第04讲 空间向量及其运算（七大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第04讲空间向量及其运算【题型归纳目录】题型一：空间向量的有关概念及线性运算题型二：共线向量定理的应用题型三：共面向量及应用题型四：空间向量的数量积题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度题型七：利用空间向量的数量积证垂直【知识点梳理】知识点一：空间向量的有关概念1、空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点诠释：(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2、几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知识点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点诠释：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点三：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：(1)SKIPIF1<0存在唯一实数，使得SKIPIF1<0；(2)存在唯一实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．注意：SKIPIF1<0不可丢掉，否则实数就不唯一．(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；(进而证线面平行)②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。知识点四：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).(4)共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行(进而证面面平行)。知识点五：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点诠释：(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．(2)两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．(3)两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．知识点六：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点七：夹角问题1、定义：已知两个非零向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，在空间任取一点D，作SKIPIF1<0，则∠AOB叫做向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，记作SKIPIF1<0，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：SKIPIF1<0，那么空间两个向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角的余弦SKIPIF1<0。知识点诠释：(1)规定:SKIPIF1<0(2)特别地，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向；如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向;如果SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直,记作SKIPIF1<0。2、利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点八：空间向量的长度1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0的模：SKIPIF1<0将其推广：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。2、利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用SKIPIF1<0来求解。【典例例题】题型一：空间向量的有关概念及线性运算例1．在平行六面体SKIPIF1<0中，与向量SKIPIF1<0相等的向量共有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个例2．下列关于空间向量的说法中正确的是(

)A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．相等向量其方向必相同例3．下列关于空间向量的说法中错误的是(

)A．零向量与任意向量平行B．任意两个空间向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量例4．如图，在四面体OABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点M在OA上，且满足SKIPIF1<0，N为BC的中点，则SKIPIF1<0(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例5．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例6．四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：共线向量定理的应用例7．已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则一定共线的三点是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例8．若SKIPIF1<0，E为空间中不在直线CD上的任意一点，则直线AB与平面CDE的位置关系是(

)A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内例9．如果空间向量SKIPIF1<0不共线，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值分别是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．若空间向量SKIPIF1<0不共线，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．6 B．12 C．18 D．24例11．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例12．当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不共线时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系是(

)A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定题型三：共面向量及应用例13．下面关于空间向量的说法正确的是(

)A．若向量SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0所在直线平行B．若向量SKIPIF1<0所在直线是异面直线，则SKIPIF1<0不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面例14．已知SKIPIF1<0是空间中不共线的三个点，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列说法正确的一项是(

)A．点SKIPIF1<0是唯一的，且一定与SKIPIF1<0共面B．点SKIPIF1<0不唯一，但一定与SKIPIF1<0共面C．点SKIPIF1<0是唯一的，但不一定与SKIPIF1<0共面D．点SKIPIF1<0不唯一，也不一定与SKIPIF1<0共面例15．在下列条件中，能使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定共面的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例16．已知SKIPIF1<0为空间任意一点，SKIPIF1<0四点共面，但任意三点不共线．如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为(

)A．-2 B．-1 C．1 D．2例17．已知点D在SKIPIF1<0确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0的最小值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2例18．已知SKIPIF1<0三点不共线，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外任意一点，若由SKIPIF1<0确定的一点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0三点共面，则SKIPIF1<0等于(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四：空间向量的数量积例19．化简：SKIPIF1<0________.例20．在三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________例21．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0=_______.例22．平行六面体SKIPIF1<0中，以顶点SKIPIF1<0为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值是__________．例23．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0______.例24．如图，正四面体SKIPIF1<0的长为1，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角例25．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量SKIPIF1<0分别与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角．例26．已知空间向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为邻边的平行四边形的面积S；(2)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夹角的余弦值．例27．平行六面体SKIPIF1<0，(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0长；(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与SKIPIF1<0所成角的余弦值．例28．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，以顶点SKIPIF1<0为端点的三条棱长度都为SKIPIF1<0，且两两夹角为SKIPIF1<0.求：(1)SKIPIF1<0的长；(2)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值.题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度例29．如图所示，平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．例30．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求：(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的长．例31．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的长；(3)SKIPIF1<0的长．例32．如图SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如图SKIPIF1<0，把平行四边形沿对角线SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0成SKIPIF1<0角，求SKIPIF1<0的长.例33．如图，已知平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．题型七：利用空间向量的数量积证垂直例34．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点．(1)求SKIPIF1<0的长；(2)证明：SKIPIF1<0．例35．如图，四棱锥SKIPIF1<0的各棱长都为SKIPIF1<0．(1)用向量法证明SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的值．例36．如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0.(1)设侧棱长为1，试用向量法证明：SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，求侧棱的长.【过关测试】一、单选题1．如图，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是边长为SKIPIF1<0的正方形，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点间的距离是(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为()A．10 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在空间，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则实数k的值为(

)A．－6 B．6C．3 D．－34．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么SKIPIF1<0等于(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．45．在平行六面体SKIPIF1<0中，点E为SKIPIF1<0的中点，点F为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使SKIPIF1<0，用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．棱长为SKIPIF1<0的正四面体SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0等于(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．已知平行六面体SKIPIF1<0如图所示，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，线段AC，BD交于点O，点E是线段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，则下列说法正确的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．下列命题中是真命题的为(

)A．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面，则存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0B．若存在实数SKIPIF1<0，使向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面C．若点SKIPIF1<0四点共面，则存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0D．若存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0四点共面11．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列说法中正确的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，以顶点SKIPIF1<0为端点的三条棱长都为1，且SKIPIF1<0则下列说法中正确的有(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0三、填空题13．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为____________．14．若空间非零向量SKIPIF1<0不共线，则使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线的k的值为________．15．如图，在长方体SK