底表示空间向量反思感悟用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.解如图，连接AC，EF，D1F，BD1，1.知识清单：(1)空间的基底.(2)空间向量基本定理.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件.(2)运算错误，利用基底表示向量时计算要细心.课堂小结随堂演练1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√1234解析当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇏q，q⇒p.√12343.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，√12341234√1234课时对点练1.(多选)若{a，b，c}是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是A.a,2b,3c B.a＋b，b＋c，c＋aC.a＋b＋c，b＋c，c D.a＋2b,2b＋3c,3a－9c√解析因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D，a＋2b,2b＋3c,3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底.基础巩固12345678910111213141516√√2.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是A.若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}

也可以作为空间的一个基底B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.已知A，B，M，N是空间中的四点，

不能构成空间的一

个基底，则A，B，M，N四点共面D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，

b，c}构成空间的一个基底√12345678910111213141516√√解析A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝

∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真命题；B中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然B是真命题；12345678910111213141516D中，因为a，b，c共面，所以{a，b，c}不能构成基底，故D错误.√123456789101112131415164.已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则A.a，p，q是空间的一组基底B.b，p，q是空间的一组基底C.c，p，q是空间的一组基底D.p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底√解析假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得c＝(k1＋k2)a＋(k1－k2)b，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析取PC的中点E，连接NE，123456789101112131415169.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516综合运用12.若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝____.解析由已知得，d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.又d＝e1＋2e2＋3e3，123456789101112131415163故有α＋β＋γ＝3.1234567891011121314151614.如图所示，在正方体OABC－O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，

＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝____.解析易知△ACO1为正三角形，连接OB，设AC，BO相交于点M，连接O1M，如图所示，123456789101112131415161可得x＋y＋z＝1.√拓广探究12345678910111213141516解析如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，1234567891011121314151612345678910111213141516解连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).12345678910111213141516∵点D，E，F，M共面，12345678910111213141516备用工具&资料解连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).12345678910111213141516∵点D，