人教A版必修第二册624向量的数量积作业

课时作业（五）向量的数量积

一'选择题

1.平面对量a,b,|a|=l,步|=小，且|2〃+"=巾，那么向量a

与向量a+方的夹角为（）

71「兀

A.2B.

C.76D.71

答案：B

解析：,.,|2a+》F=（2a+，）2=4|a|2+4a.b+|5|2=7,|a|=1,步|=5,

.*.4+4a-ft+3=7,a・b=O,...aJ■\如下图，a与a+Z»的夹角为NCOA,

A

**tanNCOA==y[3,

兀71

/.ACOA=y即a与a+b的夹角为

2.（多项选择）以下命题中，正确的选项是（）

A.对于任意向量a,b,有|a+b|W|a|+步|

B.假设a/=0,那么a=0或5=0

C.对于任意向量a,b,有|a创W|a||b|

D.假设a,b共线，那么a仍=±|a||b|

答案：ACD

解析：由向量加法的三角形法那么可知选项A正确；当a_L方时，

ab=0,应选项B错误;由于|a创=|a||b||cos6|W|a||回，应选项C正确;

当a,共线同向时,a-&=|a||Z>|cos0°=|a||Z>|,当a,方共线反向时,ab

=同步|cos180°=一同|回，所以选项D正确.应选ACD.

3.在Rt/VLBC中，ZC=90°,AC=4,那么A6AC=（）

A.-16B.-8

C.8D.16

答案：D

解析：解法一：由于，

cosA=/1ind

—►―►—►-►

故ABACnlABHACIcosAnAGnlG,应选D.

—►—►—►—►—►―►—►-►

解法二：AB在AC上的投影为|A为故A8AC=HCH4B

|-cosA=AC2=16,应选D.

—►—►-►

4.\AB\=6,|AC|=4,那么|8C|的取值范围为（）

A.（2,8）B.[2,8]

C.（2,10）D.[2,10]

答案：D

—►—►-►

解析：\BC\=\AC-AB\,

—►—►—►—►—►-►

||AB|-|AC||\AC-AB\\AB\+\AC\,

-►

.,.|BQe[2,10],应选D.

5.定义：|aXb|=|a|向sin。，其中6为向量。与力的夹角，假设

\a\=2,|。|=5,ab——6,那么|aXA|等于（）

A.8B.-8

C.8或一8D.6

答案：A

缸+ue八ab-63,

解析:cos-\a\\b\~2X5~~5

44

V6>G[0,K],.•.sine=5,.\|aX臼=2X5XgA.

二、填空题

6.向量a,b,其中⑷=小，|臼=2,且（a—那么向量a

和b的夹角是,0（。+〃）=.

答案：6

解析：由题意，设向量G,8的夹角为。.由于同|加=2,且

(a-b)-La,所以(“一5>a=|a|2—a巧=|a|2一同|臼cos9=3—24・cos0=

'ATT

0,解得cos。=2'•又由于OWOWTT,所以e=4.那么a-(a+A)=|aF+

|«||Z>|-cos6=3+2小义多=6.

―►―►

7.在△ABC中，4B=AC=4,ABAC=8,那么△ABC的外形是

-►-A

,ABBC=.

答案：等边三角形一8

—►—►―►―►

解析：ABAC=\AB\\AC\cosZBAC,

即8=4X4cosN氏4C,于是cosN氏4C=；,

由于0°<NBAC<180°,所以NBAC=60°.

又A6=4C,故△ABC是等边三角形.

—►—►—►-►

此时A8BC=|A3||BC|cos120°=—8.

三'解答题

―►-►

8.如图，在平行四边形ABCQ中，|A8|=4,|AZ)|=3,/DAB=

60°.

-►-►

求：(l)ADBC；

—>―►

(2)ABCD；

―►-►

(3)ABDA.

―►—►-►

解:(1)ADBC=|AD|2=9.

(2)ABCO=—|的2=-16.

(3)ABDA=|AB||DA|cos(l80°—60°)

=4X3X^—^=—6.

9.\a\=4,网=3,(2a—3)>(2a+力=61.

⑴求|a+J；

(2)求向量G在向量a+方方向上的投影.

解:⑴•••(2a-3b>(2a+!)=61,

.*.4|a|2-4ab—3|Z>|2=61.

V\a\=4,\b\=3,：.ab=~6,

'.\a-\~b\=，同2+|肝+2a6

=^/42+32+2X(-6)=713.

(2)Va-(a+Z>)=|«|2+a-Z>=42—6=10,

，向量a在向量a-\-b方向上的投影为

__io__IOJB

\a+b\=V13=13,

10.设两个向量d，e2满意期|=2,|e2|=hei,e2的夹角为60。,

假设向量2®+7e2与e,+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

解：当夹角为三时,也有(23+7e2>(ei+fe2)<0,

但此时夹角不是钝角.

设2®+7。2=2(€1+数2)，2<0,

2，二九(X=—y[l4,

那么17=力，所以彳__亚

工<0,[t=~2-

由向量2a+7及与4+%2的夹角0为钝角,

(2®+7e2>®+%2)

得cos0—<0,

|2®+7e2||ei+他2|

所以（2收1+702＞（。1+拊2）＜0,

化简得23+15，+7＜0,

解得一7<f<—

所以所求实数，的取值范围是

17,一咽/乎，一夕

11.平面上三个向量。，b,C的模均为1,它们相互之间的夹角

为120°.

(1)求证：(«—Z>)±c；

(2)假设|履+8+c|>l(Z£R),求攵的取值范围.

(1)证明：证法一：,.,|。|=|m=匕|=1且a,b,c之间的夹角均为

120°,

(a—byc=a'C—b'C

=|a||c|cos120°一例c|cos120o=0./.(a-*)±c.

—■>—■►—>

证法二：如以下图，设OA=a,OB=b,OC—c.

由题意可知，连接AbAC,BC的三条线段围成正三角形ABC,

0为△ABC的中心，：.OC±AB.

—►

又,.,区4=4—b,(a—Z>)_Lc.

(2)解:'：\ka+b+c\>\,

(An+，+c>(Aa+b+c)>l,

即Z?«2+ft2+c2+2An-Z>+2Azz-c+2Z>-ol.

ab=ac=bc=cos120°=-g,

"—2k>0.

解得RO或k>2,

即2的取值范围是(一8,0)U(2,+8).

12.向量a,b,c满意⑷="\/Tb,\b\=y[5,ab=—5,c=xa+(l

~x)b.

(1)假设求实数％的值；

(2)当|c|取最小值时，求向量。与c的夹角的余弦值.

解：(1)当l_Lc时,bc=O,

即bc=xab~\-(l—x)b2=O,

一5%+5(1—％)=0,

解得％=