同济第六版《高等数学》-第03章中值定理和导数的应用教学案

...wd......wd......wd...第三章中值定理与导数的应用教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。§31中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义并且在x0处可导如果对任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))那么f(x0)0罗尔定理如果函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导且有f(a)f(b)那么在(a,b)内至少在一点使得f()0简要证明(1)如果f(x)是常函数则f(x)0定理的结论显然成立(2)如果f(x)不是常函数则f(x)在(ab)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点(ab)于是所以f(x)=0.罗尔定理的几何意义二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导那么在(ab)内至少有一点(a<<b)使得等式f(b)f(a)f()(ba)成立拉格朗日中值定理的几何意义f()定理的证明引进辅函数令(x)f(x)f(a)(xa)容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件(a)(b)0(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且(x)f(x)根据罗尔定理可知在开区间(ab)内至少有一点使()0即f()0由此得f()即f(b)f(a)f()(ba)定理证毕f(b)f(a)f()(ba)叫做拉格朗日中值公式这个公式对于b<a也成立拉格朗日中值公式的其它形式设x为区间[ab]内一点xx为这区间内的另一点(x>0或x<0)则在[xxx](x>0)或[xxx](x<0)应用拉格朗日中值公式得f(xx)f(x)f(xx)x(0<<1)如果记f(x)为y则上式又可写为yf(xx)x(0<<1)试与微分dyf(x)x对比dyf(x)x是函数增量y的近似表达式而f(xx)x是函数增量y的准确表达式作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那么f(x)在区间I上是一个常数证在区间I上任取两点x1x2(x1<x2)应用拉格朗日中值定理就得f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2)由假定f()0所以f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)因为x1x2是I上任意两点所以上面的等式说明f(x)在I上的函数值总是相等的这就是说f(x)在区间I上是一个常数例2证明当x0时证设f(x)ln(1x)显然f(x)在区间[0x]上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理就有f(x)f(0)f()(x0)0<<x。由于f(0)0因此上式即为又由0x有三、柯西中值定理设曲线弧C由参数方程(axb)表示其中x为参数如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线C上必有一点x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB曲线C上点x处的切线的斜率为弦AB的斜率为于是柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导且F(x)在(ab)内的每一点处均不为零那么在(ab)内至少有一点使等式成立显然如果取F(x)x那么F(b)F(a)baF(x)1因而柯西中值公式就可以写成f(b)f(a)f()(ba)(a<<b)这样就变成了拉格朗日中值公式了§3.3泰勒公式对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数只要对自变量进展有限次加、减、乘三种运算便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道当|x|很小时有如下的近似等式ex1xln(1x)x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着缺乏之处首先是准确度不高这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小其次是用它来作近似计算时不能具体估算出误差大小因此对于准确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次多项式来近似表达函数同时给出误差公式设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n1)阶导数现在我们希望做的是找出一个关于(xx0)的n次多项式pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n来近似表达f(x)要求pn(x)与f(x)之差是比(xx0)n高阶的无穷小并给出误差|f(x)pn(x)|的具体表达式我们自然希望pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等这样就有pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)npn(x)a12a2(xx0)nan(xx0)n1pn(x)2a232a3(xx0)n(n1)an(xx0)n2pn(x)3!a3432a4(xx0)n(n1)(n2)an(xx0)n3pn(n)(x)n!an于是pn(x0)a0pn(x0)a1pn(x0)2!a2pn(x)3!a3pn(n)(x)n!an按要求有f(x0)pn(x0)a0f(x0)pn(x0)a1f(x0)pn(x0)2!a2f(x0)pn(x0)3!a3f(n)(x0)pn(n)(x0)n!an从而有a0f(x0)a1f(x0)(k012n)于是就有pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2(xx0)n泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(ab)内具有直到(n1)的阶导数则当x在(ab)内时f(x)可以表示为(xx0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和其中(介于x0与x之间)这里多项式称为函数f(x)按(xx0)的幂展开的n次近似多项式公式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式而Rn(x)的表达式其中(介于x与x0之间)称为拉格朗日型余项当n0时泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x)f(x0)f()(xx0)(在x0与x之间)因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广如果对于某个固定的n当x在区间(ab)内变动时|f(n1)(x)|总不超过一个常数M则有估计式及可见妆xx0时误差|Rn(x)|是比(xx0)n高阶的无穷小即Rn(x)o[(xx0)n]在不需要余项的准确表达式时n阶泰勒公式也可写成当x00时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是或其中由此得近似公式误差估计式变为例1．写出函数f(x)ex的n阶麦克劳林公式解因为f(x)f(x)f(x)f(n)(x)ex所以f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1于是(0<)并有这时所产性的误差为|Rn(x)||xn1|<|x|n1当x1时可得e的近似式其误差为|Rn|<例2．求f(x)sinx的n阶麦克劳林公式解因为f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(0)0f(0)1f(0)0f(0)1f(4)(0)0于是当m1、2、3时有近似公式sinxx§34函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法如果函数yf(x)在[ab]上单调增加〔单调减少〕那么它的图形是一条沿x轴正向上升〔下降〕的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的〔是非正的〕即yf(x)0(yf(x)0)由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的关系反过来能否用导数的符号来判定函数的单调性呢定理1(函数单调性的判定法)设函数yf(x)在[ab]上连续在(ab)内可导(1)如果在(ab)内f(x)0那么函数yf(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)0那么函数yf(x)在[ab]上单调减少证明只证(1)在[ab]上任取两点x1x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理得到f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1x2)由于在上式中x2x10因此如果在(ab)内导数f(x)保持正号即f(x)0那么也有f()0于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)0即f(x1)f(x2)这函数yf(x)在[ab]上单调增加注判定法中的闭区间可换成其他各种区间例1判定函数yxsinx在[02]上的单调性解因为在(02)内y1cosx0所以由判定法可知函数yxcosx在[02]上的单调增加例2讨论函数yexx1的单调性〔没指明在什么区间若何办)解yex1函数yexx1的定义域为()因为在(0)内y0所以函数yexx1在(0]上单调减少因为在(0)内y0所以函数yexx1在[0)上单调增加例3讨论函数的单调性解函数的定义域为()当时函数的导数为(x0)函数在x0处不可导当x0时函数的导数不存在因为x0时y0所以函数在(,0]上单调减少因为x0时y0所以函数在[0,)上单调增加如果函数在定义区间上连续除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续那么只要用方程f(x)0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间就能保证f(x)在各个局部区间内保持固定的符号因而函数f(x)在每个局部区间上单调例4确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间解这个函数的定义域为:()函数的导数为:f(x)6x218x126(x1)(x2)导数为零的点有两个x11、x22列表分析(1][12][2)f(x)f(x)↗↘↗函数f(x)在区间(1]和[2)内单调增加在区间[12]上单调减少例5讨论函数yx3的单调性解函数的定义域为()函数的导数为y3x2除当x0时y0外在其余各点处均有y0因此函数yx3在区间(0]及[0)内都是单调增加的从而在整个定义域()内是单调增加的在x0处曲线有一水平切线一般地如果f(x)在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正〔或负〕时那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加〔或单调减少〕的例6证明当x1时证明令则因为当x1时f(x)0因此f(x)在[1,)上f(x)单调增加从而当x1时f(x)f(1)由于f(1)0故f(x)f(1)0即也就是(x1)二、曲线的凹凸与拐点凹凸性的概念x1x1x2yxOf(x2)f(x1)x1x2yxOf(x2)f(x1)定义设f(x)在区间I上连续如果对I上任意两点x1x2恒有那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)如果恒有那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)定义设函数yf(x)在区间I上连续如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的凹凸性的判定定理设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有一阶和二阶导数那么(1)假设在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的(2)假设在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的简要证明只证(1)设x1x2[ab]且x1x2记由拉格朗日中值公式得两式相加并应用拉格朗日中值公式得即所以f(x)在[ab]上的图形是凹的拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数yf(x)的定义域(2)求出在二阶导数f`(x)(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4)判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点注根据具体情况〔1〕〔3〕步有时省略例1判断曲线ylnx的凹凸性解因为在函数ylnx的定义域(0)内y<0所以曲线ylnx是凸的例2判断曲线yx3的凹凸性解y3x2y6x由y0得x0因为当x<0时y<0所以曲线在(0]内为凸的因为当x>0时y>0所以曲线在[0)内为凹的例3求曲线y2x33x22x14的拐点解y6x26x12令y0得因为当时y0当时y0所以点()是曲线的拐点例4求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间解(1)函数y3x44x31的定义域为()(2)(3)解方程y0得(4)列表判断(0)0(02/3)2/3(2/3)f(x)00f(x)111/27在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的在区间[02/3]上曲线是凸的点(01)和(2/311/27)是曲线的拐点例5问曲线yx4是否有拐点解y4x3y12x2当x0时y>0在区间()内曲线是凹的因此曲线无拐点例6求曲线的拐点解(1)函数的定义域为()(2)(3)无二阶导数为零的点二阶导数不存在的点为x0(4)判断当x<0当y>0当x>0时y<0因此点(00)曲线的拐点§35函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义x0(a,b)如果在x0的某一去心邻域内有f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值如果在x0的某一去心邻域内有f(x)f(x0)则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果在去心邻域U(x0)内有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点函数的极大值和极小值概念是局部性的如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值那只是就x0附近的一个局部范围来说f(x0)是f(x)的一个最大值如果就f(x)的整个定义域来说f(x0)不一定是最大值关于极小值也类似极值与水平切线的关系在函数取得极值处曲线上的切线是水平的但曲线上有水平切线的地方函数不一定取得极值定理1(必要条件)设函数f(x)在点x0处可导且在x0处取得极值那么这函数在x0处的导数为零即f(x0)0证为确定起见假定f(x0)是极大值(极小值的情形可类似地证明)根据极大值的定义在x0的某个去心邻域内对于任何点xf(x)f(x0)均成立于是当xx0时因此f(x0)当xx0时因此从而得到f(x0)0简要证明假定f(x0)是极大值根据极大值的定义在x0的某个去心邻域内有f(x)f(x0)于是同时从而得到f(x0)0驻点使导数为零的点(即方程f(x)0的实根)叫函数f(x)的驻点定理１就是说可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但的过来函数f(x)的驻点却不一定是极值点考察函数f(x)x3在x0处的情况定理２(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续在x0的左右邻域内可导(1)如果在x0的某一左邻域内f(x)0在x0的某一右邻域内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在x0的某一左邻域内f(x)0在x0的某一右邻域内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在x0的某一邻域内f(x)不改变符号那么函数f(x)在x0处没有极值定理２(第一种充分条件)设函数f(x)在含x0的区间(a,b)内连续在(a,x0)及(x0,b)内可导(1)如果在(a,x0)内f(x)0在(x0,b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(a,x0)内f(x)0在(x0,b)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(a,x0)及(x0,b)内f(x)的符号一样那么函数f(x)在x0处没有极值定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x0连续且在x0的某去心邻域(x0x0)(x0x0)内可导(1)如果在(x0x0)内f(x)0在(x0x0)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果在(x0x0)内f(x)0在(x0x0)内f(x)0那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果在(x0x0)及(x0x0)内f(x)的符号一样那么函数f(x)在x0处没有极值定理2也可简单地这样说当x在x0的邻近渐增地经过x0时如果f(x)的符号由负变正那么f(x)在x0处取得极大值如果f(x)的符号由正变负那么f(x)在x0处取得极小值如果f(x)的符号并不改变那么f(x)在x0处没有极值(注定理的表达与教材有所不同)确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f(x)(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点(3)列表判断(考察f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极值点如果是极值点还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)(4)确定出函数的所有极值点和极值例1求函数的极值解(1)f(x)在()内连续除x1外处处可导且(2)令f(x)0得驻点x1x1为f(x)的不可导点(3)列表判断x(1)1(11)1(1)f(x)不可导0f(x)↗0↘↗(4)极大值为f(1)0极小值为定理3(第二种充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)0f(x0)0那么(1)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极大值(1)当f(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值证明在情形(1)由于f(x0)0按二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性当x在x0的足够小的去心邻域内时但f(x0)0所以上式即从而知道对于这去心邻域内的x来说f(x)与xx0符号相反因此当xx00即xx0时f(x)0当xx00即xx0时f(x)0根据定理2f(x)在点x0处取得极大值类似地可以证明情形(2)简要证明在情形(1)由于f(x0)0f(x0)0按二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性在x0的某一去心邻域内有从而在该邻域内当xx0时f(x)0当xx0时f(x)0根据定理2f(x)在点x0处取得极大值定理3说明如果函数f(x)在驻点x0处的二导数f(x0)0那么该点x0一定是极值点并且可以按二阶导数f(x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值但如果f(x0)0定理3就不能应用讨论函数f(x)x4g(x)x3在点x0是否有极值提示f(x)4x3f(0)0f(x)12x2f(0)0但当x0时f(x)0当x0时f(x)0所以f(0)为极小值g(x)3x2g(0)0g(x)6xg(0)0但g(0)不是极值．例2求函数f(x)(x21)31的极值解(1)f(x)6x(x21)2(2)令f(x)0求得驻点x11x20x31(3)f(x)6(x21)(5x21)(4)因f(0)60所以f(x)在x0处取得极小值极小值为f(0)0(5)因f(1)f(1)0用定理3无法判别因为在1的左右邻域内f(x)0所以f(x)在1处没有极值同理f(x)在1处也没有极值二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中常常会遇到这样一类问题在一定条件下若何使“产品最多〞、“用料最省〞、“成本最低〞、“效率最高〞等问题这类问题在数学上有时可归结为求某一函数〔通常称为目标函数〕的最大值或最小值问题极值与最值的关系设函数f(x)在闭区间[ab]上连续则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得如果最大值不在区间的端点取得则必在开区间(ab)内取得在这种情况下最大值一定是函数的极大值因此函数在闭区间[ab]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理函数在闭区间[ab]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者最大值和最小值的求法设f(x)在(ab)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1x2xn则对比f(a)f(x1)f(xn)f(b)的大小其中最大的便是函数f(x)在[ab]上的最大值最小的便是函数f(x)在[ab]上的最小值例3求函数f(x)|x23x2|在[34]上的最大值与最小值解在(34)内f(x)的驻点为不可导点为x1和x2由于f(3)20f(1)0f(2)0f(4)6对比可得f(x)在x3处取得它在[34]上的最大值20在x1和x2处取它在[34]上的最小值0例4工厂铁路线上AB段的距离为100km工厂C距A处为20kmAC垂直于AB为了运输需要要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5为了使货物从供给站B运到工厂C的运费最省问D点应选在何处解设ADx(km)则DB100x设从B点到C点需要的总运费为y那么y5kCD3kDB(k是某个正数)即3k(100x)(0x100)现在问题就归结为x在[0100]内取何值时目标函数y的值最小先求y对x的导数解方程y0得x15(km)由于y|x0400ky|x15380k其中以y|x15380k为最小因此当ADx15km时总运费为最省例2工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km,A点到火车站B的距离为100km.欲修一条从工厂到铁路的公路CD.铁路与公路每公里运费之比为3:5.为了使火车站B与工厂C间的运费最省,问D点应选在何处解设ADx(km)B与C间的运费为y则y5kCD3kDB(0x100)其中k是某一正数由0得x15由于y|x0400ky|x15380k其中以y|x15380k为最小因此当ADx15km时总运费为最省注意f(x)在一个区间(有限或无限开或闭)内可导且只有一个驻点x0并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点那么当f(x0)是极大值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值当f(x0)是极小值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值f(f(x0)Oax0bxyf(x)yf(x0)Oax0bxyf(x)y应当指出实际问题中往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值而且一定在定义区间内部取得这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0那么不必讨论f(x0)是否是极值就可以断定f(x0)是最大值或最小值dhb例6把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应若何选择才能使梁的抗弯截面模量W()dhb解b与h有下面的关系h2d2b2因而(0<b<d)这样W就是自变量b的函数b的变化范围是(0d)现在问题化为b等于多少时目标函数W取最大值为此求W对b的导数解方程W0得驻点由于梁的最大抗弯截面模量一定存在而且在(0d)内部取得现在函数在(0d)内只有一个驻点所以当时W的值最大这时即解把W表示成b的函数(0<b<d)由得驻点由于梁的最大抗弯截面模量一定存在而且在(0d)内部取得现在函数W在(0d)内只有一个驻点所以当时抗弯截面模量W最大这时§38函数图形的描绘描绘函数图形的一般步骤(1)确定函数的定义域并求函数的一阶和二阶导数(2)求出一阶、二阶导数为零的点求出一阶、二阶导数不存在的点(3)列表分析确定曲线的单调性和凹凸性(4)确定曲线的渐近性(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点(6)联结这些点画出函数的图形例1画出函数yx3x2x1的图形解(1)函数的定义域为()(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1)f(x)6x22(3x1)f(x)0的根为x1/31f(x)0的根为x1/3(3)列表分析x(1/3)1/3(1/31/3)1/3(1/31)1(1)f(x)00f(x)0f(x)↗极大↘拐点↘极小↗(4)当x时y当x时y(5)计算特殊点f(1/3)32/27f(1/3)16/27f(1)0f(0)1f(1)0f(3/2)5/8(6)描点联线画出图形例2作函数的图形解(1)函数为偶函数定义域为(,)图形关于y轴对称(2)令f(x)0得x0令f(x)0得x1和x1(3)列表x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)f(x)＋＋0－－f(x)＋0－－0＋yf(x)↗拐点↗极大值↘拐点↘(4)曲线有水平渐近线y0(5)先作出区间(0,)内的图形然后利用对称性作出区间(,0)内的图形例3作函数的图形解(1)函数的定义域为(3)(3)(2)令f(x)0得x3令f(x)0得x6(3)列表分析x(3)(33)3(36)6(6)f(x)0f(x)0f(x)↘↗4极大↘11/3拐点↘(4)x3是曲线的铅直渐近线y1是曲线的水平渐近线(5)计算特殊点的函数值f(0)=1f(1)8f(9)8f(15)11/4(6)作图§39曲率一、弧微分设函数f(x)在区间(ab)内具有连续导数在曲线yf(x)上取固定点M0(x0y0)作为度量弧长的基点并规定依x增大的方向作为曲线的正向对曲线上任一点M(xy)规定有向弧段的值s〔简称为弧s〕如下s的绝