【专题07相交线、平行线与平移】-2024年新八年级数学暑假提升讲义复习资料（沪科版）

专题07相交线、平行线与平移知识点1：相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．知识点2：对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．知识点3：垂线与垂线段1.垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．2．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．3．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．知识点4：同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．知识点5：平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．知识点6：平行公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．注意：平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．注意：平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．知识点7：平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．知识点8：平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．知识点9（补充）：平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点10：平移1、平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．注意：（1）平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．（2）确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．2．平移的性质（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离（2）平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．3．作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．4．利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．题型归纳【题型1相交线】满分技法用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可.1．（2023春•无为市期中）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线、、两两相交，下列图形符合题意的是A． B． C． D．2．（2023春•埇桥区校级期中）同一平面内有四条直线，最多有个交点，最少有个交点，那么A．1 B．6 C．8 D．43．（2023春•萧县校级月考）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是个．A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个【题型2对顶角、邻补角】满分技法寻找对顶角时，要看两角是否满足三个条件:①是由两条相交直线形成，②是有公共顶点，③是两个角的两边分别互为反向延长线。若三个条件均满足，则这两个角是对顶角，否则不是对顶角.4．（2024春•砀山县月考）下列各图中，和是对顶角的是A． B． C． D．5．（2024春•淮南月考）若与是对顶角，与互补，且的余角为，那么的度数为．6．（2023秋•太湖县期末）如图，直线，相交于点，平分，平分，．（1）求的度数；（2）求的度数．7．（2024春•太和县月考）如图，直线，相交于点，平分，．（1）求证：是的平分线；（2）若，求的度数．【题型3垂线】满分技法垂线的基本事实：在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线基本事实中的“一点”可以在直线上，也可以在直线外;性质中的“一点”必须在直线外.“有且只有”中,“有”表示存在性,“只有”表示唯一性.线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线段、射线所在直线与该直线互相垂直.8．（2024春•淮南月考）如图，直线，交于点，射线且平分，若，则A． B． C． D．9．（2024春•庐江县期中）过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是A． B． C． D．10．（2024春•芜湖期中）已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是，则这两个角的度数分别是．11．（2023秋•凤阳县期末）如图，直线，相交于点，平分．（1）若，则（用含的式子表示）（2）若，，则．【题型4垂线段最短】满分技法垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段(连接直线外一点与垂足形成的线段)最短垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度.要善于利用垂线段的性质解决类似有关路程线段最短的问题，注意其与“两点之间,线段最短”的区别.12．（2024春•芜湖期中）如图，在同一平面内，，，垂足为，则与重合的理由是A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知直线的垂线只有一条13．（2023春•宿州期中）如图，点是直线外一点，过点作于点，在直线上另取一点，使，点为直线上任意一点，连接．若，则线段的长不可能是A．5.5 B．4.5 C．3.5 D．2.514．（2023春•砀山县校级期末）如图，已知，，垂足分别是，，则下列线段大小关系不成立的是A． B． C． D．15．（2021春•淮南月考）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由．【题型5点到直线的距离】满分技法垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位.判断最短、最近问题的两依据：①两点之间,线段最短;②在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短.16．（2024春•太和县月考）下列图形中，线段的长能表示点到直线的距离的是A． B． C． D．17．（2023春•砀山县校级期中）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是①线段的长度是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③在，，三条线段中，最短；④线段的长度是点到直线的距离A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④18．（2024春•无为市期中）如图，，，则点到直线的距离是线段A．的长 B．的长 C．的长 D．的长19．（2023春•砀山县期中）如图所示，，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型6同位角、内错角、同旁内角】满分技法同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系.(2)同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，都没有公共顶点，但都有一条边在同一条直线上.20．（2024春•砀山县月考）如图所示，下列说法中，错误的是A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同位角21．（2024春•庐江县校级月考）如图所示，和是A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角22．（2023春•淮北期末）如图，下列结论中错误的是A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是内错角 D．与是同位角【题型7平行线】满分技法(1)平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线.(2)线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行.(3)判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定.23．（2023春•萧县校级月考）下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线 B．不相交的两条直线是平行线 C．不相交的两条射线是平行线 D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线24．（2022春•宣州区校级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交【题型8平行公理及推论】满分技法（1）平行线的基本事实：经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线（2）推论：如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行.即如果直线a//c,b//c,那么直线a//b.（3）在叙述基本事实时，一定要强调“直线外一点”,否则不存在平行线.“有且只有”中的“有表示存在性，“只有”表示唯一性.(4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内”.25．（2023春•芜湖期末）下列结论正确的是A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．不相交的两条直线必平行26．（2024春•砀山县月考）对于下列说法，正确的是A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．测量孙浩的跳远成绩，正确做法的依据是“两点之间，线段最短” D．不相交的两条直线叫做平行线27．（2023春•凤台县期中）下列说法错误的个数是①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型9平行线的判定】满分技法(1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”.(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行.28．（2024春•埇桥区校级期中）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件有A．①② B．②③ C．①④ D．③④29．（2024春•庐江县校级月考）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是A． B． C． D．30．（2024春•无为市月考）如图所示，于点，于点，，．求证：．31．（2024春•黄山期中）完成下面的解答．如图，，平分．．（1）与平行吗？请说明理由；（2）与的位置关系如何？为什么．解：（1）．理由如下：（已知），（邻补角的定义），，．（2），理由如下：平分（已知），，又（已知），即，，．【题型10平行线的性质】满分技法(1)平行线的性质存在的前提条件是两条平行线被第三条直线所截.(2)“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，内错角相等”提供了两种证明角相等的思路.32．（2024•安徽三模）如图，已知直线，点，在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的度数为A． B． C． D．33．（2024•临泉县校级三模）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则A． B． C． D．34．（2024•新城区校级二模）如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个35．（2024春•淮南月考）如图，，一块三角板的两个顶点分别落在、上，且，则的度数为A． B． C． D．36．（2024春•凤台县月考）如图，将长方形纸片沿翻折，点、的对应点分别是点、．若，则的大小是A． B． C． D．37．（2024春•庐江县校级月考）如图，，，．（1）求的度数；（2）在直线上取一点，使得，求的度数．【题型11平行线的判定与性质】满分技法在应用平行线的性质和判定解题时，关键是看清楚题目中的平行关系是作为条件还是作为结论:若已知平行线，则用平行线的性质;若要得到平行线，则用平行线的判定38．（2024春•庐江县期中）如图，下列判断中错误的是A．， B．， C．， D．，39．（2024春•淮南月考）填空并完成以下证明：如图，于点，于点，，，求证：．证明：，（已知），垂直定义，，（两直线平行，同位角相等），（已知），，，（已知），．40．（2022春•宣州区校级期中）如图，，平分，与相交于，．求证：．41．（2024春•太和县月考）如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据）42．（2024春•无为市月考）如图，已知，，，．（1）判断和的位置关系，并说明理由；（2）若平分，，求和的度数．【题型12生活中的平移现象】满分技法(1)图形平移是整个图形都在平移，而不是局部平移.(2)平移的方向可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定的方向平移，只要是沿直线移动即可.43．（2023春•淮南期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是A． B． C． D．44．（2024春•淮南月考）“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需元．45．（2024春•庐江县校级月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为平方米．【题型13平移的性质】满分技法一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小46．（2024春•庐江县期中）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法：①；②；③；④平移距离为线段的长．其中说法正确的有A．①② B．①③ C．①④ D．②④47．（2024春•庐江县期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为A． B． C． D．48．（2024春•田家庵区校级期中）如图，将沿方向平移得到，若，则的长为．49．（2024春•林州市月考）如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，，则第次平移后所得到的图案中正方形的个数是．【题型14作图-平移变换】满分技法确定一个图形平移后的位置的三个条件：(1)图形原来的位置;(2)平移的方向;(3)平移的距离.三个条件缺一不可,因为只有这样,平移后的图形才唯一确定.方法技巧：两法定平移法方法1:根据平移的定义，看它的形状、大小是否发生变化，位置是不是通过沿某一直线方向移动改变的.方法2:根据平移的性质，即看各组对应点所连的线段是否平行(或在同一条直线上)且相等.50．（2024春•无为市月考）三角形在网格（每个小方格的边长均为1个单位长度）中的位置如图所示，请根据下列提示完成作图：将三角形先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形，试画出三角形；51．（2024春•庐江县期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点处，，分别是，的对应点．（1）画出平移后的三角形（不写画法）；（2）若将点向右平移个单位长度到点，使得三角形的面积等于3，求的值．52．（2024春•无为市期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△，点，，的对应点分别为，，．（1）写出，的坐标；（2）在图中画出平移后的△；（3）求△的面积．【题型15利用平移设计图案】满分技法图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小。53．（2024春•淮南月考）2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在杭州举行，杭州会徽的标志如图所示，以下通过平移这个标志得到的图形是A． B． C． D．54．（2024春•凤台县月考）每年的5月8日是世界微笑日，在对别人的微笑中，你也会看到世界对自己微笑起来．下列图案是由图中所示的图案平移得到的是A． B． C． D．55．（2023春•歙县月考）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是A． B． C． D．过关检测一．选择题（共8小题）1．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，，，点，，在同一直线上，则的度数为A． B． C． D．2．（2022春•太和县期末）如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短3．（2024春•泗县期中）如图，下列条件中，不能判断直线的是A． B． C． D．4．（2022春•镜湖区校级期中）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是A． B． C． D．5．（2024春•无为市期中）如图，过四边形的顶点作交的延长线于点，连接、，下列说法正确的是A．和是同位角 B．若，则 C．线段是、两点间的距离 D．线段、、中，最短，理由是两点之间，线段最短6．（2022秋•大观区校级期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于A． B． C． D．7．（2022春•定远县校级期末）如图，在中，，直线，，分别经过的顶点，，，且，若，则的度数为A． B． C． D．8．（2024春•埇桥区期中）如图，三角形沿方向平移得到三角形，，，则平移的距离为A．2 B．3 C．5 D．7二．填空题（共7小题）9．（2023春•宣城期末）已知的两边与的两边分别垂直，且比的3倍少，则．10．（2023春•淮南期中）如图，同一平面内的三条直线交于点，，，则与的位置关系是．11．（2022春•田家庵区期末）如图，直线，被直线所截，，请写出能判定的一个条件：．12．（2024春•埇桥区校级期中）如图，的边的延长线交于点，且．若，，则．13．（2023春•淮北期末）如图，已知，，则．14．（2023春•肥东县校级期中）如图，是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到．如果，，，则图中线段为．15．（2023春•金安区校级期末）将沿射线方向平移到的位置（点在线段上），如图，若，，则平移的距离是．三．解答题（共2小题）16．（2022春•定远县期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．求证：（1）；（2）．17．（2023秋•太湖县期末）（1）【问题】如图①，为平角，、分别是和的平分线，求的度数，并写出的余角；（2）【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为（用含字母的代数式表示）；（3）【应用】如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分、，分别交射线于点，．求与的差．

专题07相交线、平行线与平移知识点1：相交线（1）相交线的定义两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．知识点2：对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．知识点3：垂线与垂线段1.垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．2．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．3．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．知识点4：同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．知识点5：平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．知识点6：平行公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．注意：平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．注意：平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．知识点7：平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．知识点8：平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．知识点9（补充）：平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点10：平移1、平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．注意：（1）平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．（2）确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．2．平移的性质（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离（2）平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．3．作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．4．利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．题型归纳【题型1相交线】满分技法用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可.1．（2023春•无为市期中）按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线、、两两相交，下列图形符合题意的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据题中语句，结合直线与直线、点与直线关系逐项验证即可得到答案．【解答】解：由点在直线上，也在直线上，可知直线与直线交于点；、不符合题意；由点不在直线上，可知不符合题意；再由直线、、两两相交，即可确定符合题意；故选：．【点评】本题考查直线与直线、点与直线的关系，熟记相关定义是解决问题的关键．2．（2023春•埇桥区校级期中）同一平面内有四条直线，最多有个交点，最少有个交点，那么A．1 B．6 C．8 D．4【答案】【分析】可根据题意，画出图形，找出交点最多和最少的个数，求．【解答】解：同一平面内有四条直线，它们最多有6个交点，最少有0个交点，，故选：．【点评】此题主要考查了相交线，解题的关键是能够正确画出图形．3．（2023春•萧县校级月考）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是个．A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个【答案】【分析】直线的位置关系不明确，应分情况讨论．【解答】解：当三条直线平行时，交点个数为0；当三条直线相交于1点时，交点个数为1；当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；当三条直线互相不平行时，交点个数为3；所以，它们的交点个数有4种情形．故选：．【点评】本题考查相交线问题，涉及直线相交的相关知识，难度中等．【题型2对顶角、邻补角】满分技法寻找对顶角时，要看两角是否满足三个条件:①是由两条相交直线形成，②是有公共顶点，③是两个角的两边分别互为反向延长线。若三个条件均满足，则这两个角是对顶角，否则不是对顶角.4．（2024春•砀山县月考）下列各图中，和是对顶角的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据对顶角的概念判断即可．【解答】解：．图中和是对顶角，符合题意；．图中和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；．图中和没有公共顶点，不是对顶角，故不符合题意；．图中和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；故选．【点评】本题考查的是对顶角的概念，掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线是解题的关键．5．（2024春•淮南月考）若与是对顶角，与互补，且的余角为，那么的度数为．【答案】．【分析】根据余角的定义可得，再根据补角的定义可得，然后利用对顶角相等可得，即可解答．【解答】解：的余角为，，与互补，，与是对顶角，，故答案为：．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，余和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．6．（2023秋•太湖县期末）如图，直线，相交于点，平分，平分，．（1）求的度数；（2）求的度数．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据邻补角的和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义解答；（2）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出，然后根据角的和差关系即可得解．【解答】解：（1），，，平分，；（2），平分，，．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．7．（2024春•太和县月考）如图，直线，相交于点，平分，．（1）求证：是的平分线；（2）若，求的度数．【答案】（1）证明见解析过程；（2）．【分析】（1）由，从而，由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得结论；（2）由并且互补，可得和的度数，再利用邻补角求得的度数，根据角平分线的定义可得，利用邻补角和角平分线求得和的度数．【解答】（1）证明：，，平分，，（等角的余角相等），是的平分线；（2）解：，，，，，平分，平分，，，，，．【点评】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和余角的性质，解题的关键是熟练掌握邻补角和余角的性质．【题型3垂线】满分技法垂线的基本事实：在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线基本事实中的“一点”可以在直线上，也可以在直线外;性质中的“一点”必须在直线外.“有且只有”中,“有”表示存在性,“只有”表示唯一性.线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线段、射线所在直线与该直线互相垂直.8．（2024春•淮南月考）如图，直线，交于点，射线且平分，若，则A． B． C． D．【答案】【分析】先由垂直的意义得出，再根据平角的定义及角的和差得出，再根据角平分线的意义得出，最后根据角的和差计算即可．【解答】解：，，，，，平分，，，故选：．【点评】本题考查了垂直的意义，平角的定义及角平分线的意义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2024春•庐江县期中）过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据垂线的定义，即可解答．【解答】解：过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是故选：．【点评】本题考查了垂线，熟练熟练掌握垂线的定义是解题的关键．10．（2024春•芜湖期中）已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，且这两个角的差是，则这两个角的度数分别是、．【分析】由两角的两边互相垂直可得出两角相等或互补，然后再根据这两个角的差是可知，该这个角互补，从而可求得这两个角的度数．【解答】解：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补．又这两个角的差是，这两个角互补．设一个角为，则另一个角为，根据题意可知：．解得：，．故答案为：、．【点评】本题主要考查的是垂线的定义，根据题意得到这两个角相等或互补是解题的关键．11．（2023秋•凤阳县期末）如图，直线，相交于点，平分．（1）若，则（用含的式子表示）（2）若，，则．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）根据邻补角的性质得，根据对顶角的性质得，根据角平分线的定义得，即可得出答案；（2）分两种情况讨论即可．【解答】解：（1），，，平分，，；故答案为：；（2）如图，，平分，，，，，如图，，平分，，，，，综上，或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及对顶角和邻补角的综合运用，弄清楚角之间的和差关系是解题关键．【题型4垂线段最短】满分技法垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段(连接直线外一点与垂足形成的线段)最短垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度.要善于利用垂线段的性质解决类似有关路程线段最短的问题，注意其与“两点之间,线段最短”的区别.12．（2024春•芜湖期中）如图，在同一平面内，，，垂足为，则与重合的理由是A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知直线的垂线只有一条【答案】【分析】直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．【解答】解：在同一平面内，，，垂足为，则与重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：．【点评】此题主要考查了垂线的性质，正确掌握垂线的性质是解题关键．13．（2023春•宿州期中）如图，点是直线外一点，过点作于点，在直线上另取一点，使，点为直线上任意一点，连接．若，则线段的长不可能是A．5.5 B．4.5 C．3.5 D．2.5【答案】【分析】直接利用垂线段最短以及结合已知得出的取值范围进而得出答案．【解答】解：，，，故不可能是2.5，故选：．【点评】此题主要考查了垂线段最短，正确得出的取值范围是解题关键．14．（2023春•砀山县校级期末）如图，已知，，垂足分别是，，则下列线段大小关系不成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】由垂线段最短，即可判断．【解答】解：垂线段最短，，，，，，故、、不符合题意；符合题意．故选：．【点评】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段最短．15．（2021春•淮南月考）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，，最短．故答案为：垂线段最短．【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．【题型5点到直线的距离】满分技法垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位.判断最短、最近问题的两依据：①两点之间,线段最短;②在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短.16．（2024春•太和县月考）下列图形中，线段的长能表示点到直线的距离的是A． B． C． D．【答案】【分析】线段的长能表示点到直线的距离，即，观察哪个选项符合．【解答】解：线段的长能表示点到直线的距离，即，故选：．【点评】本题考查了点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义．17．（2023春•砀山县校级期中）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是①线段的长度是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③在，，三条线段中，最短；④线段的长度是点到直线的距离A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【答案】【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解．【解答】解：于点，线段的长度是点到直线的距离，故①正确，④错误；，线段的长度是点到直线的距离，故②正确；根据垂线段最短，在，，三条线段中，最短，故③正确；故选．【点评】本题考查了垂线的性质，解题的关键是掌握垂线的性质．18．（2024春•无为市期中）如图，，，则点到直线的距离是线段A．的长 B．的长 C．的长 D．的长【答案】【分析】根据点到直线的距离的定义进行求解即可．【解答】解：，点到直线的距离是线段的长．故选：．【点评】本题考查的是点到直线的距离问题，熟知点到直线的距离的就是这个点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．19．（2023春•砀山县期中）如图所示，，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】【分析】根据垂线定义可判断①②；根据点到直线距离的定义可判断③；根据直角三角形的性质和余角的性质可判断④．【解答】解：①，，故①正确；②，与不互相垂直，故②错误；③线段的长度是点到的距离，故③正确；④，，，故④正确．故选：．【点评】本题考查了垂直的定义，余角的性质，点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．【题型6同位角、内错角、同旁内角】满分技法同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系.(2)同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，都没有公共顶点，但都有一条边在同一条直线上.20．（2024春•砀山县月考）如图所示，下列说法中，错误的是A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同位角【答案】【分析】依据内错角，同位角以及同旁内角的定义进行判断，即可得出结论．【解答】解：．与是同旁内角，不符合题意；．与是同位角，不符合题意；．与是内错角，不符合题意；．与不是同位角，符合题意；故选：．【点评】本题主要考查了内错角，同位角以及同旁内角的定义，解答本题的关键是掌握同位角，内错角，同旁内角的定义．21．（2024春•庐江县校级月考）如图所示，和是A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角【答案】【分析】根据同旁内角的定义和图形，可以判断和的关系，本题得以解决．【解答】解：由图可知，和是同旁内角，故选：．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，解答本题的关键是明确同位角、内错角、同旁内角的定义．22．（2023春•淮北期末）如图，下列结论中错误的是A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是内错角 D．与是同位角【答案】【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．【解答】解：、与是同旁内角，正确，不合题意；、与是内错角，正确，不合题意；、与不是内错角，故错误，符合题意；、与是同位角，正确，不合题意；故选：．【点评】此题主要考查了同旁内角以及内错角、同位角的定义，正确掌握相关定义是解题关键．【题型7平行线】满分技法(1)平行线概念中的“不相交”是指直线，而不是线段或射线.(2)线段(或射线)平行，是指线段(或射线)所在的直线平行.(3)判断同一平面内两条直线的位置关系时，可根据它们的公共点的个数来确定.23．（2023春•萧县校级月考）下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线 B．不相交的两条直线是平行线 C．不相交的两条射线是平行线 D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线【答案】【分析】根据平行线的定义，即可解答．【解答】解：根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．，，错误；正确；故选：．【点评】本题考查了平行线的定义，解决本题的关键是熟记平行线的定义．24．（2022春•宣州区校级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系是A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答，同一平面内两条直线的位置关系有两种：平行、相交．【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．故选：．【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．【题型8平行公理及推论】满分技法（1）平行线的基本事实：经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线（2）推论：如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行.即如果直线a//c,b//c,那么直线a//b.（3）在叙述基本事实时，一定要强调“直线外一点”,否则不存在平行线.“有且只有”中的“有表示存在性，“只有”表示唯一性.(4)平行线基本事实的推论表述了平行线的传递性，推论中不用强调“在同一平面内”.25．（2023春•芜湖期末）下列结论正确的是A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．不相交的两条直线必平行【分析】根据平行线公理可得到的正误；根据平行线的推论可得到的正误；根据平行线的性质定理可得到的正误；根据平行线的定义可得到的正误．【解答】解：、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；、平行于同一条直线的两直线平行，故此选项正确；、两条直线被第三条直线所截，只有被截线互相平行时，才同位角相等，故此选项错误；、同一平面内，不相交的两条直线必定平行，故此选项错误．故选：．【点评】此题主要考查了平行线的性质、定义、平行公理及推论，容易出错的是平行线的定义，必须在同一平面内，永远不相交的两条直线才是平行线．26．（2024春•砀山县月考）对于下列说法，正确的是A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．测量孙浩的跳远成绩，正确做法的依据是“两点之间，线段最短” D．不相交的两条直线叫做平行线【分析】根据平行公理判断；根据垂线的性质判断与；根据平行线的定义判断．【解答】解：、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项错误；、根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；、测量孙浩的跳远成绩，正确做法的依据是垂线段最短，故本选项错误；、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故本选项错误．故选：．【点评】本题考查了平行公理，垂线的性质，平行线的定义，是基础知识，需熟练掌握．27．（2023春•凤台县期中）下列说法错误的个数是①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案．【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；故选：．【点评】本题考查了平行公理，注意平行公理是在同一个平面内．【题型9平行线的判定】满分技法(1)三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”.(2)这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系.(3)判定两直线平行,还可用平行线的概念、平行线的基本事实的推论及拓展中补充的方法来进行.28．（2024春•埇桥区校级期中）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件有A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可【解答】解：①，；②，；③，，④，故选：．【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．（2024春•庐江县校级月考）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【解答】解：，，故符合题意；，，故不符合题意；，，故不符合题意；，，故不符合题意；故选：．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．30．（2024春•无为市月考）如图所示，于点，于点，，．求证：．【答案】见解析．【分析】由垂直的性质得到，进而可证，根据平行线的判定得到，再由，可证，然后根据平行线的判定即可得到．【解答】证明：，（已知），（垂直定义），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（已知），（内错角相等，两直线平行），（平行于同一直线的两直线互相平行）．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，关键是平行线性质定理的熟练应用．31．（2024春•黄山期中）完成下面的解答．如图，，平分．．（1）与平行吗？请说明理由；（2）与的位置关系如何？为什么．解：（1）．理由如下：（已知），（邻补角的定义），，．（2），理由如下：平分（已知），，又（已知），即，，．【答案】（1）；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；（2）角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行．【分析】（1）结合邻补角定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；（2）结合角平分线定义求出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解【解答】解：（1）．理由如下：（已知），（邻补角的定义），（同角的补角相等），（同位角相等，两直线平行），故答案为：；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；（2），理由如下：平分（已知），（角平分线定义），又．（已知），即，（等量代换），（内错角相等，两直线平行），故答案为：角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定，熟练运用平行线的判定定理是解题的关键．【题型10平行线的性质】满分技法(1)平行线的性质存在的前提条件是两条平行线被第三条直线所截.(2)“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，内错角相等”提供了两种证明角相等的思路.32．（2024•安徽三模）如图，已知直线，点，在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点，连接，．若，则的度数为A． B． C． D．【答案】【分析】根据尺规作图可知，利用等腰三角形性质得到，根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质即可得解．【解答】解：，，根据作图可知，，，，直线，，故选：．【点评】本题考查平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解决问题的关键．33．（2024•临泉县校级三模）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则A． B． C． D．【答案】【分析】根据平行线的性质以及即可求解．【解答】解：如图，由题意得：，，，，故选：．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．34．（2024•新城区校级二模）如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得与互余，然后证明即可．【解答】解：在中，，与互余．，．，，，，，，与互余．与互余的角有4个．故选：．【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．35．（2024春•淮南月考）如图，，一块三角板的两个顶点分别落在、上，且，则的度数为A． B． C． D．【答案】【分析】由两直线平行，内错角相等可得，再根据角的和差求解即可．【解答】解：由题意得，，，，，，故选：．【点评】本题考查了根据平行线的性质，关键是平行线性质的熟练应用．36．（2024春•凤台县月考）如图，将长方形纸片沿翻折，点、的对应点分别是点、．若，则的大小是A． B． C． D．【答案】【分析】根据平行线的性质可得，，则．【解答】解：长方形中，，，，，由轴对称的性质得：，，故选：．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．37．（2024春•庐江县校级月考）如图，，，．（1）求的度数；（2）在直线上取一点，使得，求的度数．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）根据平行线的性质即可求解；（2）分类讨论：当点在点的左侧，当点在点的右侧，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：（1），，，，．（2）分两种情况：当点在点的左侧，如图1，，，，，．当点在点的右侧，如图2，，，，，，，综上所述，的度数为或．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【题型11平行线的判定与性质】满分技法在应用平行线的性质和判定解题时，关键是看清楚题目中的平行关系是作为条件还是作为结论:若已知平行线，则用平行线的性质;若要得到平行线，则用平行线的判定38．（2024春•庐江县期中）如图，下列判断中错误的是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】根据平行线的性质和判定逐一分析解答即可．【解答】解：、，（两直线平行，内错角相等），故选项不符合题意；、，（同旁内角互补，两直线平行），故选项不符合题意；、，（两直线平行，内错角相等），故选项不符合题意；、，，原结论错误，故选项符合题意．故选：．【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键熟练掌握平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．39．（2024春•淮南月考）填空并完成以下证明：如图，于点，于点，，，求证：．证明：，（已知），垂直定义，，（两直线平行，同位角相等），（已知），，，（已知），．【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行．【分析】先根据平行线的判定和性质得出平行于，再根据平行线公理得出结论即可．【解答】证明：，（已知），（垂直定义），（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（已知），（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是关键．40．（2022春•宣州区校级期中）如图，，平分，与相交于，．求证：．【分析】首先利用平行线的性质以及角平分线的定义得到满足关于的条件，内错角和相等，得出结论．【解答】证明：平分，，，，，，．【点评】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答．41．（2024春•太和县月考）如图，点在射线上，点在射线上，，．求证：．（要求每步写出推理依据）【答案】见解析．【分析】根据同角的补角相等，以及等量关系，结合同位角相等，两直线平行即可求解．【解答】证明：（已知），（平角定义），（同角的补角相等），（已知），（等量代换），（同位角相等，两条直线平行）．【点评】此题考查的是平行线的判定与性质，解题的关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．42．（2024春•无为市月考）如图，已知，，，．（1）判断和的位置关系，并说明理由；（2）若平分，，求和的度数．【答案】（1），理由见详解；（2），．【分析】（1），理由如下：根据平行线的判定，由，得，再根据平行线的性质，得，再根据平行线的判定及性质，垂直的定义即可解答；（2）先根据角平分线的定义，得，再根据平行线的性质及垂直的定义即可求解．【解答】解：（1），理由如下：，，，，，，，即，（2），，平分，，，，，，，，．【点评】本题考查了平行线的判定及性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定及性质是本题的关键．【题型12生活中的平移现象】满分技法(1)图形平移是整个图形都在平移，而不是局部平移.(2)平移的方向可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定的方向平移，只要是沿直线移动即可.43．（2023春•淮南期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是A． B． C． D．【答案】【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为米，宽为6米的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：（平方米），绿化区的面积是66平方米，故选：．【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．44．（2024春•淮南月考）“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需800元．【答案】800．【分析】根据平移性质，得出红色地毯的长度为，运用长方形面积公式列式计算，即可作答．【解答】解：根据图中的性质，且结合平移性质，得，故红色地毯的面积为，这种红色地毯的售价为每平方米50元，（元，故答案为：800．【点评】本题考查了平移的性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．45．（2024春•庐江县校级月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为540平方米．【答案】540．【分析】由平移将问题转化为求出长为30米，宽为18米的长方形的面积即可．【解答】解：经过平移以后，可以将种植面积转化为长为（米，宽为（米的长方形，所以面积为（平方米）．故答案为：540．【点评】本题考查平移，理解平移的性质以及矩形面积的计算方法是正确解答的关键．【题型13平移的性质】满分技法一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小46．（2024春•庐江县期中）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法：①；②；③；④平移距离为线段的长．其中说法正确的有A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】【分析】根据图形平移的性质解答即可．【解答】解：将三角形平移到三角形的位置，，；；平移距离为线段的长，②④正确．故选：．【点评】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．47．（2024春•庐江县期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为A． B． C． D．【答案】【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可．【解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，△由平移得到，，，，，①当时，设，则，，，，，解得：，，②当时，设，则，，，，，解得：，，第二种情况：当点在外时，过点作，△由平移得到，，，，，①当时，设，则，，，，，解得：，，②当时，由图可知，，故不存在这种情况，综上所述，或或，故选：．【点评】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键．48．（2024春•田家庵区校级期中）如图，将沿方向平移得到，若，则的长为2．【答案】2．【分析】根据平移的性质得出，进而解答即可．【解答】解：由平移可得，，，，，故答案为：2．【点评】此题考查平移的性质，关键是根据平移中连接各组对应点的线段平行且相等解答．49．（2024春•林州市月考）如图，将一个正方形，第1次向右平移一下，平移的距离等于对角线长的一半，即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合，并把重叠部分涂上颜色；第2次向右平移连续平移两次，每次平移的距离与第一次平移的距离相同，并且每平移一次把重叠部分涂上颜色，，则第次平移后所得到的图案中正方形的个数是．【分析】本题要根据平移的性质，和图示总结出规律，得出第次平移后所得到的图案中正方形的个数．【解答】解：第一次平移形成三个正方形，第二次平移写出七个正方形，第三次平移11个正方形，则分析这几次平移，得出规律，第次平移后所得到的图案中正方形的个数是．故答案为：【点评】要根据平移的性质，根据前三次平移的情况，总结出规律，得出第次平移后所得到的图案中正方形的个数．【题型14作图-平移变换】满分技法确定一个图形平移后的位置的三个条件：(1)图形原来的位置;(2)平移的方向;(3)平移的距离.三个条件缺一不可,因为只有这样,平移后的图形才唯一确定.方法技巧：两法定平移法方法1:根据平移的定义，看它的形状、大小是否发生变化，位置是不是通过沿某一直线方向移动改变的.方法2:根据平移的性质，即看各组对应点所连的线段是否平行(或在同一条直线上)且相等.50．（2024春•无为市月考）三角形在网格（每个小方格的边长均为1个单位长度）中的位置如图所示，请根据下列提示完成作图：将三角形先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形，试画出三角形；【答案】作图见解析过程．【分析】根据所给的平移方式先找到、、对应点、、的位置，然后描出、、，最后顺次连接、、即可得到答案．【解答】解：如图所示，即为所求．．【点评】本题主要考查了平移作图，解题的关键是熟练平移的性质．51．（2024春•庐江县期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点处，，分别是，的对应点．（1）画出平移后的三角形（不写画法）；（2）若将点向右平移个单位长度到点，使得三角形的面积等于3，求的值．【答案】（1）见解答．（2）2或4．【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）由题意得，点的坐标为，则可列方程为，解方程即可．【解答】解：（1）如图，三角形即为所求．（2）由题意得，点的坐标为，三角形的面积等于3，，解得或4，的值为2或4．【点评】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．52．（2024春•无为市期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△，点，，的对应点分别为，，．（1）写出，的坐标；（2）在图中画出平移后的△；（3）求△的面积．【答案】（1），；（2）见解答；（3）3.5．【分析】（1）依据平移规律，即可得出，的坐标；（2）依据，，的坐标，画出平移后的△；（3）依据割补法进行计算，即可得到△的面积．【解答】解：（1）由平移可得，，；（2）平移后的△如图所示：（3），△的面积为3.5．【点评】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形是解题的关键．【题型15利用平移设计图案】满分技法图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小。53．（2024春•淮南月考）2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在杭州举行，杭州会徽的标志如图所示，以下通过平移这个标志得到的图形是A． B． C． D．【答案】【分析】利用平移变换的性质判断即可．【解答】解：平移得到的图形是：故选：．【点评】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移变换的性质．54．（2024春•凤台县月考）每年的5月8日是世界微笑日，在对别人的微笑中，你也会看到世界对自己微笑起来．下列图案是由图中所示的图案平移得到的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据平移的性质即可解答．【解答】解：根据图形平移前后的形状、大小都没有变化，只有位置发生变化可知只有选项符合题意，故选：．【点评】本题考查了平移的性质，了解图形平移前后的形状、大小都没有变化，只有位置发生变化是解答本题的关键．55．（2023春•歙县月考）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是A． B． C． D．【答案】【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．【解答】解：观察图形可知，图案不能通过平移图案得到．故选：．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．过关检测一．选择题（共8小题）1．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，，，点，，在同一直线上，则的度数为A． B． C． D．【分析】由图示可得，与互余，结合已知可求，又因为与互补，即可求出．【解答】解：，，，，．