高考数学微专题集专题11圆锥曲线第三定义与点差法微点2圆锥曲线中点弦问题与点差法(原卷版+解析)

专题11圆锥曲线第三定义与点差法微点2圆锥曲线中点弦问题与点差法专题11圆锥曲线第三定义与点差法微点2圆锥曲线中点弦问题与点差法【微点综述】以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷，常用方法是点差法．点差法在圆锥曲线中应用广泛，可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点（定值）问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等，常与向量、圆等知识结合．三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用．下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法．一、圆锥曲线第三定义第三次推广【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴．【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？【解析】设，，则．点A和点B在椭圆上，则有作差得：∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差）【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．【解析】设，，则．点A和点B在椭圆上，则有作差得，∴，即．【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．【解析】设，，则．点A和点B在双曲线上，则有作差得，∴，即．【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．【解析】设，，则，点A和点B在双曲线上，则有作差得，∴，即．【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值．【解析】设，，则．点A和点B在抛物线上，则有作差得，∴，即．【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值．【解析】设，，则．点A和点B在抛物线上，则有作差得，∴，即．同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形．总结上面的思考我们可得如下结论：【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．证明：设，则①，②，由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得．【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求．同理可证如下结论：【结论2】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．【结论3】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．【结论4】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．【结论5】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．【结论6】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．【结论7】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．【结论8】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．总结可得如下表格——二、圆锥曲线第三定义及其推广总结表圆周角定理的推广（第三定义）圆的垂径定理推广椭圆为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．双曲线为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．抛物线无为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．三、应用举例（一）求离心率（或取值范围）1．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．（二）求斜率、弦长例3．(2023贵州贵阳市·高三期末）3．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（

）A．4 B．6 C．8 D．104．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（

）A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．随变化而变化(2023年高考全国卷）5．斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，F是椭圆右焦点．(1)证明：．(2)点P是椭圆上一点且，证明：，，成等差，并求出公差．（三）求轨迹方程6．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.7．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是___________.（2023年高考天津卷）8．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．（四）对称性问题(2023陕西咸阳市·高三一模）9．已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（

）．A． B． C．2 D．10．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.（五）定点（定值）问题11．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（

）A． B． C． D．12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________（六）综合应用13．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．(1)若直线平分线段，求的值；(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．【针对训练】(2023西藏昌都一中高三期末）15．已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，求椭圆的离心率（

）A． B． C． D．(2023河南驻马店高三期末）16．已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．(2023湖北武汉高考模拟）17．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（

）A．2 B．2C．3 D．4(2023河南高三月考）18．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．(2023上海杨浦区·复旦附中高二期末）19．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（

）A． B． C． D．20．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．(2023福建龙岩市·高二期末）21．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.22．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为_______________.23．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.24．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.25．抛物线，过点（2，0）的直线AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点．求证：直线MN过定点．26．双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点．求证：直线MN过定点．27．已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．(2023福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）28．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.专题11圆锥曲线第三定义与点差法微点2圆锥曲线中点弦问题与点差法专题11圆锥曲线第三定义与点差法微点2圆锥曲线中点弦问题与点差法【微点综述】以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷，常用方法是点差法．点差法在圆锥曲线中应用广泛，可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点（定值）问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等，常与向量、圆等知识结合．三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用．下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法．一、圆锥曲线第三定义第三次推广【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴．【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？【解析】设，，则．点A和点B在椭圆上，则有作差得：∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差）【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．【解析】设，，则．点A和点B在椭圆上，则有作差得，∴，即．【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．【解析】设，，则．点A和点B在双曲线上，则有作差得，∴，即．【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值．【解析】设，，则，点A和点B在双曲线上，则有作差得，∴，即．【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值．【解析】设，，则．点A和点B在抛物线上，则有作差得，∴，即．【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值．【解析】设，，则．点A和点B在抛物线上，则有作差得，∴，即．同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形．总结上面的思考我们可得如下结论：【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．证明：设，则①，②，由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得．【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求．同理可证如下结论：【结论2】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．【结论3】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．【结论4】为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即．【结论5】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．【结论6】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．【结论7】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．【结论8】已知直线与抛物线相交于两点，点为线段的中点，为原点，则．总结可得如下表格——二、圆锥曲线第三定义及其推广总结表圆周角定理的推广（第三定义）圆的垂径定理推广椭圆为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则．为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．双曲线为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则．推广：在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则．为双曲线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．抛物线无为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．为抛物线的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则．三、应用举例（一）求离心率（或取值范围）1．直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.2．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．（二）求斜率、弦长例3．(2023贵州贵阳市·高三期末）3．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（

）A．4 B．6 C．8 D．104．过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（

）A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．随变化而变化(2023年高考全国卷）5．斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，F是椭圆右焦点．(1)证明：．(2)点P是椭圆上一点且，证明：，，成等差，并求出公差．（三）求轨迹方程6．已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.7．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是___________.（2023年高考天津卷）8．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．（四）对称性问题(2023陕西咸阳市·高三一模）9．已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（

）．A． B． C．2 D．10．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.（五）定点（定值）问题11．如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（

）A． B． C． D．12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________（六）综合应用13．已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．(1)若直线平分线段，求的值；(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．【针对训练】(2023西藏昌都一中高三期末）15．已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，求椭圆的离心率（

）A． B． C． D．(2023河南驻马店高三期末）16．已知双曲线的离心率为，直线与交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．(2023湖北武汉高考模拟）17．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（

）A．2 B．2C．3 D．4(2023河南高三月考）18．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．(2023上海杨浦区·复旦附中高二期末）19．已知三角形的三个顶点都在椭圆：上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0.为坐标原点，若直线，，的斜率之和为1.则（

）A． B． C． D．20．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____．(2023福建龙岩市·高二期末）21．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.22．在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是椭圆上的两个动点，动点P满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为_______________.23．已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.24．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.25．抛物线，过点（2，0）的直线AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分别是AC和BD的中点．求证：直线MN过定点．26．双曲线，过点P（5，0）的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分别是线段AB和线段CD的中点．求证：直线MN过定点．27．已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．(2023福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）28．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.参考答案：1．分析：】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由mx12＋ny12＝1和mx22＋ny22＝1，两式相减可得，从而可得离心率.【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.所以mx12＋ny12＝1，（1）mx22＋ny22＝1，（2）由（1）-（2）得：，，∴，∴e2，∴e＝.故答案为：.【点睛】（1）本题主要考查点差法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)如果已知中涉及圆锥曲线的弦的中点，一般利用点差法，可以减少运算，提高解题效率.使用点差法，一般先“设点代点”，再作差，最后化简，最后可以得到中点的坐标和直线的斜率的关系.2．【详解】试题分析：设A，B，则①，②，∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．考点：椭圆的简单性质3．C【解析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB的方程为：(m为常数),与抛物线方程联立消去,得到关于y的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB的长度.【详解】抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,

设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，,∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数),代入抛物线的方程消去x并整理得：,设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点,则,,∴直线AB的方程为,,，故选：C.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦长问题，涉及抛物线的定义，方程，线段中点坐标公式，直线与抛物线的交点问题，属中档题，关键是灵活使用抛物线的定义，将焦点弦长问题转化为中点坐标问题，注意直线方程的设法：过点(a,0)，斜率不为零的直线方程可以设为x=my+a的形式，不仅避免了讨论，而且方程组消元化简时更为简洁.4．C分析：因为是线段的中点,故可设,再用点差法根据直线与垂直斜率相乘等于求出切点的坐标,再求出直线的斜率即可.【详解】设,,则,化简可得.因为是线段的中点,故.代入化简可得的斜率.又直线与垂直,故,解得,代入圆可得.故直线的斜率为为定值.故选：C【点睛】本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之间的关系列式求解.属于中档题.5．(1)证明见解析(2)证明见解析，公差为或．分析：（1）设点，点的坐标，利用点差法和中点坐标公式求解即可；（2）利用已知可得点坐标，用坐标表示向量，确定的值，而可根据抛物线定义（或两点间距离公式）求得，从而可得成等差数列，设该数列的公差为，将直线方程代入椭圆方程，消元后利用韦达定理即可求解.(1)解：）设，，则，．两式相减，并由，得．由题设知，，于是．由题设得，，故．(2)解：由题意得F（1，0），设，则．由（1）得，．又点P在C上，∴，从而，．于是．同理，∴．所以，即，，成等差数列．设该数列的公差为d，则．②，由得k=-1．∴l的方程为，代入C的方程，并整理得．故，，代入②解得，∴该数列的公差为或．6．分析：设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，和AB的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得，，即可得E的方程.【详解】已知，设，，则①，②，已知AB的中点坐标为，，①－②得，∴，∵，∴，即，又，∴，，即E的方程为.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.7．分析：设、中点，分析可得直线过定点，即，点差法可得，代入可得，与抛物线联立可得的范围【详解】设，中点，则.，过定点，.又，（1），（2）得：，.

于是，即.又弦中点轨迹在已知抛物线内，联立故弦的中点轨迹方程是8．（Ⅰ）；（Ⅱ），或．分析：（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，，消去，可得，解得或.将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，又因为，所以，整理得，解得或.所以，直线的方程为或.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.9．B【解析】设，，根据线段的中点坐标为，且，关于直线对称，，在双曲线上，整理可得，进而可得到离心率.【详解】设，，且线段的中点坐标为，则，又，关于直线对称，所以，且，在双曲线上，，，相减可得，即，故，即，离心率为，故选：B.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10．取值范围为【解析】根据对称性可知线段被直线垂直平分，从而可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，可设直线的方程为，联立方程组，整理可得可求中点，由可求的范围，由中点在直线可得，的关系，从而可求的范围．【详解】设椭圆上关于直线对称的点，，则根据对称性可知线段被直线垂直平分，故直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，故可设直线的方程为，联立方程组，整理可得，，，解得：，，，代入，解得：，，的取值范围是．【点睛】方法点睛：本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．属于中档题．11．C分析：设出直线方程,根据直线与椭圆相切,联立化简后由判别式即可得关于的方程.利用韦达定理表示出.将点P带代入椭圆,联立两个式子化简即可求得的值.【详解】设则过的直线方程为将直线方程与椭圆联立可得化简可得因为相切,所以判别式展开得同时除以可得合并可得同除以,得展开化简成关于的方程可得因为有两条直线,所以有两个不等的实数根.因为为定值,可设由韦达定理,化简得又因为在椭圆上,代入可得化简可得则,化简可得解得故选:C【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,根据直线与椭圆的位置关系研究定值问题,计算量较大,变形化简过程较为复杂,需要耐心计算,属于中档题.12．【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在双曲线上，所以，，故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，∴y1y2-2x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．13．分析：首先求出，即可得到直线的方程，设，，利用点差法得到，再根据及求出椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，求出，最后根据计算可得.【详解】解：因为直线过点、，所以，所以直线，设，，则，，所以、，所以，即，所以，即，又，所以，又，，所以，所以椭圆方程为，联立直线AB与椭圆方程为，消去整理得，所以，，所以，故．14．(1)；(2)最大值，；(3)证明见解析.分析：（1）根据椭圆的顶点坐标公式，结合线段垂直平分线的性质、中点坐标公式、斜率公式进行求解即可；（2）设出与平行的直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式、三角形面积公式进行求解即可；（3）利用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.（1）由题设知，，，故，，线段中点坐标为．由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；（2），，，设与平行的直线方程为，联立，得．由，解得：．由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．即面积有最大值，等于．由，解得，，点坐标为；（3）设，，，，中点，，则，，两式作差可得：，，即．，，即，．，，，即．，，故，，三点共线．【点睛】关键点睛：利用点差法是解题的关键.15．D【解析】中点弦问题，处理方法为点差法.得出，用替代，求出关系式，从而求得离心率.【详解】设则两式相减可得故①是椭圆的一条弦的中点故，代入①式中可得故有则，则故选：D【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．16．B【解析】利用点差法求得，再利用双曲线的离心率求，求直线的斜率，最后表示直线方程.【详解】设，，则，，两式相减可得．因为线段以点为中点，所以，，所以，因为的离心率为，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即,经检验成立.故选：B【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线相交的中点弦问题，点差法是直线与圆锥曲线相交，研究中点弦问题比较好的方法，一般设两点，代入圆锥曲线方程，两个式子再做差，表示中点和斜率的关系.17．D【解析】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代入弦长公式求；解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.【详解】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.所以x1x2＝＝10.所以|AB|＝·＝4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，①.②①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.故选：D【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，或用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.18．A分析：设点、，利用点差法求得，进而可得出双曲线的离心率为，即可得解.【详解】设点、，则，由题意，得，，两式相减，得，整理得，所以，因此，双曲线的离心率为，故选：A.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.19．A【解析】设，，，，，，利用，在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：，同理可得：，，再利用已知条件即可得出结果.【详解】设，，，，，，因为，在椭圆上，所以，，两式相减得：，即，同理可得，，所以因为直线､､的斜率之和为1，所以，故选：A.【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.20．【详解】试题分析：设A，B，则①，②，∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是，∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．考点：椭圆的简单性质21．【解析】设，，，，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：，结合中点坐标公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可求直线方程．【详解】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，，，，，两式相减可得：，因为为的中点，，，，则，所以直线的方程为，即为．故答案为：．【点睛】方法点睛：对于有关弦中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.22．分析：先设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用坐标表示求动点P轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果.【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在椭圆上，所以，，故2x2+y2=（8x12+2x22-8x1x2）+（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2+y1y2），设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=-