2024年高中数学新高二暑期培优讲义第06讲 空间向量的应用（学生版）

第第页第06讲空间向量的应用【题型归纳目录】题型一：求平面的法向量题型二：利用向量研究平行问题题型三：利用向量研究垂直问题题型四：异面直线所成的角题型五：线面角题型六：二面角题型七：距离问题【知识点梳理】知识点一：直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.知识点诠释：(1)在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．(2)在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．2、平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．3、平面的法向量确定通常有两种方法：(1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；(2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(i)设出平面的法向量为；(ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，；(iii)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；(iv)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．(1)线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．(2)线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．(3)面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．(1)线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．(2)线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点四、用向量方法求空间角(1)求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．(2)求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．(3)求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1、求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3、点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【典例例题】题型一：求平面的法向量例1．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面的一个法向量；(2)平面的一个法向量.题型二：利用向量研究平行问题例2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.题型三：利用向量研究垂直问题例3．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.(1)求证：.(2)求证：平面.例4．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.题型四：异面直线所成的角例5．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(

)A． B． C． D．例6．在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是(

)A．B．C．D．题型五：线面角例7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：平面MBD；(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．题型六：二面角例8．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．

(1)求BC的长；(2)求二面角的余弦值．

例9．如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦.例10．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，，点F为PB中点，点E在边BC上移动．(1)求证：平面AFC；(2)若二面角的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥的体积为．题型七：距离问题例11．如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；(2)求点到平面AEF的距离．例12．如图，正方体的棱长为2，点为的中点．(1)求点到平面的距离为；(2)求到平面的距离．【过关测试】一、单选题1．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝()A．﹣3 B．3 C．6 D．92.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为(

)A． B． C． D．3．已知平面α的一个法向量，点在α内，则到α的距离为(

)A．10B．3C．D．4．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，=λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则异面直线A1F与BE所成角θ的余弦值为(

)

A． B． C． D．5．在棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，BC的中点，为线段EF上的一动点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是(

)A． B． C． D．二、填空题6．矩形ABCD中，，平面ABCD，且，则P到BC的距离为__________．7．如图，已知平面，，，，，.若，，则与平面所成