反比例函数题型的综合提优题

第三讲反比率函数典型题、常考题复习2学习目标：能够将反比率函数与其余知识进行联系、综合剖析解决有关问题，能够用反比率函数来解决实质问题要点难点：综合运用所学知识解决反比率函数中的综合问题，剖析此类问题的切入点，累积解题经验合作研究：典型例题解说一、反比率函数的实质应用问题例1（2010四川达州）最近几年来，我国煤矿安全事故屡次发生，此中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的检查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，今后浓度呈直线型增添，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比率降落.如图11，依据题中有关信息回答以下问题：1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写．．出相应的自变量取值范围；2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们起码要以多少km/h的速度撤退才能在爆炸前逃生？3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井展开生产自救，求矿工起码在爆炸后多少小时才能下井?图11【答案】.解：（1）由于爆炸前浓度呈直线型增添，因此可设y与x的函数关系式为yk1xb由图象知yk1xb过点（0，4）与（7，46）b4.解得k16,7k1b46b4∴y6x4,此时自变量x的取值范围是0≤x≤7.(不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中)由于爆炸后浓度成反比率降落，因此可设y与x的函数关系式为yk2.k2x由图象知y过点（7,46），x∴k246.∴k2322,7∴y322，此时自变量x的取值范围是x＞7.x（2）当y=34时，由y6x4得,6x+4=34，x=5.∴撤退的最长时间为7-5=2(小时).∴撤退的最小速度为3÷2=1.5(km/h).(3)当y=4时，由y322得,x，80.5-7=73.5(小时).x∴矿工起码在爆炸后73.5小时能才下井.例2、（反比率函数新奇题）某小学为每个班级装备了一种能够加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上涨10oC，待加热到100oC，饮水机自动停止加热，水温开始降落，水温y(0C)和通电时间x(min)成反比率关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水平和室温为20oC，接通电源后，水平和时间的关系以以下图所示，回答以下问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超出40oC的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应当在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不能够用上课时间接通饮水机电源）二、反比率函数与翻折联合问题例1．如图，四边形OABC是面积为4正方形，函数y＝k（x＞0）的图象经x

时间节次7:20到校上7:45~8:20第一节午8:30~9:05第二节

的过点B．1）求k的值；2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，获得正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y＝k（x＞0）的图象交于点xE、F，求线段EF所在直线的分析式．例2．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比率函数y＝k（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、xBC分别订交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰巧落在OB上．1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；2）求反比率函数的分析式；3）如图2，P点坐标为（2，－3），在反比率函数y＝k的图象上是x否存在点M、N（M在N的左边），使得以O、P、M、N为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明原因．三、反比率函数中的研究性问题例1（2010山东省德州）●研究(1)在图1中，已知线段AB，CD，此中点分别为E，F．①若A(-1，0)，B(3，0)，则E点坐标为__________；y②若C(-2，2)，D(-2，-1)，则F点坐标为C；AB(2)在图2xABAabOBcdD第1题图求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．●概括不论线段AB处于直角坐标系中的哪个地点，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB中点为x=_________，y=___________．（不用证明）

yD(x，y)时，BDAOx●运用在图2中，一次函数yx2第1题图与反比率函数y3的图象交点为A，B．y=3x①求出交点A，B的坐标；yxB②若以A，O，B，P为极点的四边形是平行四边形，xO请利用上边的结论求出极点P的坐标．y=x-A题图第1【答案】解：研究(1)①(1，0)；②(-2，1)；2过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A，D，B，则AA∥BB∥CC．y∵D为AB中点，由平行线分线段成比率定理得BDAD=DB．A′Bx∴OD=acaac．OAD22即D点的横坐标是ac32yy=同理可得D点的纵坐标是bd．x2B∴AB中点D的坐标为(ac，bd)．x22O概括：ac，bd．AP22y=x-运用yx2，①由题意得3.yxx3，x1，解得y1.或y3.．∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1)．②以AB为对角线时，由上边的结论知AB中点M的坐标为(1，-1)．∵平行四边形对角线相互均分，OM=OP，即M为OP的中点．P点坐标为(2，-2)．同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4)，(-4，-4)．∴知足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．例2（1）研究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的地点关系，并说明原因．（2）结论应用：①如图2，点M，N在反比率函数y=k（k＞0）的图象上，过点M作xME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F，试证明：MN∥EF；②若①中的其余条件不变，只改变点M，N的地点如图3所示，请判断MN与EF能否平行．xk（k＞0）的图象上，【答案】（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．CG∥DH．∵△ABC与△ABD的面积相等，∴CG＝DH．∴四边形CGHD为平行四边形．AB∥CD．（2）①证明：连结MF，NE．设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）．∵点M，N在反比率函数y∴x1y1k，x2y2k．ME⊥y轴，NF⊥x轴，OE＝y1，OF＝x2．∴S△EFM1xy1k，＝1122S△EFN＝1x2y21k．22∴S△EFM＝S△EFN．由（1）中的结论可知：MN∥EF．②MN∥EF．讲堂练习达标训练1、若一次函数y＝2x－1和反比率函数y＝k的图象都经过点（1，1）．（1）求反比率函数的分析式；2x（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为极点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．2、已知：如图，正比率函数y=ax的图象与反比率函数y=k的图象交于点A(3,2)x（1）试确立上述正比率函数和反比率函数的表达式；（2）依据图象信息回答以下问题：在第一象限内，当x取何值时，反比率函数的值大于该正比例函数的值？（3）M(m,n)是反比率函数图象上的一动点，此中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求过点M、A的一次函数分析式和求出线段MA的长．能力提高1、（育才二模）⑴“三均分角”是数学史上一个着名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不行能“三均分随意角”.但关于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是能够用尺规进行三均分的.如图a，∠AOB＝90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角均分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三均分.认真领会一下此中的道理，而后用尺规把图b中的∠MON三均分（已知∠MON＝45°）.（不需写作法，但需保存作图印迹，同意适合增添文字的说明）MA⑵数学家帕普斯借助函数给出了一种“三均分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角D1∠AOB置于直角坐标系中，E边的图象交于点P，以P为圆OB在x轴上、边OA与函数y.分别过点PRxxy心、长为半径作弧交图象于点和作轴和轴的平行线，两直线订交2OPROCB1要理解帕普斯的方法，请研究以下问题：3ON图a图b①设P(a,1)、R(b,1)，求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）.ab②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线订交于点Q.请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝1∠AOB.3（2011江苏镇江常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2订交于点P．点E为直线l2上一点，反比率函数y＝k（k＞0）的图象过点E与直线l1订交于点F．x1）若点E与点P重合，求k的值；2）连结OE．OF．EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；3）能否存在点E及y轴上的点M，使得以点M．E．F为极点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明原因．图c考点：相像三角形的判断与性质；反比率函数综合题；全等三角形的判断与性质；勾股定理．专题：分类议论．剖析：（1）依据反比率函数中k=xy进行解答即可；（2）当k＞2时，点E．F分别在P点的右边和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD订交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出1k2△FPE4﹣k+1，依据S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE即可求出k的值，从而求出E点坐标；（3）①当k＜2时，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，222E点坐标；EM=EB+MB，求出k的值，从而可得出②当k＞2时，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得，BM＝EM，FQFM可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，222EM=EB+MB