高中数学选择性必修一课件：§1 2 第1课时 空间向量基本定理(人教A版)

第一章

§1.2空间向量基本定理第1课时空间向量基本定理1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理对向量进行分解

.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c

，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝

.我们把{a，b，c}叫做空间的一个

，a，b，c都叫做基向量.不共面xa＋yb＋zc基底思考零向量能否作为基向量？答案不能.零向量与任意两个向量a，b都共面.知识点二空间向量的正交分解1.单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量

，且长度都是

，那么这个基底叫做单位正交基底

，常用{i，j，k}表示.2.向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.两两垂直1思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.(

)2.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.(

)3.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线.(

)4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(

)×√√×2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO一、空间的基底∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，反思感悟基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.跟踪训练1

(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有A.1个 B.2个

C.3个 D.0个√解析因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面.如图，可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝_____.0解析

因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).所以x＋y＝0.(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝_____.0解析

因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c).所以x＋y＝0.二、空间向量基本定理解连接A′N(图略).延伸探究解因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，反思感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.解连接BO，3随堂演练PARTTHREE1.下列结论错误的是A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量

共线C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}

构成空间的一个基底√解析由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误.123452.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2aC.a，2b，b－c D.c，a＋c，a－c√12345解析对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面.故选C.3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是√12345解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间的一个基底.√1234512345123451.知识清单：(1)空间的基底.(2)空间向量基本定理.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件.(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件√基础巩固12345678910111213141516解析当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇏q，q⇒p.√12345678910111213141516√123456789101112131415164.已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则A.a，p，q是空间的一组基底B.b，p，q是空间的一组基底C.c，p，q是空间的一组基底D.p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底√解析假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√综合运用12345678910111213141516解析取PC的中点E，连接NE，1234567891011121314151612345678910111213141516解析如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，123456789101112131415163a＋3b－5c1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516拓广探究解析如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，1234567891011121314151612345678910111213141516备用工具&资料解析如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，1234567891011121314151612345678910111213141516知识点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c

，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝

.我们把{a，b，c}叫做空间的一个

，a，b，c都叫做基向量.不共面xa＋yb＋zc基底内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.(

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