高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.3平面向量的应用(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题6.3平面向量的应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.以平面图形为载体，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与三角函数、向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．3．与平面几何问题相结合，考查平面向量基本定理、数量积等的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】平面向量与平面几何1.向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．（二）平面向量与解析几何向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．（三）平面向量与三角函数解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．（四）平面向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．（五）常用结论：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心(1)|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|(或eq\o(OA,\s\up7(→))2＝eq\o(OB,\s\up7(→))2＝eq\o(OC,\s\up7(→))2)⇔O是△ABC的内心；(2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0⇔O是△ABC的重心；(3)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))⇔O是△ABC的垂心；(4)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)－\f(\o(AC,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up7(→)),|\o(BA,\s\up7(→))|)－\f(\o(BC,\s\up7(→)),|\o(BC,\s\up7(→))|)))＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CA,\s\up7(→)),|\o(CA,\s\up7(→))|)－\f(\o(CB,\s\up7(→)),|\o(CB,\s\up7(→))|)))⇔O是△ABC的内心．【常考题型剖析】题型一：平面向量与平面几何例1.(2023·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心例2．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.【总结提升】1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量eq\o(BA,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角即可．6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．题型二：平面向量与平面解析几何例3.【多选题】(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．例4.(2023·天津·高考真题（文））设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为_______.例5.(2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．例6.(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).在x轴是否存在一点P，使得为直角三角形，求此时P点的坐标【总结提升】主要有两种类型，一是在给定的坐标系中，应用向量研究曲线问题；二是需根据几何图形特点，建立合适的坐标系，利用向量表示集合元素，研究曲线问题.题型三：平面向量与三角函数例7.【多选题】（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（）A． B．C． D．例8．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点是圆上第一象限内的动点，将点绕原点逆时针旋转至点，记.(1)若点的坐标为，求点的坐标；(2)若，求的单调递增区间.题型四：平面向量与物理学例9.（2023·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，若与的夹角为，则以下结论正确的是（）A．的最小值为 B．的范围为C．当时， D．当时，例10．（2023·全国·高三专题练习）如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【总结提升】1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．题型五：平面向量中的最值(范围)问题例11.(2023·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．例12．(2023·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A． B． C．2 D．例13.（上海·高考真题）已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为.例14.（2023·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.例15.(2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.

例16.（广东·高考真题）已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A为钝角，求c的取值范围；【总结提升】1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，2.解题思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.专题6.3平面向量的应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.以平面图形为载体，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与三角函数、向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．3．与平面几何问题相结合，考查平面向量基本定理、数量积等的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】平面向量与平面几何1.向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．（二）平面向量与解析几何向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．（三）平面向量与三角函数解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．（四）平面向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．（五）常用结论：运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心(1)|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|(或eq\o(OA,\s\up7(→))2＝eq\o(OB,\s\up7(→))2＝eq\o(OC,\s\up7(→))2)⇔O是△ABC的内心；(2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0⇔O是△ABC的重心；(3)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))⇔O是△ABC的垂心；(4)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)－\f(\o(AC,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up7(→)),|\o(BA,\s\up7(→))|)－\f(\o(BC,\s\up7(→)),|\o(BC,\s\up7(→))|)))＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CA,\s\up7(→)),|\o(CA,\s\up7(→))|)－\f(\o(CB,\s\up7(→)),|\o(CB,\s\up7(→))|)))⇔O是△ABC的内心．【常考题型剖析】题型一：平面向量与平面几何例1.(2023·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（

）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心答案：C【解析】分析：，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上，同理证明即可求解.【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上；，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上；，分别表示在边和上的单位向量，可设为和，则，则当时，即，点在的角平分线上，故是的内心.故选：C.例2．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.答案：.【解析】分析：由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【总结提升】1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量eq\o(BA,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角即可．6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．题型二：平面向量与平面解析几何例3.【多选题】(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．答案：ACD【解析】分析：由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.例4.(2023·天津·高考真题（文））设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为_______.答案：【解析】【详解】设圆心坐标为，则，焦点，，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.例5.(2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．答案：3【解析】【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以例6.(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).在x轴是否存在一点P，使得为直角三角形，求此时P点的坐标答案：存在，或或或【解析】分析：先利用求出点坐标，再分A为直角顶点，D为直角顶点，P为直角顶点三种情况求解.【详解】设，，由得，解得，假设存在，设，当A为直角顶点时，，有，解得；当D为直角顶点时，，有，解得；当P为直角顶点时，，有，解得；故或或或.【总结提升】主要有两种类型，一是在给定的坐标系中，应用向量研究曲线问题；二是需根据几何图形特点，建立合适的坐标系，利用向量表示集合元素，研究曲线问题.题型三：平面向量与三角函数例7.【多选题】（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（）A． B．C． D．答案：AC分析：A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC例8．（2023·江苏苏州·高三阶段练习）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点是圆上第一象限内的动点，将点绕原点逆时针旋转至点，记.(1)若点的坐标为，求点的坐标；(2)若，求的单调递增区间.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用两角和的正弦和余弦公式可求得点的坐标；（2）利用平面向量数量积以及三角恒等变换可得出，利用以及正弦型函数的单调性可求得结果.(1)解：由三角函数的定义可得，，且点的坐标为，所以，，，故点的坐标为.(2)解：，，则，由，解得，故函数的单调递增区间为.题型四：平面向量与物理学例9.（2023·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为，两个拉力分别为，若与的夹角为，则以下结论正确的是（）A．的最小值为 B．的范围为C．当时， D．当时，答案：ACD【解析】分析：根据与的夹角为，结合受力分析图象，逐一检验答案，得出选项．【详解】根据受力分析，如图所示：对于A，当行李包处于平衡状态时，，正确；对于B，当时，没有向上的分力，错误；对于C，当时，，正确；对于D，当时，，正确；故选：ACD例10．（2023·全国·高三专题练习）如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？答案：时，有最小值．【解析】分析：设木板对球的支持力为，得到，绳子的拉力为，化简得，利用三角函数的基本性质和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设木板对球的支持力为，则，设绳子的拉力为，又由，，由动力矩等于阻力矩得，所以，当且仅当即，即时，有最小值．【总结提升】1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．题型五：平面向量中的最值(范围)问题例11.(2023·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．答案：A【解析】【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值，选A.例12．(2023·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A． B． C．2 D．答案：A【解析】分析：先确定向量