第13讲 椭圆（十大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第13讲椭圆【题型归纳目录】题型一：椭圆的定义题型二：求椭圆的标准方程题型三：椭圆的综合问题题型四：轨迹方程题型五：椭圆的简单几何性质题型六：求椭圆的离心率题型七：求椭圆离心率的取值范围题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围题型九：椭圆中的范围与最值问题题型十：焦点三角形【知识点梳理】知识点一：椭圆的定义平面内一个动点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距离之和等于常数(SKIPIF1<0)，这个动点SKIPIF1<0的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点诠释：若SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在SKIPIF1<0轴上时，椭圆的标准方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；2、当焦点在SKIPIF1<0轴上时，椭圆的标准方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；知识点诠释：(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2)在椭圆的两种标准方程中，都有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在SKIPIF1<0轴上时，椭圆的焦点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当焦点在SKIPIF1<0轴上时，椭圆的焦点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.知识点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：SKIPIF1<0.(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.知识点四：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程SKIPIF1<0，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆SKIPIF1<0是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆SKIPIF1<0(a＞b＞0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作SKIPIF1<0.②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而SKIPIF1<0越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形SKIPIF1<0有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式SKIPIF1<0相结合的方法进行计算与解题，将有关线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，有关角SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)结合起来，建立SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的关系.知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0图形性质焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0SKIPIF1<0范围SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴长轴长=SKIPIF1<0，短轴长=SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0知识点诠释：椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(a＞b＞0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和SKIPIF1<0，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。【典例例题】题型一：椭圆的定义例1．设定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P满足条件SKIPIF1<0，则点P的轨迹是(

)A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点P的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆.故选：A.例2．设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A、B两点，则SKIPIF1<0的周长为(

)A．12 B．24 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可得，对于椭圆SKIPIF1<0有长半轴长SKIPIF1<0，又过SKIPIF1<0的直线交椭圆于A、B两点，故SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D例3．已知SKIPIF1<0，动点C满足SKIPIF1<0，则点C的轨迹是()A．椭圆 B．直线C．线段 D．点【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，知点C的轨迹是线段AB．故选：C.例4．设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0到该椭圆的两个焦点距离之和为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】椭圆SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是椭圆上的动点，则SKIPIF1<0到该椭圆的两个焦点距离之和为SKIPIF1<0.故选：D例5．已知点SKIPIF1<0，动点P满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹为(

)A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.故选：A.题型二：求椭圆的标准方程例6．方程SKIPIF1<0，化简的结果是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，可得点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和等于12，即SKIPIF1<0，所以动点SKIPIF1<0的轨迹是焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，设其方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故方程为SKIPIF1<0.故选：B.例7．已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过坐标原点的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，连接SKIPIF1<0，由椭圆的对称性得四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为矩形，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.故选:C.例8．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，求椭圆的标准方程.【解析】椭圆SKIPIF1<0转化为标准方程得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则左焦点SKIPIF1<0，由点到直线的距离公式可得：SKIPIF1<0，所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.例9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点SKIPIF1<0；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为SKIPIF1<0；(3)经过点SKIPIF1<0两点.【解析】(1)若焦点在x轴上，设方程为SKIPIF1<0，∵椭圆过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴方程为SKIPIF1<0，若焦点在y轴上，设方程为SKIPIF1<0∵椭圆过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴方程为SKIPIF1<0.综上所述，椭圆方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(2)由已知，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若焦点在y轴上，则SKIPIF1<0，若焦点在x轴上，则SKIPIF1<0，∴所求椭圆方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)设方程为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则所求椭圆方程为SKIPIF1<0例10．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0；(2)经过两点SKIPIF1<0．【解析】(1)设椭圆的长半轴为SKIPIF1<0，短半轴为SKIPIF1<0，因为焦点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以另一个焦点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又椭圆过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0；(2)设椭圆方程为SKIPIF1<0，因为椭圆经过两点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.例11．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0；(2)焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为SKIPIF1<0.【解析】(1)设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，依题可得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入到方程SKIPIF1<0中得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.(2)设椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，依题可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0题型三：椭圆的综合问题例12．若椭圆SKIPIF1<0的两个焦点坐标分别是SKIPIF1<0，并且经过点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线与椭圆相交于SKIPIF1<0两点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)求三角形SKIPIF1<0的面积.【解析】(1)由题知焦点坐标分别是SKIPIF1<0，设椭圆方程为：SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，其方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例13．已知经过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，交椭圆于A、B两点，SKIPIF1<0是椭圆的左焦点，求SKIPIF1<0的周长和面积．【解析】如下图所示：由椭圆方程SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，根据椭圆定义可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0；易知SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，由韦达定理可知SKIPIF1<0；由图可知SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0例14．已知椭圆SKIPIF1<0的焦点分别是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程；(2)求点B与两点SKIPIF1<0，的连线的斜率的乘积；(3)设点P在这个椭圆上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【解析】(1)因为椭圆的焦点分别是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0；(2)由SKIPIF1<0分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由点B为椭圆的短轴端点，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点B与两点SKIPIF1<0的连线的斜率的乘积为SKIPIF1<0；(3)因为点P在这个椭圆上，所以SKIPIF1<0，由小问(1)知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，联立可得SKIPIF1<0.例15．已知椭圆的方程为SKIPIF1<0，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【解析】由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①由椭圆定义得SKIPIF1<0，②由①②联立可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例16．已知点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是椭圆的焦点，且SKIPIF1<0，求(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的面积【解析】(1)因为椭圆方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由(1)得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例17．已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长是短轴长的SKIPIF1<0倍，且椭圆C经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使SKIPIF1<0面积最大时直线l的方程．【解析】(1)因为长轴长是短轴长的SKIPIF1<0倍，则SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0的坐标代入上式，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故椭圆C的方程为SKIPIF1<0．(2)易知右焦点F的坐标为SKIPIF1<0，若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，消去x，得SKIPIF1<0，判别式SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以此时直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．例18．在椭圆SKIPIF1<0内有一点SKIPIF1<0，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．【解析】设过A点的直线l与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示．所以SKIPIF1<0,

两式相减得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.∵A为SKIPIF1<0的中点,∴SKIPIF1<0,，即SKIPIF1<0.由题意:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.∴所求椭圆方程为SKIPIF1<0.例19．已知椭圆的长轴长是SKIPIF1<0，焦点坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；(2)如果直线SKIPIF1<0与这个椭圆交于两不同的点，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】(1)由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；(2)由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与这个椭圆交于两不同的点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.例20．已知椭圆SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，长轴长为4，离心率SKIPIF1<0.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与椭圆有两个交点，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】(1)由题意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故椭圆标准方程为SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与椭圆有两个交点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.例21．已知点P在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为椭圆的两个焦点，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】由题可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.题型四：轨迹方程例22．点M与定点SKIPIF1<0的距离和它到定直线SKIPIF1<0的距离的比为SKIPIF1<0，则点M的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，因为点M与定点SKIPIF1<0的距离和它到定直线SKIPIF1<0的距离的比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故选:C.例23．已知动圆过定点SKIPIF1<0，并且在定圆B：SKIPIF1<0的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设动圆圆心为SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为动圆SKIPIF1<0在定圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的内部与其相内切，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，由椭圆的定义可知：SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为焦点，长轴长为8的椭圆，所以SKIPIF1<0，所以动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：A例24．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则顶点SKIPIF1<0的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆的左半部分，由SKIPIF1<0，所以顶点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0.故选：A.例25．已知动圆SKIPIF1<0过动点SKIPIF1<0，并且在定圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的内部与其相内切，则动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为动圆SKIPIF1<0在定圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的内部与其相内切，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由椭圆的定义可知：SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为焦点，长轴长为8的椭圆，所以SKIPIF1<0，所以动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：A例26．已知SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则顶点SKIPIF1<0的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴顶点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，长轴长为8的椭圆(不含SKIPIF1<0轴上的顶点)，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴顶点SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：D．例27．当点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上运动时，连接点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点轨迹方程为：SKIPIF1<0.故选：D.例28．如图，在圆SKIPIF1<0上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．故选：A例29.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(圆心为SKIPIF1<0)，点SKIPIF1<0，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内，SKIPIF1<0根据垂直平分线的性质可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点的轨迹是椭圆，且SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0.故选：C例30．设P为椭圆SKIPIF1<0上一动点，SKIPIF1<0分别为左､右焦点，延长SKIPIF1<0至点Q，使得SKIPIF1<0，则动点Q的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由椭圆SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，所以动点Q的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，方程为SKIPIF1<0.故选：C例31．设SKIPIF1<0为坐标原点，动点SKIPIF1<0在椭圆C：SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0在椭圆C：SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0.故选：C.例32．已知SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0是椭圆E上一动点，G点是三角形SKIPIF1<0的重心，则点G的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，G点是三角形SKIPIF1<0的重心则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是椭圆E上一动点，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又G点是三角形SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0所以点G的轨迹方程为SKIPIF1<0故选：B例33．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆M与圆SKIPIF1<0外切，同时与圆SKIPIF1<0内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以SKIPIF1<0为焦点的椭圆，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故动圆圆心M的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：D例34．已知动点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0的距离之和为6，则动点SKIPIF1<0轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即动点SKIPIF1<0轨迹方程为SKIPIF1<0.故选：D.题型五：椭圆的简单几何性质例35．椭圆SKIPIF1<0的焦距为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为椭圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以焦距为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例36．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若椭圆上顶点为点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为等腰直角三角形，则SKIPIF1<0______.【答案】8【解析】椭圆SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例37．椭圆SKIPIF1<0的一个焦点是SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为________.【答案】2【解析】SKIPIF1<0变形得到SKIPIF1<0，因为椭圆SKIPIF1<0的一个焦点是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案为：2例38．若椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的长轴长为___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】因为椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，椭圆焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆的长轴长为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，椭圆焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，满足题意，此时SKIPIF1<0，所以椭圆的长轴长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例39．椭圆SKIPIF1<0的内接正方形的周长为__________．【答案】SKIPIF1<0/19.2.【解析】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以周长为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例40．一椭圆的短半轴长是SKIPIF1<0，离心率是SKIPIF1<0，焦点为SKIPIF1<0，弦AB过SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长为__________．【答案】12【解析】因为椭圆的短半轴长是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.离心率是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.根据椭圆的定义SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.故答案为：12.例41．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆SKIPIF1<0上，所以点(m,n)满足椭圆的范围SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.题型六：求椭圆的离心率例42．椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：B．例43．椭圆SKIPIF1<0的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0-1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意，直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则其纵坐标为2c，将其代入SKIPIF1<0=1，得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，又椭圆的离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.例44．直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图所示，连接SKIPIF1<0，由题意得：SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，由椭圆定义可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B例45.记椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于另一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方，又SKIPIF1<0，所以将SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，化简SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.故选：A.例46．已知点SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点，点SKIPIF1<0为椭圆的右顶点，若SKIPIF1<0为正三角形，则该椭圆的离心率为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0为正三角形，则：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选:A例47．已知椭圆SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0，下顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，且点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0