高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题04利用基本不等式解决多元最值问题(原卷版+解析)

微专题04利用基本不等式解决多元最值问题【方法技巧与总结】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧（1）互倒模型（2）平方和与积的转换（3）条件等式求范围（4）换元消元法【题型归纳目录】题型一：互倒模型题型二：平方和与积的转换题型三：条件等式求范围题型四：换元消元法【典型例题】题型一：互倒模型例1．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22例2．(2023·天津·一模）设，那么的最小值是___________．例3．(2023·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．例4．(2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足1，则的最小值为__．例5．(2023·全国·高三专题练习）已知实数，，则的最小值为___________．例6．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知，当取到最小值时，___________．例7．(2023·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数满足，，则的最小值为__________．题型二：平方和与积的转换例8．(2023·全国·高一专题练习）是不同时为0的实数，则的最大值为________．例9．(2023·浙江·高一阶段练习）若实数m，n满足，则的最小值是___________．例10．(2023·辽宁·高二期末）若实数满足，则的最小值为__________．例11．(2023·河南·高二阶段练习（文））已知，则的最大值为______．例12．(2023·浙江·高一课时练习）若均为正实数，则的最大值是_______．例13．(2023·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为________．例14．(2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．例15．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．49 D．81例16．已知实数，且，则的最大值为______．例17．(2023·天津英华国际学校高一阶段练习）设且，则的最大值为_______例18．(2023·江苏泰州·高一阶段练习）已知正实数，，满足，则的最大值为___________．例19．(2023·四川巴中·高一期中）已知正实数，满足，则的最小值为________．题型三：条件等式求范围例20．(2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值等于（）A．2 B．4 C． D．例21．(2023·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知实数，满足，则的最小值为__________．例22．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知，，且，则的最小值为__________．例23．(2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是__．例24．(2023·山东德州·高二期末）若，且满足，则的最小值为______．例25．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．例26．(2023·江苏苏州·高二竞赛）已知正实数a，b，c满足，且，则c的最大值为___________．例27．(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为___________．例28．(2023·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________．例29．(2023·天津河北·二模）已知，，且，则的最大值为___________．例30．(2023·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．题型四：换元消元法例31．(2023·江西省铜鼓中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为___________．例32．(2023·福建三明·高二期末）已知正实数a，b满足，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．例33．(2023·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．例34．(2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________．例35．(2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________．例36．(2023·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））的最大值为______．例37．(2023·江苏省上冈高级中学高二期中）设正实数、、满足，当取得最大值时，的最小值为______．例38．(2023·浙江杭州·高一期末）已知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝_____．例39．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若实数满足，则的最大值为________．例40．(2023·江苏连云港·高二期末（文））已知，，则的最小值为____．例41．(2023·黑龙江·铁人中学高二期中）若y均为正实数，且，则的最小值为________．微专题04利用基本不等式解决多元最值问题【方法技巧与总结】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧（1）互倒模型（2）平方和与积的转换（3）条件等式求范围（4）换元消元法【题型归纳目录】题型一：互倒模型题型二：平方和与积的转换题型三：条件等式求范围题型四：换元消元法【典型例题】题型一：互倒模型例1．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22答案：C【解析】因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以的最小值是20．故选：C例2．(2023·天津·一模）设，那么的最小值是___________．答案：16【解析】因，则，当且仅当，即时取“=”，因此，，当且仅当，即时取“=”，所以，当时，取最小值16．故答案为：16例3．(2023·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为正实数，，故，所以，故，当且仅当时取得等号，故选：C例4．(2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足1，则的最小值为__．答案：16【解析】因为正数a，b满足1，则有1，则有，1，即有，则有16，当且仅当即有b＝2a，又1，即有a，b＝3，取得最小值，且为16．故答案为：16．例5．(2023·全国·高三专题练习）已知实数，，则的最小值为___________．答案：【解析】因为，，所以当"取等号“综上所述：的最小值为；故答案为：例6．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知，当取到最小值时，___________．答案：【解析】知，当取到最小值时，由题意知：，当且仅当，即时取等，故当取到最小值时，．故答案为：．例7．(2023·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数满足，，则的最小值为__________．答案：【解析】由，得，，则，，当且仅当时取“=”，所以当时，的最小值为．故答案为：题型二：平方和与积的转换例8．(2023·全国·高一专题练习）是不同时为0的实数，则的最大值为________．答案：【解析】，，当且仅当时取等号，所以的最大值为．故答案为：．例9．(2023·浙江·高一阶段练习）若实数m，n满足，则的最小值是___________．答案：【解析】解析：令，则，因为，所以．从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．故答案为：．例10．(2023·辽宁·高二期末）若实数满足，则的最小值为__________．答案：4【解析】，设，则，，，，等号在，即，或时成立．所以的最小值为4．故答案为：4例11．(2023·河南·高二阶段练习（文））已知，则的最大值为______．答案：【解析】当时，，当且仅当时，即当时，等号成立．当时，，当且仅当时，即当时，等号成立．因此，当时，取得最大值，即．故答案为：．例12．(2023·浙江·高一课时练习）若均为正实数，则的最大值是_______．答案：【解析】因为均为正实数，所以，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．例13．(2023·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为________．答案：【解析】，，即，当且仅当，即或时，等号成立，，，的最大值为．故答案为：．例14．(2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．答案：1【解析】因为，当时取等号，所以的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1．故答案为：例15．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（

）A．9 B．16 C．49 D．81答案：D【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D例16．已知实数，且，则的最大值为______．答案：【解析】由，所以，又由，当且仅当时，等号成立，所以．故答案为：．例17．(2023·天津英华国际学校高一阶段练习）设且，则的最大值为_______答案：【解析】由题意，由均值不等式，当时，，当且仅当即时等号成立故，即当且仅当即时等号成立故答案为：例18．(2023·江苏泰州·高一阶段练习）已知正实数，，满足，则的最大值为___________．答案：【解析】∵，，为正实数，∴，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最大值为．故答案为：例19．(2023·四川巴中·高一期中）已知正实数，满足，则的最小值为________．答案：12【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最小值为，故答案为：．题型三：条件等式求范围例20．(2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值等于（）A．2 B．4 C． D．答案：B【解析】因为，可得且，所以，当且仅当时，即等号成立，所以的最小值为．故选：B．例21．(2023·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知实数，满足，则的最小值为__________．答案：【解析】设，，，可得，则．当且仅当，即时，等号成立．故答案为：．例22．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知，，且，则的最小值为__________．答案：【解析】因为所以当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为．故答案为：例23．(2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是__．答案：【解析】设，则，可得，所以，当且仅当时，等号成立，取得最小值．故答案为：．例24．(2023·山东德州·高二期末）若，且满足，则的最小值为______．答案：3【解析】由又，则所以当且仅当以及，即时取得等号．所以的最小值为3故答案为：3例25．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．答案：【解析】因为正实数，，满足，则，因为，，，所以，当且仅当时取等号，令，，则原式，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，故答案为：．例26．(2023·江苏苏州·高二竞赛）已知正实数a，b，c满足，且，则c的最大值为___________．答案：【解析】由，则，可得，当且仅当时取等；又由可得，由可得，则，则c的最大值为．故答案为：．例27．(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为___________．答案：4【解析】由题得，所以．（当且仅当时取等）因为，所以的最小值为4．故答案为：4例28．(2023·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________．答案：【解析】直线过点，则又，设，则由，当且仅当，即时等号成立．所以，即所以的最大值为，当且仅当时等号成立．故答案为：例29．(2023·天津河北·二模）已知，，且，则的最大值为___________．答案：【解析】因为，，且，所以又，当且仅当，即时取等号，，当且仅当，即时取等号，所以，则，即，当且仅当、时取等号；故答案为：例30．(2023·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．答案：【解析】因为、且，所以当仅当时取等号，即解得或（舍去），当且仅当、时取等号；故答案为：题型四：换元消元法例31．(2023·江西省铜鼓中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为___________．答案：【解析】，当时取等，所以，故令，则，所以，当时，等号成立．所以的最大值为故答案为：例32．(2023·福建三明·高二期末）已知正实数a，b满足，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．答案：A【解析】因为，所以，所以，所以，令，则，且，所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值是．故选：A．例33．(2023·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．答案：【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝，则＝＝＝﹣2（）2+，当，即b＝2时取得最大值．故答案为：．例34．(2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________．答案：【解析】因为，所以，所以，所以，令，则，当且仅当即时取等号，所以的最小值为．故答案为：．例35．(2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________．答案：【解析】令，则，即，所以，当时，；当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以．所以的最大值为．故答案为：．例36．(2023·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））的最大值为______．答案：【解析】令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最大值为．故答案为：．例37．(2023