专题2.20相似与位似变换作图问题大题专练（培优强化30题）（解析版）

一．解答题（共30小题）1西湖区期中）已知△ABC中，∠C＝90°.（1）请画出一条直线把它分出一个三角形与原三角形相似.（2）请画出一条直线把它分割成两个相似三角形.【分析】（1）过BC上任意一点D，作DE⊥AB即可；（2）过点C作CH⊥AB于H，根据两个角相等即可证明两个三角形相似.【解答】解1）如图，作DE⊥AB于E，则DE即为所求；（2）作CH⊥AB于H，则CH即为所求.2雁塔区校级期中）如图，在菱形ABCD中，EF∥CD分别交AC，AD于点E，F，点Q是边CD上一定点，用尺规在AC上求作一点P，使得△AEF∽△CQP保留作图痕迹，不写作法）【分析】作∠CQP=∠AFE即可得到结论.【解答】解：如图，△CQP就是所求作的三角形（答案不唯一）.3义乌市期中）如图在6×5的正方形网格中，每一个正方形的顶点都称为格点，△ABC的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图.（1）在图1网格中作格点三角形DEF，使△DEF与△ABC相似，且相似比不等于1；（2）如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△ABC′（点B对应点B'画出△A′BC′.【分析】（1）根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据旋转的性质作出图形即可.【解答】解1）如图1所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，△A′BC′即为所求.4昌平区期中）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上.（1）在该网格中画出△A2B2C2(△A2B2C2的顶点均在格点上使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据.【分析】（1）利用相似三角形的判定画出图形即可；（2）根据三边成比例两三角形相似判断即可.【解答】解1）如图，△A2B2C2即为所求；（2）相似的理由是三边成比例两三角形相似.5鹿城区校级月考）在5×5的方格中，△ABC是格点三角形（三角形的顶点在格点上）.（1）要求在图1的方格中，画一个与△ABC相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形.（2）要求在图2的方格中，画一个与△ABC相似且相似比不为整数的格点三角形.（3）要求在图3的方格中，画一个与△ABC相似且面积最大的格点三角形.【分析】（1）根据相似三角形的性质，将△ABC的各边长扩大2倍，作图即可.（2）根据相似三角形的性质，将△ABC的各边长扩大倍，作图即可.（3）根据相似三角形的性质，将△ABC的各边长扩大√5倍，得到△PQM，则△PQM即为与△ABC相似且面积最大的格点三角形.【解答】解1）如图1，△DEF即为所求.（2）如图2，△GHK即为所求.（3）如图3，△PQM即为所求.6碑林区校级月考）如图，在△ABC中，点D在AB边上，请用尺规作图法在边AC上求作点E．使得△ADE∽△ABC保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法，在△ABC的内部，作∠B=∠ADE，交AC于点E，则点E即为所求.【解答】解：如图，点E即为所求.7江阴市校级月考）在4×6的网格中，格点△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：△ABC的面积为4.（2）请利用网格再画一个格点△DEF∽△ABC且面积最小，并将此三角形涂上阴影注：标上字母）【分析】（1）利用三角形面积公式可得答案.（2）根据相似三角形的性质即可画出△DEF.【解答】解1）△ABC的面积为＝4.故答案为：4.（2）如图，△DEF即为所求.8义乌市校级月考）在4*4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上.（1）在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可（2）将图2中画一个与△ABC相似的三角形.【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可.（2）根据相似三角形的性质，画△EFG，使＝2即可.【解答】解1）如图1，△ACD即为所求.（2）如图2，△EFG即为所求.9宽城区校级月考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹.（1）在图①中以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC相似；（2）在图②中画一个三角形，使它与△ABC相似（不全等（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使.【分析】（1）取格点E，连接DE，使DE∥BC，由相似三角形的判定可知△ADE∽△ABC.（2）取格点F，G，H，使FGFH＝4，GH＝【解答】解1）如图①,△ADE即为所求.（2）如图②,△FGH即为所求.（3）如图③,点P即为所求.10碑林区校级月考）在△ABC中，∠C＝90°.请用尺规作图，在边AB上求作一点D，连接CD，使得CD将△ABC分为两个相似三角形保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据垂线的作图方法，过点C作AB的垂线，垂足为点D，则△ACD∽△CBD.【解答】解：如图，点D即为所求.11乐清市期末）如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上每个小正方形的边长均（1）在图（1）中将△ABC绕点C逆时针旋转90°,得到△CDE.（2）在图（2）中找格P，使以格点P、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形.【分析】（1）利用旋转变换的性质作出图形即可；（2）利用相似比为2，构造相似三角形即可.【解答】解1）如图（1）中，△CDE即为所求；（2）如图（2）中，△PCB即为所求.12宝山区校级月考）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）【分析】把△ABC的各边放大2倍得到△DEF.【解答】解：如图，△DEF为所作.13宜兴市月考1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影.（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.【分析】（1）把△ABC各边放大倍即可；（2）根据平行四边形的性质，先连接AC和BD得到BD的中点O，再连接BE交CO于P点，则点P为△BCD的重心，延长DP交BC于F点，则F点为BC的中点；（3）先过A点作AD垂直AB，再平移DA得到CE，则CE⊥AB，接着作MN垂直平分AC，平移MN得到BF，则BF⊥AC，BF与CE的交点O为△ABC的垂心，所以延长AO交BC于H，则AH⊥BC.【解答】解1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图1，点F为所作；（3）如图2，AH为所作.14慈溪市校级月考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹.（1）在图①中以线段AD为边画一个格点三角形，使它与△ABC相似.（2）在图②中画一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等）.（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使=.【分析】（1）取格点E，连接DE，则DE∥BC，由相似三角形的判定方法可知△ADE∽△ABC.（2）取格点D，E，F，连接DE，DF，EF，使DEDF＝4，EF＝即可.（3）取格点M，N，连接MN，交AB于点P，此时△AMP∽△BNP，由，可得.【解答】解1）如图①,△ADE即为所求.（2）如图②,△DEF即为所求.（3）如图③,点P即为所求.15江岸区校级模拟）网格中每个小正方形的顶点称为格点，图中A，B，C，D，E均为格点．仅用无刻度直尺依次完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线.（1）在图1中，先在CD上画点M，使BE⊥EM，再在BC上画点N，使得使△DEM∽△CMN；（2）在图2中，先在AD上画点F，使BF平分∠ABE，再在BE上画点H，使得HB＝HF.【分析】（1）取点P，连接EP交CD于点M，取点Q，连接BQ交网格线于点J，连接MJ，交BC于点N，点M，点N即为所求.（2）取格点M，N，连接MN交网格线于点K，取格点T，连接TK交AD于点F，在BC上取一点R，使得AF＝BR，连接RF交BE于点H，点F，点H即为所求.【解答】解1）如图1中，点M，点N即为所求；（2）如图2中，点F，点H即为所求.16惠山区期末）按要求作图，无需写作法：（1）如图①,已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线.（2）如图②,在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1.【分析】（1）连结AB，EF交于点T，作射线OC，所以OC即为所求.（2）根据相似比等于，画出图形即可.【解答】解1）如图①中，射线OT即为所求；（2）如图②中，△DEF即为所求.17泗水县二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,BD平分∠ABC.（1）求作△CDE使点E在BC上，且△CDE∽△CBD要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若，求CE长.【分析】（1）过点D作DE⊥DB交BC于点E，点E即为所求.（2）解直角三角形求出BD，BE，可得结论.【解答】解1）如图，点E即为所求；（2）在Rt△ABC中，AB=∵BD平分∠ABC，在Rt△ABD中，BD2，在Rt△BDE中，BE==,∴CE＝CB﹣BE＝2﹣=.18硚口区模拟）如图，是由小正方形组成的9×9网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题（画图过程用虚线表示）.（1）直接写出AC：CB：BA的值；（2）在图（1）中，先画出点A关于直线BC的对称点D，再画线段BC绕点B逆时针旋转α(α=∠ABC）的对应线段BE；（3）在图（2）中，点P是AB与网格线的交点，先在AC上画点Q，使PQ∥BC，再在射线AQ上画点T，使PQ2＝AQ•QT.【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）利用轴对称变换，平行线分线段成比例定理画出图形即可；（3）取格点E，F，连接EF交AC于点Q，连接PQ，取格点M，N，连接BN，MN，MN与格线交于点J，连接PJ，延长AC交PJ于点T，点T即为所求.【解答】解1）如图1中，AC3，BC4，AB5，（2）如图1中，点D，线段BE即为所求；（3）如图2中，线段PQ，点T即为所求.19遂川县一模）如图，在。O中，AB为弦，AM为。O的切线，A为切点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.（1）在图1中，以AB为边作一个矩形；（2）在图2中，分别在AM上取一点C，在。O取两点E，D，作△ACE∽△DCA.【分析】（1）作直径AC，BD，连接AD，CD，BC，四边形ABCD即为所求；（2）在优弧AB上，任意取一点D，连接CD交。O于点E，连接AE即可. 【解答】解1）如图1中，四边形ABCD即为所求；（2）如图，△ACE，△ACD即为所求.20江北区开学）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9×9的方格中已给出格点三角形ABC和格点D，请根据下列要求在方格中画图.（1）在图1中，作与△ABC相似的格点△DEF，且满足S△DEF＝2S△ABC；（2）在图2中，作与△ABC相似的格点△PMN，使点D为斜边MN的三等分点.【分析】（1）利用相似三角形的性质，判断出△DEF的边长，作出图形即可；（2）利用相似三角形的性质，结合数形结合的思想解决问题.【解答】解1）如图1中，△DEF即为所求；（2）如图2中，△PMN即为所求；21安溪县期中）如图，△ABC三个顶点分别为A（03B（32C（24正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度.（1）画出△ABC向上平移5个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并写出A2的坐标.【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可.【解答】解1）如图，△A1B1C1即为所求；22平阴县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2，1B(﹣1，4（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1；（2）直接写出C1点坐标(﹣6，4）.【分析】（1）连接OB并延长，截取BB1＝OB，连接OA并延长，截取AA1＝0A，连接OC并延长，截取CC1＝OC，确定出△A1B1C1；（2）根据图形求出C1点坐标即可.【解答】解1）根据题意画出图形，如图所示：23潍城区期中）如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点坐标分别为A（6，4B（4，4O（0，0）.（1）请在图中标出△ABO外接圆的圆心C，并写出点C的坐标；（2）在直角坐标系的第三象限，画出以点O为位似中心，与△ABO位似的图形，使它与△ABO的相似比为1：2，并写出点A，B对应点的坐标.【分析】（1）分别作AO与AB的垂直平分线相交于点C，则点C即为所求，再根据图象写出点C的坐标即可；（2）根据位似变换的性质，找出对应点即可求解.【解答】解1）如图所示，点C即为所求，C（51（2）如图所示，△DEO即为所求，点A，B对应点的坐标分别为D(﹣32E(﹣22）.24鄄城县期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）.（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC作位似变换得到△A2B2C2，使得A2B2＝2AB，画出位似变换后的△A2B2C2，此时点B2坐标为(﹣2，8）；（3）A1C1和B2C2之间的位置关系为A1C1∥B2C2.【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可.（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可.（3）根据平行线的定义判断即可.【解答】解1）如图，△A1B1C1即为所求.（2）如图，△A2B2C2即为所求，（3）A1C1∥B2C2.故答案为：A1C1∥B2C2.25西安期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上的三角形以点O为位似中心，在给定的网格中画△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1位似（A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1且相似比为1：2.【分析】利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可.【解答】解：如图，△A1B1C1即为所求.26靖江市期中）如图是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC顶点AB、C均在格点上，仅用没有刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹.（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BAC是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；（3）若每个小正方形的边长为1，则四边形AMND的面积是【分析】（1）根据三角形的中线作出图形即可；（2）取格点T，N，使得BN＝2，连接NT交AN于点M，△BMN即为所求；（3）分别求出△ABD，△BMN的面积，可得结论.【解答】解1）线段AD即为所求；（2）如图，△BMN即为所求；（3）∵△ABC的面积=×6×4＝12，BD＝CD，∴△ABD的面积=×12＝6，∵△BMN∽△BAC，相似比为1：3，∴△BMN的面积=×12=,∴四边形AMND的面积＝6﹣=.故答案为：.27南岸区校级期中）如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（1，3）、B（2，2）、C（2，1（1）以原点O为位似中心，相似比为2：1，将图形反向放大，在第三象限画出符合要求的位似四边形（2）在（1）的前提下，如果四边形ABCD内部一点M的坐标为（x，y写出M的对应点M1的坐标（3）如果一个小正方形的边长为1，则四边形ABCD的面积是1.5.【分析】（1）根据A，B，C，D的坐标，画出四边形ABCD，再根据位似变换的性质作出四边形A′B′（2）利用位似变换的性质判断即可；（3）把四边形分成两个三角形求面积即可.【解答】解1）如图，四边形A′B′C′D′即为所求；（2）M1(﹣2x2y（3）四边形ABCD的面积=×2×1+×1×1＝1.5.故答案为：1.5.28鲤城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3B（4，1C（1，1）是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上请在正方形网格中按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似.（1）在第二象限中画△A1B1C1，使得△A1B1C1的面积是△ABC的2倍.（2）在第三象限中画出△A2B2C2，使得以点O为位似中心，△ABC与△A2B2C2位似比为1：2.（3）在（2）条件下，若P（a，b）为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点P'的坐标为(﹣【分析】（1）依据△A1B1C1的面积是△ABC的2倍，即可得到它们的相似比为，据此可得△A1B1C1.（2）依据点O为位似中心，△ABC与△A2B2C2位似比为1：2，即可得到△A2B2C2.（3）依据位似比为1：2，即可得到变换后点P的对应点P