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文档简介
第1课时空间向量基本定理第一章
§1.2空间向量基本定理1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交分解.学习目标回顾平面向量基本定理,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.类似地,任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c表示呢?导语随堂演练课时对点练一、空间向量基本定理二、空间向量的正交分解三、用基底表示空间向量内容索引一、空间向量基本定理问题1
如图,设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点O,对于任意一个空间向量p=
,p
能否用i,j,k表示呢?问题2
你能证明唯一性吗?提示假设除(x,y,z)外,还存在有序实数组(x′,y′,z′),使得p=x′i+y′j+z′k,则x′i+y′j+z′k=xi+yj+zk.不妨设x′≠x,则(x′-x)i=(y-y′)j+(z-z′)k.由平面向量基本定理可知,i,j,k共面,这与已知矛盾.所以有序实数组(x,y,z)是唯一的.1.空间向量的基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在
的有序实数组(x,y,z),使得
.2.基底:我们把{a,b,c}叫做空间的一个
,a,b,c都叫做基向量.唯一p=xa+yb+zc知识梳理基底1.空间向量的基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在
的有序实数组(x,y,z),使得
.2.基底:我们把{a,b,c}叫做空间的一个
,a,b,c都叫做基向量.唯一p=xa+yb+zc知识梳理基底注意点:(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.(2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3,∵e1,e2,e3不共面,反思感悟基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以作为一个基底.(2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.跟踪训练1
(多选)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量组中,可以作为空间一个基底的向量组有A.{a,b,x} B.{x,y,z}C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c}√√√可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面.跟踪训练1
(多选)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量组中,可以作为空间一个基底的向量组有A.{a,b,x} B.{x,y,z}C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c}√√√可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面.二、空间向量的正交分解1.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量
,且长度都为
,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.2.正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使
.像这样,把一个空间向量分解为三个
的向量,叫做把空间向量正交分解.两两垂直1知识梳理a=xi+yj+zk两两垂直三、用基底表示空间向量反思感悟用基底表示向量时:(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律;(2)若没给定基底,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.解如图,连接AC,EF,D1F,BD1,1.知识清单:(1)空间的基底.(2)空间向量基本定理.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:(1)基向量理解错误,没有注意到基向量的条件.(2)运算错误,利用基底表示向量时计算要细心.课堂小结随堂演练1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√1234解析当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底,当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此p⇏q,q⇒p.√12343.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,√12341234√1234课时对点练1.(多选)若{a,b,c}是空间一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的是A.a,2b,3c B.a+b,b+c,c+aC.a+b+c,b+c,c D.a+2b,2b+3c,3a-9c√解析因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面,对于A,B,C选项,每组都是不共面的向量,能构成空间的一个基底;对于D,a+2b,2b+3c,3a-9c满足3a-9c=3[(a+2b)-(2b+3c)],所以这三个向量是共面向量,故不能构成空间的一个基底.基础巩固12345678910111213141516√√2.(多选)给出下列命题,其中是真命题的是A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}
也可以作为空间的一个基底B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.已知A,B,M,N是空间中的四点,
不能构成空间的一
个基底,则A,B,M,N四点共面D.若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,
b,c}构成空间的一个基底√12345678910111213141516√√解析A中,假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使得d=λa+μb,∵d与c共线,c≠0,∴存在实数k,使得d=kc,∵d≠0,∴k≠0,从而c=
∴c与a,b共面,与已知条件矛盾,∴d与a,b不共面,即A是真命题;B中,根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,显然B是真命题;12345678910111213141516D中,因为a,b,c共面,所以{a,b,c}不能构成基底,故D错误.√123456789101112131415164.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若p=a+b,q=a-b,则A.a,p,q是空间的一组基底B.b,p,q是空间的一组基底C.c,p,q是空间的一组基底D.p,q与a,b,c中的任何一个都不能构成空间的一组基底√解析假设c=k1p+k2q,即c=k1(a+b)+k2(a-b),得c=(k1+k2)a+(k1-k2)b,这与{a,b,c}是空间的一个基底矛盾,故c,p,q是空间的一组基底,故选C.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析取PC的中点E,连接NE,123456789101112131415169.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,F为BC1与B1C的交点.1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516综合运用12.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=____.解析由已知得,d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3.又d=e1+2e2+3e3,123456789101112131415163故有α+β+γ=3.1234567891011121314151614.如图所示,在正方体OABC-O1A1B1C1中,点G为△ACO1的重心,
=xa+yb+zc,则x+y+z=____.解析易知△ACO1为正三角形,连接OB,设AC,BO相交于点M,连接O1M,如图所示,123456789101112131415161可得x+y+z=1.√拓广探究12345678910111213141516解析如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,1234567891011121314151612345678910111213141516解连接AG并延长交BC于点H,连接DM(图略).12345678910111213141516∵点D,E,F,M共面,12345678910111213141516备用工具&资料解连接AG并延长交BC于点H,连接DM(图略).12345678910111213141516∵点D,
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