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文档简介
2021届新高考“8+4+4”小题狂练(10)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
L设集合A={x|lnx<l},8={尤,2_4x—12N()},则AD(CRB)=()
A.(-oo,6)B.(-2,6)c.(0,6]D.(0,e)
【答案】B
【解析】
【分析】
分别解出集合A,集合B以及集合B的补集,然后对集合A和集合B的补集取并集即可.
[详解】集合A={x|lnx<1}={x|lnx<Ine}={x[O<x<e},
6=卜产-4x-i2Nt)}={目(%—6)(》+2)20}={x|—2或xN6},
CRB={xI-2<x<6},则AD(CR8)={x|-2cx<6}=(-2,6)
故选:B
【点睛】本题考查集合的并集补集运算,考查对数不等式和一元二次不等式的解法,属于基础题.
1+Z
2.已知复数z=l+i,彳为Z的共轨复数,则——=()
Z
3+i1+il-3il+3i
A.——B.C.D.
2222
【答案】D
【解析】
【分析】
求出直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.
_1+z2+i_(2+z)(l+0_1+3/
详解】=-
z1-z22
故选:D
【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算,共辄复数,属于基础题目.
3.马林・梅森(MarinMersenne,1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位
独特的中心人物.梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2。-1作了大量的计算、验证工作,人们为纪念
梅森在数论方面的这一贡献,将形如2,'-1(其中,是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过40的素数中,
随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是()
51c
A.-6-
【分析】
可知不超过40的素数有12个,梅森素数有3个,求出随机取两个数的种数,求出至少有一个为梅森素数的
种数,即可得出概率.
【详解】可知不超过40的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个,
其中梅森素数有3,7,37共3个,
则在不超过40的素数中,随机选取两个不同的数共有=66种,
其中至少有一个为梅森素数有C;C;+=30利
305
所以至少有一个为梅森素数的概率是P=H=.
66711V
故选:A.
【点睛】本题考查古典概型概率的求解,属于基础题.
4.已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布^(453,992),估计这些考
生成绩落在(552,651]的人数约为()
(附:Z〜则P(//-cr<ZW4+(T)=0.6827,P(/.z-2cr<Z<//+2CT)=0.9545)
A.36014B.72027C.108041D.168222
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可求出P(354<Z<552)=0.6827,P(255<Z<651)=0.9545,即可由此求出
P(552<Z<651),进而求出成绩落在(552,651]的人数.
【详解】•:Z~N(453,99?),〃=453,b=99,
P(354<Z<552)=0.6827,P(255<Z<651)=0.9545,
...P(552<Z.651)=P(255<Z«651)“(354<Z4552)=0.9545-0.6827=QB59
这些考生成绩落在(552,651]的人数约为53(XXX)x0.1359=72027.
故选:B.
【点睛】本题考查正态分布的相关概率计算,属于基础题.
5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数''问题的
解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,
因而西方称之为“中国剩余定理此定理讲的是关于整除的问题,现将1到1009这1009个数中,能被2除
余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列(«„},则该数列共有()
A.100项B.101项C.102项D.103项
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出数列的通项公式,然后根据通项公式进行求解项数.
【详解】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1,
所以按从小到大的顺序排成一列可得4=10〃-9,
由4=10〃-941009,得〃W101.8,故此数列的项数为101.
故选:B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,熟记公式是求解的关键,属于容易题,侧重考查数学运算的
核心素养.
6.已知AA6c中,A5=4,AC=40,BC=8,动点P自点。出发沿线段CB运动,到达点3时停
止,动点。自点8出发沿线段运动,到达点C时停止,且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出
发,且一个点停止运动时,另一个点也停止,则该过程中福•福的最大值是()
749
A.—B.4C.—D.23
22
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意诙=一2而,AB1AC,ZABC=60,ZACB=30,故/.而=(恁+而)与+的),展
开可得关于「耳的一元二次函数,配方,即可求得衣•豆的最大值.
【详解】AABC中,AB=4,AC=4也,BC=8,
/.AB2+AC2=BC2,:.AB±AC,ZABC=60,ZACS=30.
由题意通=一2而,
:.7^-^Q=[AC+CP^\AB+BQ^=ACAB+ACBQ+CPAB+CPBQ
=0+|Ac||-2Cjp|cos30C1+|CP||AB|COS60°+|GP||-2CP|cos180。
=4百x2同x#+1司x4x92阿
・・・当J。耳=(时,Q.而取得最大值,最大值为日.
故选:C.
【点睛】本题考查平面向量的数量积,属于基础题.
7.已知直线丫=匕+力恒在函数y=In(x+4)的图象的上方,则,的取值范围是()
K
A.(3,+0O)B.C.(-CO,3)D.[3,4-00)
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意构造新函数,然后利用导函数讨论函数的单调性,由函数的最值讨论计算即可确定9的取值范围.
k
【详解】很明显出>0,
否则k<o时,函数丫=丘+匕单调递减,且x->«>o时yfY0,
而y=ln(x+4)当xf+20时yf+8,不合题意,
女=0时函数丫=履+匕为常函数,
而y=ln(x+4)当xf+ao时yf+8,不合题意,
当%>0时,构造函数"(x)=(Ax+0)-ln(x+4),
由题意可知"(x)>0恒成立,注意到:H\x)=k--匚="+41,
据此可得,函数在区间(-4,上的单调递减,在区间[:-4,+8)上单调递增,
则:”(x)疝n="=1-4Z+/?+lnZ〉0,
.,,〔IbInZ:+1
故人>-1+4%-In%,—>4A-------,
kk
构造函数g(%)=4-■1^”,则/(%)=臂,还是g,)在左=1处取得极值,
KK
bh
结合题意可知:?>g(l)=3,即菅的取值范围是(3,+8).
KK
故选:A.
【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值,导数研究函数的单调性,等价转化的数学思想等知识,意在
考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.已知加wR,过定点A的动直线mx+y=O和过定点3的动直线x一冲一根+3=0交于点p,则
1pAi+g|P8|的取值范围是()
A.(而,2而]B.(710,730]
C.[710,730)D.[何,2啊
【答案】D
【解析】
【分析】
动直线〃?x+y=0过定点A(0,0),动直线x—m),—加+3=0过定点3(-3,-1),且此两条直线垂直,因
此点P在以AB为直径的圆上,|48|=V10,设NABP=。,则|PA|=布sin4|P81=Ji。cos6,。曰0,g],
代入+中利用正弦函数的性质可得结果.
【详解】动直线如+y=o过定点4(0,0),动直线x-阳一"2+3=0
即x+3-m(y+l)=0过定点3(-3,—1),且此两条直线垂直.
.•.点尸在以A8为直径的圆上,|AB|=jF+32=回,,
设/ABP=e,贝“PA|=ViUsina|P8|=ViUcose,9e[0,y]
PA|+拘PB|=厢sin6+炳cos0=2Msin16+,
.7171TC571
40,—]»0+—G[—,—J,
2336
sin(0+—)G[—»1],
A2^sinl+yje[Vio>2而],
【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查正弦函数的性质,考查推理能力与
计算能力,属于中档题.
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.若。〉0,。>0,且。+。=4,则下列不等式恒成立的是()
A.0<—<-B.\[ab<2
ah4
C.D.
ab占4
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据均值不等式及不等式的性质分析即可求解.
【详解】A选项由丝2=2知因为a匕>0,所以」-N,,当且仅当a=0=2时等号成
2ab4
立,故A选项错误;
B选项,因为而〈虫也=2,当且仅当a=匕=2时等号成立,故B选项错误;
2
C选项,—I—22>2x-=l当且仅当。=b=2时等号成立,故C正确;
ab2
D选项,由@弛1=8,当且仅当。=^=2时等号成立,所以21,正确,
2a2+b28
故选:CD
【点睛】本题主要考查了均值不等式,重要不等式的应用,考查了不等式等号成立的条件,属于中档题.
10.将函数/(x)=cos(0x-?(0>0)的图象向右平移|■个单位长度后得到函数g(x)的图象,且
g(O)=-l,则下列说法正确的是()
A.g(x)为奇函数
C.当◎=5时,g(x)在(0,兀)上有4个极值点
1T
D.若g(x)在0,-上单调递增,则3的最大值为5
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用题目已知条件,求出。,再结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】/(x)=cosj=sin>0)
JI
・,.g(x)=sin69(x--),且g(0)=-l,
——co—一万)万(&wZ),即G=1—4A为奇数,
JI
g(x)=sina)(x--)=±cos&x为偶函数,故A错.
由上得:。为奇数,,g(-])=士cos(一等)=0,故B对.
由上得,当0=5时,g(x)=sin(5x---)=-cos5x,7=彳,由图像可知g(x)在(0,兀)上有4个极值
点,故C对,
兀T7T
••,g(尤)在0,1上单调,所以^一04一=々,解得:0<«<5,又:啰=1—4%,
52co
二。的最大值为5,故D对
故选:BCD.
【点睛】本题考查了三角函数的平移变换,奇偶性,极值点,单调区间,属于难题.
22
11.已知双曲线c:三一匕二1,过其右焦点厂的直线/与双曲线交于两点A、B,则()
916
4
A.若A、8同在双曲线的右支,贝IJ/的斜率大于§
B.若A在双曲线的右支,则|用|最短长度为2
c.的最短长度为方
D.满足|A3|=11的直线有4条
【答案】BD
【解析】
【分析】
设直线/的方程为x=2y+5,设点4(石,凹)、将直线/的方程与双曲线C的方程联立,利用
判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误.
【详解】易知双曲线。的右焦点为/(5,0),
设点A(%,X)、3(%,三),设直线/的方程为x=my+5,
当时,直线/的斜率为2=工,
m
x=my+5
联立《,消去x并整理得(16加2-9)/+l60my+256=0.
16x2-9/=144
16〉一9#03
A=1602/H2-4X256(16m2-9)=962(m2+l)>04
对于A选项,当m=0时,直线/_Lx轴,则A、3两点都在双曲线的右支上,此时直线/的斜率不存在,
A选项错误;
对于B选项,I|E4]inu.n=c—<2=5—3=2,B选项正确;
3?
对于C选项,当直线/与X轴重合时,恒却=2〃=6<§,C选项错误;
对于D选项,当直线/与x轴重合时,|AB|=2a=6H11;
160/篦256
当直线/与x轴不重合时,由韦达定理得y+必=—
16〃/一9
由弦长公式可得
,——-,,)——-r-------------96(/+1)6(16疗+16)
+必_%=4+"4(M+%)--4y必=马二(=I”,&=",解得
16/21-916m-9
-叵或m=±叵.
468
故满足|AB|=11的直线有4条,D选项正确.
故选:BD.
【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题,考查了直线与双曲线的交点个数,弦长的计算,考查了韦达
定理设而不求法的应用,考查计算能力,属于中等题.
12.如图,在直三棱柱ABC-A4G中,AA=AC=2,AB=3,N84C=90°,点O,E分别是线段
ECDC
BC,5。上的动点(不含端点),且则下列说法正确的是()
n)CJDC
A.ED〃平面4CG
B.四面体A—BZ汨的体积是定值
C.异面直线gc与A4所成角的正切值为巫
2
4
D.二面角A—EC—。的余弦值为一
13
【答案】ACD
【解析】
【分析】
说明四边形BCC#是矩形,然后证明ED//BB]//A%,推出西〃平面ACC,,判断A;设ED=m,
然后求解四面体A—的体积可判断B;说明异面直线用。与A4所成角为28用。,然后求解三角形,
判断C;利用空间向量求解二面角A-EC—。的余弦值
【详解】解:对于A,在直三棱柱ABC-A4G中,四边形8CGM是矩形,
ECDC
因为=所以ED〃BB|〃AA|,
D|CDC
所以&)〃平面ACCi所以A正确;
对于B,设ED=m,因为N84C=90°,=AC=2,AB=3,
所以6C=J22+32=屈,
DEDCDEBC_y[\3m
因为即〃8月,所以入7=",所以DC=
£>£>)£>CBB、2
所以80=屈_孕,所以S_旧――2^x1x2x3-3a根)'
2TABD而--x-xZx5-5[l--)
I4,1
四面体A—BDE的体积为一x3(l--}m=m一一病,所以四面体A—8DE的体积不是定值,所以B错误;
322
对于C,因为〃A4,所以异面直线B©与AA,所成角为NBB]C,在RMB^C中,B1B=2,BC=屈,
所以tanNB8C=gg=巫,所以C正确;
1BB12
对于D,如图,以A为坐标原点,以AB,AC,AA所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则
A(0,0,0),5(3,0,0),C(0,2,0),B,(3,0,2),
所以航=(0,2,0),砥=(3,0,2),
设平面AqC的一个法向量为3=(*,%z),则
n-AC=2y=0_
______,令x=2,则z=—3,所以〃=(2,(),—3),
n-AB]=3x+2z=0
同理可求得平面84c的一个法向量为送=(2,3,0),
2x24
所以二面角A-EC—。的余弦值为-7=~/==—,所以D正确,
J13xJ1313
故选:ACD
【点睛】此题考查立体几何中的关每次和计算,二面角的平面角的求法,异面直线所成角的求法,属于中
档题
三.填空题:
13.高三一班周一上午有四节课,分别安排语文、数学、英语和体育.其中语文不安排在第一节,数学不安排
在第二节,英语不安排在第三节,体育不安排在第四节,则不同的课表安排方法共有_____种.
【答案】9
【解析】
【分析】
分三类考虑,语文安排在第二节,语文安排在第三节,语文安排在第四节,分别求出各类的安排方法,相加
即可.
【详解】第一类:语文安排在第二节,
若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节;
若数学安排在第三节,则英语安排在第四节,体育安排在第一节;
若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节;
第二类:语文安排在第三节,
若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节;
若英语安排在第二节,则数学安排在第四节,体育安排在第一节;
若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节;
第三类:语文安排在第四节,
若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节;
若体育安排在第二节,则英语安排在第一节,数学安排在第三节;
若体育安排在第三节,则英语安排在第二节,数学安排在第一节;
所以共有9种方案.
故答案为:9.
【点睛】本题考查有限制的元素排列问题,属于基础题.
14.已知四面体A-3c。中,AB=CZ)=石,AC=BD=®,BC=AD=>fB,则其外接球的体积
为.
【答案】冬叵兀
3
【解析】
【分析】
由题意可采用割补法,构造长宽高分别x,y,z的长方体,其面对角线分别为6,屈,屈
解出x,y,z,求长方体的体对角线即可.
【详解】如图,构造长方体,其面对角线长分别为逐,质,屈,
则四面体A-BCD的外接球即为此长方体的外接球,
设长方体的长宽高分别x,y,z,外接球半径为R
则x?+y2-5,y2+z2=10,x2+z2=13,
所以f+丁=5,y2+z2=10,%2+Z2=13,
则x2+y2+z2=14=QA)2,解得R
2
二匚4乃八375/14
所以v=-R3=----
33
故答案为:7^^71
3
【点睛】本题主要考查了球的内接四面体的性质,考查了构造法求球的半径,球的体积公式,属于中档题.
sinl0{%}的前«项的和记为s,则乎
15.已知数列也}满足4n
cosricos(?2-l)»30
【答案】3
【解析】
【分析】
a
利用两角差的正弦公式化简得出an=-tan(n-l)°+tann,可求得S“,进而可计算得出黄的值.
、30
【详解】
sin1
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