2021届数学新高考小题 (十)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练(10)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

L设集合A={x|lnx<l},8={尤,2_4x—12N()},则AD(CRB)=()

A.(-oo,6)B.(-2,6)c.(0,6]D.(0,e)

【答案】B

【解析】

【分析】

分别解出集合A,集合B以及集合B的补集，然后对集合A和集合B的补集取并集即可.

[详解】集合A={x|lnx<1}={x|lnx<Ine}={x[O<x<e},

6=卜产-4x-i2Nt)}={目(％—6)(》+2)20}={x|—2或xN6},

CRB={xI-2<x<6},则AD(CR8)={x|-2cx<6}=(-2,6)

故选：B

【点睛】本题考查集合的并集补集运算，考查对数不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题.

1+Z

2.已知复数z=l+i,彳为Z的共轨复数，则——=()

Z

3+i1+il-3il+3i

A.——B.C.D.

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

求出直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.

_1+z2+i_(2+z)(l+0_1+3/

详解】=-

z1-z22

故选：D

【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共辄复数，属于基础题目.

3.马林・梅森(MarinMersenne,1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位

独特的中心人物.梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2。-1作了大量的计算、验证工作，人们为纪念

梅森在数论方面的这一贡献，将形如2，'-1(其中，是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，

随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是()

51c

A.-6-

【分析】

可知不超过40的素数有12个，梅森素数有3个，求出随机取两个数的种数，求出至少有一个为梅森素数的

种数，即可得出概率.

【详解】可知不超过40的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，

其中梅森素数有3,7,37共3个，

则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有=66种，

其中至少有一个为梅森素数有C；C；+=30利

305

所以至少有一个为梅森素数的概率是P=H=.

66711V

故选：A.

【点睛】本题考查古典概型概率的求解，属于基础题.

4.已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布^(453,992),估计这些考

生成绩落在(552,651］的人数约为()

(附：Z〜则P(//-cr<ZW4+(T)=0.6827,P(/.z-2cr<Z<//+2CT)=0.9545)

A.36014B.72027C.108041D.168222

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可求出P(354<Z<552)=0.6827,P(255<Z<651)=0.9545,即可由此求出

P(552<Z<651),进而求出成绩落在(552,651］的人数.

【详解】•:Z~N(453,99?),〃=453,b=99,

P(354<Z<552)=0.6827,P(255<Z<651)=0.9545,

...P(552<Z.651)=P(255<Z«651)“(354<Z4552)=0.9545-0.6827=QB59

这些考生成绩落在(552,651］的人数约为53(XXX)x0.1359=72027.

故选：B.

【点睛】本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.

5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数''问题的

解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,

因而西方称之为“中国剩余定理此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除

余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列（«„},则该数列共有（）

A.100项B.101项C.102项D.103项

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出数列的通项公式，然后根据通项公式进行求解项数.

【详解】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1,

所以按从小到大的顺序排成一列可得4=10〃-9,

由4=10〃-941009,得〃W101.8,故此数列的项数为101.

故选:B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，属于容易题，侧重考查数学运算的

核心素养.

6.已知AA6c中，A5=4，AC=40，BC=8,动点P自点。出发沿线段CB运动，到达点3时停

止，动点。自点8出发沿线段运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出

发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中福•福的最大值是（）

749

A.—B.4C.—D.23

22

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意诙=一2而，AB1AC,ZABC=60,ZACB=30,故/.而=（恁+而）与+的），展

开可得关于「耳的一元二次函数，配方，即可求得衣•豆的最大值.

【详解】AABC中，AB=4,AC=4也,BC=8,

/.AB2+AC2=BC2,:.AB±AC,ZABC=60,ZACS=30.

由题意通=一2而，

：.7^-^Q=[AC+CP^\AB+BQ^=ACAB+ACBQ+CPAB+CPBQ

=0+|Ac||-2Cjp|cos30C1+|CP||AB|COS60°+|GP||-2CP|cos180。

=4百x2同x#+1司x4x92阿

・・・当J。耳=(时，Q.而取得最大值，最大值为日.

故选：C.

【点睛】本题考查平面向量的数量积，属于基础题.

7.已知直线丫=匕+力恒在函数y=In(x+4)的图象的上方，则，的取值范围是()

K

A.(3,+0O)B.C.(-CO,3)D.[3,4-00)

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意构造新函数，然后利用导函数讨论函数的单调性，由函数的最值讨论计算即可确定9的取值范围.

k

【详解】很明显出>0,

否则k<o时，函数丫=丘+匕单调递减，且x->«>o时yfY0,

而y=ln(x+4)当xf+20时yf+8,不合题意，

女=0时函数丫=履+匕为常函数，

而y=ln(x+4)当xf+ao时yf+8,不合题意，

当%>0时，构造函数"(x)=(Ax+0)-ln(x+4),

由题意可知"(x)>0恒成立，注意到：H\x)=k--匚="+41,

据此可得，函数在区间(-4,上的单调递减，在区间[：-4,+8)上单调递增,

则：”(x)疝n="=1-4Z+/?+lnZ〉0,

.,,〔IbInZ:+1

故人>-1+4%-In%,—>4A-------，

kk

构造函数g(%)=4-■1^”，则/(%)=臂，还是g,)在左=1处取得极值，

KK

bh

结合题意可知：?>g(l)=3,即菅的取值范围是(3,+8).

KK

故选：A.

【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在

考查学生的转化能力和计算求解能力.

8.已知加wR,过定点A的动直线mx+y=O和过定点3的动直线x一冲一根+3=0交于点p,则

1pAi+g|P8|的取值范围是()

A.(而,2而]B.(710,730]

C.[710,730)D.[何,2啊

【答案】D

【解析】

【分析】

动直线〃?x+y=0过定点A(0,0),动直线x—m)，—加+3=0过定点3(-3,-1),且此两条直线垂直，因

此点P在以AB为直径的圆上，|48|=V10,设NABP=。，则|PA|=布sin4|P81=Ji。cos6,。曰0,g],

代入+中利用正弦函数的性质可得结果.

【详解】动直线如+y=o过定点4(0,0),动直线x-阳一"2+3=0

即x+3-m(y+l)=0过定点3(-3,—1),且此两条直线垂直.

.•.点尸在以A8为直径的圆上，|AB|=jF+32=回,,

设/ABP=e,贝“PA|=ViUsina|P8|=ViUcose,9e[0,y]

PA|+拘PB|=厢sin6+炳cos0=2Msin16+,

.7171TC571

40,—]»0+—G[—,—J,

2336

sin(0+—)G[—»1],

A2^sinl+yje[Vio>2而],

【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与

计算能力，属于中档题.

二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.若。〉0,。＞0,且。+。=4,则下列不等式恒成立的是（）

A.0<—<-B.\[ab<2

ah4

C.D.

ab占4

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据均值不等式及不等式的性质分析即可求解.

【详解】A选项由丝2=2知因为a匕＞0,所以」-N，,当且仅当a=0=2时等号成

2ab4

立，故A选项错误；

B选项，因为而〈虫也=2,当且仅当a=匕=2时等号成立，故B选项错误；

2

C选项，—I—22>2x-=l当且仅当。=b=2时等号成立，故C正确;

ab2

D选项，由@弛1=8,当且仅当。=^=2时等号成立，所以21，正确,

2a2+b28

故选：CD

【点睛】本题主要考查了均值不等式，重要不等式的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.

10.将函数/(x)=cos(0x-?(0>0)的图象向右平移|■个单位长度后得到函数g(x)的图象，且

g(O)=-l,则下列说法正确的是()

A.g(x)为奇函数

C.当◎=5时，g(x)在(0,兀)上有4个极值点

1T

D.若g(x)在0,-上单调递增，则3的最大值为5

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用题目已知条件，求出。，再结合三角函数的性质即可得出答案.

【详解】/(x)=cosj=sin>0)

JI

・,.g(x)=sin69(x--),且g(0)=-l,

——co—一万)万(&wZ),即G=1—4A为奇数，

JI

g(x)=sina)(x--)=±cos&x为偶函数，故A错.

由上得：。为奇数，,g(-])=士cos(一等)=0,故B对.

由上得，当0=5时，g(x)=sin(5x---)=-cos5x,7=彳,由图像可知g(x)在(0,兀)上有4个极值

点，故C对,

兀T7T

••,g（尤）在0,1上单调,所以^一04一=々，解得:0<«<5,又：啰=1—4%,

52co

二。的最大值为5,故D对

故选：BCD.

【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间，属于难题.

22

11.已知双曲线c：三一匕二1,过其右焦点厂的直线/与双曲线交于两点A、B,则（）

916

4

A.若A、8同在双曲线的右支，贝IJ/的斜率大于§

B.若A在双曲线的右支，则|用|最短长度为2

c.的最短长度为方

D.满足|A3|=11的直线有4条

【答案】BD

【解析】

【分析】

设直线/的方程为x=2y+5,设点4（石,凹）、将直线/的方程与双曲线C的方程联立，利用

判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误.

【详解】易知双曲线。的右焦点为/（5,0）,

设点A（%，X）、3（%,三），设直线/的方程为x=my+5,

当时，直线/的斜率为2=工,

m

x=my+5

联立《，消去x并整理得(16加2-9)/+l60my+256=0.

16x2-9/=144

16〉一9#03

A=1602/H2-4X256(16m2-9)=962(m2+l)>04

对于A选项，当m=0时，直线/_Lx轴，则A、3两点都在双曲线的右支上，此时直线/的斜率不存在,

A选项错误；

对于B选项，I|E4]inu.n=c—<2=5—3=2,B选项正确；

3?

对于C选项，当直线/与X轴重合时，恒却=2〃=6<§,C选项错误;

对于D选项，当直线/与x轴重合时，|AB|=2a=6H11；

160/篦256

当直线/与x轴不重合时,由韦达定理得y+必=—

16〃/一9

由弦长公式可得

,——-,,）——-r-------------96（/+1）6（16疗+16）

+必_%=4+"4（M+%）--4y必=马二（=I”，&="，解得

16/21-916m-9

-叵或m=±叵.

468

故满足|AB|=11的直线有4条，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达

定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.

12.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AA=AC=2,AB=3,N84C=90°，点O,E分别是线段

ECDC

BC,5。上的动点（不含端点），且则下列说法正确的是（）

n）CJDC

A.ED〃平面4CG

B.四面体A—BZ汨的体积是定值

C.异面直线gc与A4所成角的正切值为巫

2

4

D.二面角A—EC—。的余弦值为一

13

【答案】ACD

【解析】

【分析】

说明四边形BCC#是矩形，然后证明ED//BB]//A%,推出西〃平面ACC,,判断A；设ED=m,

然后求解四面体A—的体积可判断B；说明异面直线用。与A4所成角为28用。，然后求解三角形,

判断C；利用空间向量求解二面角A-EC—。的余弦值

【详解】解：对于A,在直三棱柱ABC-A4G中，四边形8CGM是矩形，

ECDC

因为=所以ED〃BB|〃AA|，

D|CDC

所以&)〃平面ACCi所以A正确;

对于B,设ED=m,因为N84C=90°,=AC=2,AB=3,

所以6C=J22+32=屈，

DEDCDEBC_y[\3m

因为即〃8月，所以入7="，所以DC=

£>£>)£>CBB、2

所以80=屈_孕，所以S_旧――2^x1x2x3-3a根)'

2TABD而--x-xZx5-5[l--)

I4,1

四面体A—BDE的体积为一x3(l--}m=m一一病,所以四面体A—8DE的体积不是定值，所以B错误;

322

对于C,因为〃A4,所以异面直线B©与AA,所成角为NBB]C,在RMB^C中，B1B=2,BC=屈,

所以tanNB8C=gg=巫，所以C正确；

1BB12

对于D,如图，以A为坐标原点，以AB,AC,AA所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0),5(3,0,0),C(0,2,0),B,(3,0,2),

所以航=(0,2,0),砥=(3,0,2),

设平面AqC的一个法向量为3=(*,%z),则

n-AC=2y=0_

______,令x=2,则z=—3,所以〃=(2,(),—3),

n-AB]=3x+2z=0

同理可求得平面84c的一个法向量为送=(2,3,0),

2x24

所以二面角A-EC—。的余弦值为-7=~/==—,所以D正确,

J13xJ1313

故选：ACD

【点睛】此题考查立体几何中的关每次和计算，二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，属于中

档题

三.填空题：

13.高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排

在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有_____种.

【答案】9

【解析】

【分析】

分三类考虑，语文安排在第二节，语文安排在第三节，语文安排在第四节，分别求出各类的安排方法，相加

即可.

【详解】第一类：语文安排在第二节，

若数学安排在第一节，则英语安排在第四节,体育安排在第三节；

若数学安排在第三节，则英语安排在第四节，体育安排在第一节；

若数学安排在第四节，则英语安排在第一节,体育安排在第三节；

第二类：语文安排在第三节，

若英语安排在第一节，则数学安排在第四节,体育安排在第二节；

若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节；

若英语安排在第四节，则数学安排在第一节,体育安排在第二节；

第三类：语文安排在第四节，

若体育安排在第一节，则英语安排在第二节,数学安排在第三节；

若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节；

若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节；

所以共有9种方案.

故答案为：9.

【点睛】本题考查有限制的元素排列问题，属于基础题.

14.已知四面体A-3c。中，AB=CZ)=石，AC=BD=®，BC=AD=>fB，则其外接球的体积

为.

【答案】冬叵兀

3

【解析】

【分析】

由题意可采用割补法，构造长宽高分别x,y,z的长方体，其面对角线分别为6,屈,屈

解出x,y,z,求长方体的体对角线即可.

【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为逐,质,屈，

则四面体A-BCD的外接球即为此长方体的外接球,

设长方体的长宽高分别x,y,z,外接球半径为R

则x?+y2-5,y2+z2=10,x2+z2=13,

所以f+丁=5,y2+z2=10,%2+Z2=13,

则x2+y2+z2=14=QA)2,解得R

2

二匚4乃八375/14

所以v=-R3=----

33

故答案为：7^^71

3

【点睛】本题主要考查了球的内接四面体的性质，考查了构造法求球的半径，球的体积公式，属于中档题.

sinl0｛%｝的前«项的和记为s,则乎

15.已知数列也｝满足4n

cosricos(?2-l)»30

【答案】3

【解析】

【分析】

a

利用两角差的正弦公式化简得出an=-tan(n-l)°+tann,可求得S“，进而可计算得出黄的值.

、30

【详解】

sin1