2024年高中数学竞赛第二讲平面向量

第二讲平面对量题型一已知三角函数的值求角问题例1（１）（天津卷理科7题）在中，内角的对边分别是，若，，则（）．Ａ．B．C．D．（２）若，，求α+2β=.点拨本题（１）宜利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理求角A.题（２）首先应求α+2β的函数值，为了使角的范围好控制，这里选用正切值好一点，然后依照条件依次找出所需的条件，要注意角的范围.解三角形的问题核心是灵活利用正弦定理和余弦定理，正确进行边化角、角化边，探寻解答.题（２）最困难的地方在于确定α+2β的范围，一般地，依照已知条件，把角的范围限制得越精准，成果也越准确.解（１）由及正弦定理，得，代入，得，即，又，（为何从角化边入手？）由余弦定理，（选用余弦定理合理否？）因此．故选Ａ．（２）∵，，∴∴，（为何要把角的范围定得这么精准？）α+2β,又tan2β=,∴,∴α+2β=.易错点题（１）记错公式、忘掉讨论角的范围或者代数运算不纯熟是导致此类解三角形问题的犯错的重要原因.这里选用余弦定理求角是正确的，假如选用正弦定理求角就不合理，一是出现2个角，二是要讨论舍弃1个角，更轻易犯错；题（２）中，角的范围轻易忽视或放大，导致错误.变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα=，sinβ=,求2α+β的值.变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα=，sinβ=,求2α+β的值.题型二三角函数化简、求值问题例2（安徽卷理科第16题）已知为的最小正周期，，且．求的值．点拨本题解题的核心是怎样把的化简成果与结论联系起来，可联想到“齐次式”.高考题中的三角与向量问题，向量常常只是工具，重点难点还是三角变换，但二者的交汇很值得注意.向量在三角函数化简、求值中的利用重要包括向量的数量积，向量的平行、垂直、夹角、模等方面.解因为为的最小正周期，故．因，又．故．因为，因此.另一个解题思绪是：由，可得,再由结论，很轻易化简得出成果.易错点化简后，与结论联系不起来；结论化简犯错或审题有误，不懂得结论可用表示.变式与引申2：已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.（1）若α∈(－π，0)，且|eq\o(→,AC)|＝|eq\o(→,BC)|，求角α的大小；（2）若eq\o(→,AC)⊥eq\o(→,BC)，求eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)的值．题型三三角函数的取值范围问题例3（江西卷理科17题）已知函数.（1）当初，求在区间上的取值范围；（2）当初，，求的值.点拨（1）首先争取把变换成的形式，要尤其注意在什么区间上求的取值范围；（2）怎样把正切值转换为已知的三角函数值，从而求出的值.解(1)当，.由，得，从而在区间上的取值范围是.（2）==.由，得，.因此，由，求得.在高考中，本题第（2）小题还出现某些新的解法，同学们不妨一试：解法思绪：由，从而有四条思绪：（1），化成有关的等式，求出m-2;（2），同（1），求出m=-2.（3），同（1），求出m-2.（4）由，，求出m-2.易错点记错二倍角公式；不会在区间上，联系三角函数图像求函数的取值范围；或利用公式不合理，产生错误.例如用，去求，轻易出现符号处理带来的麻烦等等.变式与引申3：已知向量，，且，其中A、B、C是ABC的内角，分别是角A，B，C的对边．（1）求角C的大小；（2）求的取值范围．题型四三角函数化简、求值的综合应用例4已知角是三角形的三内角，向量,,，且.（1）求角；（2）求；（3）若边的长为，求的面积．点拨本题难在第（2）题，若整顿成有关角B的二次式或齐次式，运算则相对简单；第（3）题也要注意选择运算简单的思绪.解（1）∵,∴,即.,.∵,∴,∴,∴.（2）由题知，整顿得，∴,∴.∴或.而使，舍去.∴.∴.（3）由（1）知，得，又，故（舍去负值，为何？）,由正弦定理，∴.∴.故三角形的面积.易错点求解本题，易错点有二：一是本题有点运算量,很轻易因为选择的解法运算繁琐而算错；二是不会依照条件回避讨论.由角的范围或其他隐含条件去讨论甄别函数值至关重要，也很轻易犯错．其他解法思绪：化简时，也有诸多的思绪，如：⑴由,得；⑵由得等.变式与引申4：在题（3）中，若内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且求边c的长.本节重要考查⑴三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的利用；⑵恒等变换的能力和运算能力；⑶三角形中的边、角、面积等关系（正余弦定理）；（4）等价转化的数学思想措施等等.点评高考试题中的三角函数题相对比较老式，难度较低，位置靠前，重点突出.因此，在复习过程中既要重视三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要重视三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.本节包括的知识与技能重要有:（1）三角函数式的化简问题，在最后所得到的成果中，要求所含函数和角的名称或种类最少,三角函数名称尽也许统一，各项的次数尽也许地低，出现的项数最少，一般应使分母和根号不含三角函数式，对能求出详细数值的，要求出值．（2）三角函数的求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型，求值的核心是纯熟掌握公式及应用,掌握公式的逆用和变形.在化简和求值中，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围尤其要注意讨论.（3）证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观测题目标特性，灵活、恰本地选择公式.证明时常用的措施有：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边同等于同一个式子；③证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立；④分析法等.（4）近年的考纲明确提出要加强对正余弦定理的考查，且常结合三角形内的三角恒等变换进行考查．解三角形此类题目标解答程序是：一是看方向（是从角化边入手还是边化角入手）；二是用定理（合理且灵活利用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（依照取值范围讨论并确定答案）.还要尤其注意三角形中三个角A、B、C，三条边a、b、c，中线ma，角平分线AD，外接圆半径R，内切圆半径r，三角形面积S之间的关系和三角形的形状.（5）三角函数的综合问题常常与向量，二次函数等有关，但着力点还是三角知识，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函数的基本关系、两角和与差等进行恒等变形，是高考考查的重中之重.解答此类综合问题的标准是三点：降次——化次数较高的三角式为次数较低的三角式；减元——化多个三角函数为单一的三角函数；变角——化多角的三角函数为单角的三角函数.还要尤其注意：①1的变化：②角的变化：③化切为弦、升幂公式、降幂公式的合理利用；④在了解的基础上熟记和灵活利用各种公式，包括正用公式、反用公式和变用公式.习题2－11.已知cos+sinβ=，sin+cosβ的取值范围是D，x∈D，则函数y=的最小值为().A.B.C.D.图2.（江苏卷理科第13题）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=________．图3.已知，求的值．4.（江西卷理科第18题）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．5.已知向量m＝（，1），n＝(，).（1）若m•n=1,求的值;（2）记f(x)=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围.第二节三角函数的图像、性质及其变换近几年高考对“三角函数”一章三角的考查要求略有减少，而对三角函数的图像、性质的考查有逐渐加强的趋势.“考试大纲”将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“了解”，提升了一个层次.因此，考生在复习中要作出对应的调整.它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间，且在解答题中大多需要利用三角函数的变换和性质求解.考试要求⑴了解正弦函数、余弦函数的定义、性质,了解正切函数的单调性；⑵了解函数的物理意义，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，了解参数对函数图像变化的影响.题型一由“参”定“形”，由“形”定“参”【例1】(1)图图⑵已知函数的图象如图所示,则它的解析式为.点拨：（1）在函数y＝Asin（ωx＋j）的有关问题中，只要确定了这三个参数A，ω，φ，则该函数的图像、性质等就出来了；同理，（2）中，已知图像求解析式问题，核心也是确定三个参数A，ω，φ，最困难的就是求φ.于是，本题的答案为②、③．如下求j的值有多个措施可供选择：易错点题（１）中，选项“”的含义轻易被误解；题（2）中，已知图像求解析式中的φ时，常常因为措施不当或范围不清楚而不能求出准确值.点评：三角函数的图像由若干个参数确定(即由“参”定“形”)，同时，已知三角函数的图像也能够确定这若干个参数（即由“形”定“参”).本例所用的措施带有普遍性，用来求解有关函数y＝Asin（ωx＋j）的图象问题十分奏效.变式与引申1：（全国卷Ⅱ理）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重叠，则的最小值为（） A． B. C. D.题型二利用图像的性质解题【例2】设函数f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（1）y＝sin3x在[0,]上的面积为；（2）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为.图点拨：本题解题的核心是审题，能够画个草图协助了解题意，如图.第（1）问简单，第（2）问的函数图像有了变化：向右移动个单位，再向上移动1个单位；其所求的面积就是图中直线,图，x轴以及y＝sin（3x－π）＋1的图像所围成图形的面积.能够把直线y=1上方的两个“波峰”拿一个填入“波谷”，得到一个矩形和一个“波峰”，其面积轻易求出.【解析】（1）T=,n=3,一个周期的面积为.（2）S=1×(-)+=.易错点:第（2）问审题轻易出问题，结合图像能够协助了解题意.点评：本题重要考查了正弦函数的图象的平移变换、对称变换及其应用，解题时要注意观测题目函数图像的特点随机应变，如本题可利用图像的对称性解题.变式与引申2：已知函数，x∈[0,]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，求该图形的面积.题型三三角函数性质的应用【例３】已知函数（，且均为常数），（1）求函数的最小正周期；（2）若在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2，试求的值．点拨研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应当对所给的函数关系式进行化简，最佳化为一个角（形如）、一个三角函数的形式．三角函数的性质是本章的重点之一．三角函数在确定区间上的最值（或值域）问题则是个难点，一般要利用到其有界性和单调性，且常常与三角函数的恒等变形，二次函数，不等式，解方程等结合起来，综合考查能力．【解析】（1）（其中）， 因此，函数的最小正周期为． （2）由（1）可知：的最小值为，因此，． 另外，由在区间上单调递增，可知在区间上的最小值为，因此，，联立解得：.易错点:在题（2）中，能否正确列出方程组，尚有计算时也轻易犯错.变式与引申3：求函数的值域.题型四三角函数的图象和性质的综合应用【例4】已知函数的图象上有一个最低点，将图象上的各点纵坐标不变，横坐标缩小到本来的倍，然后再向左平移1个单位得到的图象，且方程的所有正根组成一个以3为公差的等差数列，求的解析式及其最小正周期、单调递减区间.点拨本题比较难，首先难在审题上，要理清各层题目意思；其次，原题中的函数不但有a,b,c三个参数，并且图像也不在标准位置上；第三难在通过图像变换后，会得到什么样的函数图像，尚有方程的根恰好组成等差数列又怎么了解.解题思绪分析如下：第一步，要化成同名函数；其次是利用转化的思想，把“三元”化为“一元”，这能够通过图象上有一个最低点来转化得到；然后处理图像变换，得出y=f(x)的含参解析式；最后利用等差数列求出参数c.此题是三角函数图象的综合应用题，要正确解答必须对三角函数图象变换的基本特性有较深刻的认识，考查综合应用知识的能力，和数形结合、转化的数学思想.处理三角函数的图象变换问题，要注意如下两方面：首先要化为同名函数；其次是周期变换发生在相位变换之前时，应明确平移的量是什么.还要充足利用数形结合、转化等数学思想解题.【解析】将函数化为，由条件得，图下一步是核心是求出参数c，显然的周期，其半周期的长度恰好为3.而可当作的图象与直线的交点的横坐标，且由半图周期的长度为3可知，相邻交点间的距离也为3，从而由三角函数图象的特性懂得，，否则无法满足半周期为3.的图象与与直线的交点只也许是在的各对称中心，对称轴向上平移了3个单位，即，如图.从而,单调递减区间为.易错点本题易犯错的地方是平移、伸缩时，解析式的变化，再就是用等差数列的条件时讨论不全．变式与引申4：函数的性质一般指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究次序，研究函数f(x)=eq\r(1－sinx)+eq\r(1＋sinx)的性质，并在此基础上，作出其在的草图．本节重要考查⑴三角函数的图象，包括：①y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象；②“五点法”画出y=Asin（ωx+φ）的简图；③利用平移和伸缩变换画出y=Asin（ωx+φ）的图象；⑵三角函数性质，包括奇偶性，单调性，周期性，最值；⑶三角函数的图象和性质的综合应用；（4）等价转化，数形结合等数学思想措施.点评高考对三角函数的图象和性质一向是考查的重点，在复习过程中要注意与三角函数的化简、求值等基础知识，以及三角函数的恒等变形等结合起来，还要注意与代数、几何、向量的综合联系.复习的重点是正、余弦函数的图象变换及其应用，掌握它们的性质,其中单调性又是本节的一个难点.1.对三角函数图象要从对称轴和有界性这两个角度去把握，对称性包括对称轴和对称中心两个核心要素，要熟记y=sinx、y=cosx、y=tanx的对称轴和对称中心．2．对三角函数性质的研究要首先建立在定义域的基础之上．而求三角函数的定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的措施一般体现为图象法或三角函数线法．对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3.求三角函数的最值问题属于常见题型，重要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换和换元化为一次函数或二次函数在闭区间上的最值问题,或引入辅助角,或采取“不等式”法,或“数形结合”等基本类型处理.4.对函数y＝Asin(ωx＋j)＋k(A＞0,ω＞0,j≠0,k≠0),其图象的基本变换是个难点，各种变换的实质要纯熟掌握，不能单从形式上简单判断．5．“五点法”是三角函数作简图的有力武器,要纯熟掌握.最基本的三角函数图象的形状和位置特性，要准确掌握，它是利用数形结合思想处理三角函数问题的核心．6.重要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，依照图象求解析式.7．常用措施：(2)求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断.习题2－2图1.（浙江文、理）已知是实数，则函数的图象不也许是()图2.若函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点A（0，1）和B（,且时,f（x）≤2恒成立，则实数a的取值范围是3.函数f(x)=a+bsin2x+ccos2x的图象通过点A（0，1），B（，1）,且当x∈［0,］时，f(x)取得最大值2－1．（1）求f(x)的解析式；（2）(选作题)是否存在向量m，使得将f(x)的图象按向量m平移后能够得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m;若不存在，阐明理由.4.已知函数f(x)=A(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求f(x);（2）计算f(1)+f(2)+…+f(2011).5．设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R.（1）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；（2）试作出函数f(x)在一个周期内的简图；(3)设函数f(x)的最大值为M，若有10个互不相等的正数且，求的值.第三节平面对量与代数的综合应用平面对量与代数的综合应用为每年高考必考内容，以选择题（填空题）形式出现，或作为题设条件与三角函数（解三角形）、数列、函数不等式形成综合解答题的形式出现，分值在4～12分左右；向量具备代数形式与几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考中重要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用，难度系数在0.4～0.8之间.考试要求⑴了解平面对量的概念，了解两个向量相等及向量共线的含义；⑵掌握向量的加法、减法及数乘运算；⑶了解平面对量基本定理及其意义，掌握平面对量的正交分解及其坐标表示，了解用坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算，了解用坐标表示的平面对量共线的条件；⑷了解平面对量的数量积的含义及其物理意义，掌握数量积的坐标体现式并会进行数量积的运算，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系.题型一平面对量的有关概念及应用例1（山东卷理）定义平面对量之间的一个运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（）（A）若与共线，则（B）（C）对任意的，有（D）点拨：仿照平面对量的线性运算规则及数量积的性质进行“”运算.解：若与共线，则有，故A正确；因为，而，因此有，故选项B错误，选B.易错点：把定义的运算“”混同与“”，认同选项B正确.变式与引申1：已知两个非零向量，定义运算“#”：，其中为的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论：①若，则；②；③若；则；④；⑤．其中正确的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型二平面对量与三角函数的综合应用例2：已知向量，．(1)当初，求的值；(2)求的最小正周期和单调递增区间．点拨：(1)由向量平行列方程解出的值，所求式子转化成正切单角名称的三角代数式，代入可求解；(2)进行向量坐标形式的数量积运算得到的解析式，转化为函数结构.解：(1)由得，即，因此.(2)因为，；因此；；因此最小正周期为;由得，故单调递增区间为().易错点：计算的值犯错；转化为形式犯错；下结论时遗漏.变式与引申2：已知向量,(1)若,求；(2)求的最大值．题型三平面对量与数列的综合应用例3(株洲一模)在平面直角坐标系中已知,满足向量与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上.若.考资(1)求数列的通项公式；(2)求数列{}的前n项和..点拨：利用点都在斜率为6的同一条直线上和与共线分别得出数列递推公式和，求出后再求的通项公式.DB点拨解：(1)因为点都在斜率为6的同一条直线上，因此，即于是数列是等差数列，故；因为，；又因为共线，因此即，当n≥2时， ，当n=1时，上式也成立,因此. 高(2),.易错点：错误了解点都在斜率为6的同一条直线上的含义,无法求得的通项公式；由与共线错列方程得到成果.变式与引申3：数列中，，，数列中，，，在直角坐标平面内，已知点列，则向量++…+的坐标为().A.B.C.D.题型四平面对量与函数的综合应用例4(洛阳十校)已知平面对量(，－1)，(,).高考资源网(1)若存在实数和，使得＋,，且，试求函数的关系式；高(2)依照(1)的结论，确定的单调区间.点拨：第(1)问先分别求得与的坐标，再用的充要条件或是直接利用的充要条件，进行向量的代数运算,其过程将用到向量的数量积公式及求模公式，得到函数的关系式；第(2)问中求函数的单调区间利用的是求导的措施.资源解：（1）措施一：由题意知(,),，又高故＝×（）＋×()＝0，整顿得：，即.高考资源网措施二：因为(，－1)，(,),因此＝2，＝1且，又故＝0.即，化简得,因此.(2)由(1)知：，求导，令＜0得－1＜＜1；令＞0得＜－1或＞1.故的单调递减区间是(－1,1)，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.易错点：字母运算犯错不能正确得到的坐标形式；没能通过简单的心算判断出，使得的展开式中无法消去含有的项.变式与引申4：1.已知平面对量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(),＝＋,且⊥，试求实数的取值范围；2.(山东德州模拟)已知两个向量，.（1）若且，求实数x的值；（2）对写出函数具备的性质.本节重要考查（1）知识点有平面对量的有关概念、加减法的几何意义、向量共线定理、平面对量的基本定理、坐标表示、垂直关系、向量的数量积；（2）演绎推理能力、运算能力、创新意识；（3）函数与方程的思想、数形结合思想和待定系数法.点评（1）掌握平面对量的基础知识，正确地进行向量的各种运算来处理向量与代数的综合应用问题（如例1），要善于利用向量“数”与“形”两方面的特性；（2）向量共线的充要条件中应注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，向量共线的坐标表示不能与向量垂直的坐标表示相混同；（3）了解向量的数量积的定义、运算律、性质并能灵活应用，向量的数量积的成果是实数而不是向量，注意数量积与实数乘法运算律的差异；（4）向量的坐标运算使得向量运算完全代数化，向量与函数、数列、解三角形、不等式等相结合形成了代数的综合问题（如例2、例3、例4），在知识的交汇点处命题来考查了向量的工具性及学生分析问题、处理问题的能力.习题2—31.（广东文数）若向量，，满足条件，则=A.6B.5C.4D.32.（西南师大附中月考）设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是() A.B.C.D.3.（晋城二模）已知向量(m是常数),(1)若是奇函数，求m的值;高考资源网(2)若向量的夹角为中的值，求实数的取值范围.4.（湖北卷理）已知向量，，.（1）求向量的长度的最大值；（2）设且，求的值.5.（郑州四中模拟）已知点集，其中，点列在中，为与轴的公共点，等差数列的公差为1；(1)求数列，的通项公式；(2)若，数列的前项和满足对任意的都成立，试求的取值范围.第四节平面对量与几何的综合应用平面对量与几何的综合应用内容为每年高考必考内容，多以选择题（填空题）形式考查平面对量有关概念的几何意义及与平面几何知识的综合应用，或作为题设条件与解析几何知识综合以解答题形式出现，分值在4-12分左右；难度系数在0.3～0.6之间.考试要求⑴了解平面对量的概念、两个向量平行或共线及相等的几何意义；⑵掌握向量的加减法运算及数乘运算几何意义，了解向量线性运算的性质及其几何意义；⑶了解平面对量基本定理及其意义；⑷了解平面对量的数量积的含义，了解平面对量的数量积与向量投影的关系，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系；⑸会用向量措施处理简单的平面几何问题和简单力学问题及其他某些实际问题.题型一平面对量加减法及数乘运算的几何意义应用例1⑴已知为平面上四点，且，，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O、A、M、B四点共线⑵在中，点在上，平分．若，，，，则()A.B.C.D.点拨：⑴考查了平面对量的加减法运算，利用数乘运算几何意义依照来判断点M的位置：⑵考查向量的基本运算和三角形的角平分线定理，核心在于确定点D在AB上的位置，由角平分线定理得出D为AB的三等分点，结合向量的基本运算求解；解：⑴选B.依照题意知,则，即.由判断出点Ｍ在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上；⑵选B．因为平分，由角平分线定理得，因此Ｄ为AB的三等分点，且，故；易错点：⑴没有依照来判断点M的位置；⑵同学对角平分线定理不熟悉，导致求解犯错.变式与引申1：⑴（湖北卷）已知和点M满足，若存在实数使得成立，则=（）A．2B．3C．4D．5⑵设分别是的三边上的点，且则与()A.反向平行 B.同向平行 C.相互垂直 D.既不平行也不垂直题型二平面对量基本定理及数量积的几何意义应用例2：⑴（江苏泰兴质检）在正六边形中，点是内（包括边界）的动点，若，则的取值范围是；⑵已知，，，，，设，假如，，，那么为何值时，三点在一条直线上？⑶（江苏南通质检）如图2-8，在等腰中，，点分别是的中点，点是（包括边界）内任意一点，则的取值范围是；点拨：⑴利用平面对量基本定理和向量加法的平行四边形法则，通过画图数形结合解出，或者用平面对量基本定理及线性规划的知识来解出；⑵向量个数较多，应选准一对作为基底，利用平面对量共线充要条件列出方程求解；⑶因为，又是向量在的方向上的投影，那么相称于与向量在的方向上的投影的乘积.G图ABCDEF解：⑴措施一，的取值范围是.从特例试一试，当点与重叠时(如图)，确定，过点作和（即和）的平行线得，易知，,G图ABCDEF因此；同理点与重叠时，也能够得；点与重叠时，，因此.措施二，如图建立直角坐标系，设六边形的边长为2，各个顶点的坐标分图xCyFEDABoP别是、、图xCyFEDABoP令，那么,,.由得①，②，二者联立有，.因为点在内（包括边界），因此点必在直线和的下方，同时在直线的上方，求出直线和的方程，依照线性规划知识得到点满足的约束条件是：；把分别换成得；作图验证可知，当点与重叠时，，即；点与重叠时，，即.因此的取值范围是；CABN图MP⑵由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整顿得，①若共线，则可为任意实数；②若不共线，则有，解之得，．因此综上所述，当共线时，则可为任意实数；当不共线时，；CABN图MP⑶因为点是定点，点在（包括边界）内任意移动，因此向量在方向上的投影最长时位于处的，最短时位于处，且为负数，因此，再以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系,得,,,,，,即. 易错点：⑴对平面对量基本定理概念不清楚，利用向量加法进行平行四边形法则作图不到位，判断的取值犯错；⑵不能正确选准一对向量来作为基底去表示，没有对是否共线进行分类讨论；⑶没有认识到的取值范围即为向量在方向上的投影.变式与引申2：⑴已知在平面直角坐标系中，，，O为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是.⑵已知=1，=,,点在内，且=30°，设，则等于（）A.B.3C.D.题型三平面对量与平面几何综合的问题例３：⑴已知中，过重心的直线交于，交边于，设的面积为，的面积为，，，则①，②的取值范围是；⑵（全国卷）已知圆的半径为１，为该圆的两条切线，、为两切点，那么的最小值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．点拨：⑴令通过引入中间变量依照三角形的重心和平面对量的基本定理演算出和之间的关系式；⑵用的三角函数形式表示出，再使用均值不等式得到答案；或者建立适当的坐标系，使用向量数量积的坐标运算形式求解.解：⑴；设因为是△的重心，故，又，，因为与共线，因此，即，又与不共线，APBQGC图因此及，消去APBQGC图①，故；②，那么，当与重叠时，，当位于中点时，，故，故，但因为与不能重叠，故B图PA⑵选D.措施一：如图，令B图PA，令，；措施二：以圆心O的坐标原点，以OP为轴，建立坐标系：圆的方程为，设，，，，由，因此有．易错点：⑴没有正确引入中间变量使得和之间的关系式运算犯错：⑵正确三角形式化简方向偏离正确结构或建立坐标系没有利用得出，难以继续演算．ACBPO图变式与引申3：⑴（合肥一中）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过ACBPO图的()A．外心B．内心C．重心D．垂心⑵如图2-11，半圆的直径，为圆心，是圆弧上不一样于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是；题型四平面对量与圆锥曲线综合的问题例4（北京宣武区二模）已知直线与曲线：交于两点A、B；⑴设，当初，求点P的轨迹方程；⑵是否存在常数，对任意，都有？假如存在，求出的值；假如不存在，阐明理由.⑶对为任意正实数，是否存在常数，都有为常数？假如存在，求出的值；假如不存在，阐明理由.点拨：⑴从分析点的坐标与点的坐标有关联，直线方程与曲线方程联立消，演算出点有关的参数方程，消参数可求点P的轨迹方程；⑵由和根与系数关系式建立方程组，去探究是否存在常数；⑶应当是上一问的引申，遵照了由特殊到一般的探究过程．解：⑴设，则，由消去，得：；依题意有解得：且；，；因此点P的坐标为消去，得：，即，由得，由且，解得或，点P的轨迹方程为（或）；⑵假设存在这么的常数．由消y得：①，及；因为；解得：．当初，，且方程①判别式，因此对任意，A、B两点总存在，故当初，对任意，都有；⑶假设这么的常数存在，对为任意正实数，使为一常数M.即，即，化简得：，对为任意正实数，有，成立，即，出现了矛盾．因此这么的常数不存在．易错点：求出点P的轨迹方程后，没有注意到的取值范围，代数式化简运算犯错．变式与引申4：⑴已知定点(-1,0)和B(1,0)，是圆上的一动点，则的最大值是；最小值是.⑵（辽宁名校）已知、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且，；求椭圆M的方程；②过点的直线（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与轴负半轴的交点，且求实数的取值范围．本节重要考查⑴知识点有平面对量的加减法、向量共线定理、平面对量的基本定理、向量的数量积的几何意义及运算，平面对量平行和垂直位置关系；⑵演绎推理能力、运算能力、创新意识；⑶数形结合思想、函数、不等式思想、分类讨论思想、化归转化思想和应用向量法分析处理问题．点评⑴认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究，掌握平面对量有关概念的几何意义，正确地利用向量的各种运算来处理向量与几何的综合应用问题（如例1、例2），要善于利用向量“数”与“形”两方面的特性；⑵了解向量数量积的定义、运算律、性质几何意义，并能灵活应用处理与向量的夹角、模长和垂直的有关问题；⑶平面对量能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，注意向量在知识的交汇点处命题，要关注平面对量与三角形等平面几何知识相结合的综合问题（如例３）及平面对量作为解析几何问题的已知条件与之交织在一起的综合问题（例４）；⑷平面对量重视考查综合能力，体现了向量的工具性及学生分析问题、处理问题的能力，学生要善于利用向量措施解题，树立利用向量知识解题的意识；⑸知晓三角形五“心”向量形式的充要条件，设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则①为的外心；②为的重心；③为的垂心；④为的内心；⑤为的的旁心；习题２－４1．在△ABC中，若对任意，有，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形2．设P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．3．（荆州模拟）已知A、B、C是直线l上的三点，O是直线l外一点，向量，，满足，求函数)的体现式；４．已知△ABC的周长为6，成等比数列．⑴求的面积S的最大值；⑵求的取值范围．5．（泉州模拟）过抛物线上不一样两点、分别作抛物线的切线相交于点，⑴求点的轨迹方程；⑵已知点，是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请阐明理由.第二讲测试卷一、选择题:本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.将时钟的分针拨慢10分钟，那么此过程中分针通过的弧度数为（）A．B.－C.D.－2．已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点，，，，则向量等于（）A．++B．+-C．-+D．--3.已知：A． B． C． D．4．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重叠，则的最小值为（）A． B. C. D.5.函数y=|sinx|－2sinx的值域是（）A.［－3，－1］ B.［－1，3］ C.［0，3］ D.［－3，0］6．已知eq\o(→,a)＝(sinθ，eq\r(1＋cosθ))，eq\o(→,b)＝(1，eq\r(1－cosθ))，其中θ∈(π，eq\f(3p,2))，则一定有（）A．eq\o(→,a)∥eq\o(→,b) B．eq\o(→,a)⊥eq\o(→,b) C．eq\o(→,a)与eq\o(→,b)夹角为45°D．|eq\o(→,a)|＝|eq\o(→,b)|7．已知向量eq\o(a,→)＝(6，－4)，eq\o(b,→)＝(0，2),eq\o(c,→)＝eq\o(a,→)＋eq\o(b,→)，若C点在函数y＝sineq\f(π,12)x的图象上,实数＝（）A．eq\f(5,2) B．eq\f(3,2) C．－eq\f(5,2) D．－eq\f(3,2)8．对于函数f（x）=给出下列四个命题：①该函数的值域为［－1，1］；②当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值1；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2kπ+π<x<2kπ+（k∈Z）时，f（x）<0.上述命题中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.49.已知，，若，则△ABC是直角三角形的概率为（）A．B．C．D．10.()A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每题5分,共25分．把答案填在题中横线上．11．设函数.若是奇函数，则__________．12.已知向量eq\o(→,m)＝(sin，2cos)，eq\o(→,n)＝(eq\r(3),－eq\f(1,2)).若eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，则sin2的值为____________．13.设是两个不共线的向量，，若三点共线，则的值为____________________.14.已知=4,=3,=61.在中，=,=,则的内角A的度数是.15．设eq\o(→,a)=（1+cosα，sinα），eq\o(→,b)=（1－cosβ，sinβ），eq\o(c,→)=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），eq\o(→,a)与eq\o(c,→)的夹角为θ1，eq\o(→,b)与eq\o(c,→)的夹角为θ2，且θ1－θ2=eq\f(π,6)，则sineq\f(α-β,4)的值．三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字的阐明，证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)．已知向量，．（1）当，且时，求的值；（2）当，且∥时，求的值．17．(本题满分12分)在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量eq\o(→,m)＝(1，2sinA)，eq\o(→,n)＝(sinA，1＋cosA)，满足eq\o(→,m)∥eq\o(→,n)，b＋c＝eq\r(3)a.(1)求A的大小；(2)求sin(B＋eq\f(,6))的值．18.(本题满分12分)已知eq\o(→,a)＝(cosx＋sinx，sinx)，eq\o(→,b)＝(cosx－sinx，2cosx).（1）求证：向量eq\o(→,a)与向量eq\o(→,b)不也许平行；（2）若f(x)＝eq\o(→,a)·eq\o(→,b)，且x∈[－eq\f(,4),eq\f(,4)]时，求函数f(x)的最大值及最小值．19.(本题满分12分)已知ΔABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知2（sin2A-sin2C）=(a-b)