第9章 第3课时　随机事件与概率-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期第3课时随机事件与概率[考试要求]1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2．理解事件间的关系与运算.3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．1．样本空间与样本点(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．2．随机事件、必然事件与不可能事件(1)随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件∅(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．3．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω4．古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．5．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．6．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．7．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)必然事件一定发生． ()(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生． ()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． ()(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件． ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是()A．至少有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶B[“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]2．(人教A版必修第二册P238例9改编)袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A．25 B．3C．14 D．B[P＝610＝33．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.9 B．0.3C．0.6 D．0.4D[设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件A是“该射手在一次射击中不小于8环”．∵事件A包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，∴P(A)＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P(A)＝1－P(A)＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4．]4．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝__________；(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝__________．(1)0.40.2(2)0.60[(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2.(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P(∅)＝0．]考点一随机事件与样本空间[典例1](1)同时投掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是()A．3B．4C．5D．6(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是()A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球(1)D(2)B[(1)事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点．故选D.(2)对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．故选B.]1．求样本空间中样本点个数的方法：(1)列举法；(2)树状图法；(3)排列组合法.2．互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．对立事件是互斥事件的充分不必要条件．[跟进训练]1．(1)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则()A．A∪B表示向上的点数是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或3D．A∩B表示向上的点数是1或5(2)已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是15，且P(A)＝3P(B)，则P(A(1)A(2)25[(1)设A＝{1，3}，B则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.故选A.(2)由题意事件A与B互斥，它们都不发生的概率是15，则P(A)＋P(B)＝1－15＝45，结合P(A)＝3P可得4P(B)＝45，即P(B)＝15，可得P(A)＝故P(A)＝1－P(A)＝25考点二随机事件的频率与概率[典例2]某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(min/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15+1.5×30+2×25+2.5(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320+3故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为710计算简单随机事件的频率或概率的步骤提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率．[跟进训练]2．某座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：mm)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成近20年六月份降雨量频率分布表；降雨量70110140160200220频率111(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率131731(2)由已知可得Y＝X2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120+3考点三古典概型[典例3]有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件．①用零件的编号列出样本空间；②求这2个零件直径相等的概率．[解](1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝610＝3(2)①一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．②将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B，则B包含的样本点有(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共6个，∴P(B)＝615＝2利用公式法求解古典概型问题的步骤提醒：若样本点个数不多，要列出样本空间，若样本点个数多，用排列组合方法求．[跟进训练]3．(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()A．56 B．2C．12 D．(2)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A．16 B．1C．12 D．(1)A(2)D[(1)设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：乙甲ABCDEFA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)(C，E)(C，F)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)(D，E)(D，F)E(E，A)(E，B)(E，C)(E，D)(E，E)(E，F)F(F，A)(F，B)(F，C)(F，D)(F，E)(F，F)共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为3036＝5(2)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C7若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝21−721＝2故选D.]课时分层作业(六十五)随机事件与概率一、单项选择题1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7B[由题意知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4．]2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个C[该生选报的所有可能情况是数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个．]3．在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”()A．是对立事件B．是不可能事件C．是互斥但不是对立事件D．不是互斥事件C[甲、乙不可能同时得到红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红环，即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.]4．在2，3，5，6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为()A．16 B．1C．13 D．D[在2，3，5，6中任选2个不同数字，基本事件总数有6个，分别为：(2，3)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，其乘积能被3整除的基本事件有5个，分别为(2，3)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，则其乘积能被3整除的概率为565．(2023·河北保定一模)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：16＝5＋11．在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为()A．12 B．3C．710 D．B[不超过12的质数为2，3，5，7，11，随机选取两个不同的数，共有C5其和为偶数的共有C42＝6(种)方法，其和为偶数的概率为P＝6106．(2023·浙江金华十校联考)袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个是白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记A＝“第一次摸到红球”，B＝“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是()A．P(A)＋P(B)＝P(A∩B)B．P(A)·P(B)＝P(A∪B)C．P(A)＝P(B)D．P(A∪B)＋P(A∩B)<1C[P(A)＝35，P(B)＝35×24+25×34＝35，则P(A)＝P(B)，C正确；P(A∩B)＝3×25×4＝310，则PP(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝35+35−310＝910，则P(A)·P(B)≠P(A∪B)，B错误；P(A∪B)＋P(7．(2024·山东潍坊模拟)班长邀请A，B，C，D四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是()A．12 B．1C．14 D．A[根据题意，画出树状图如图所示．由图可知，共有24种等可能的结果，其中A，B两位同学座位相邻的结果有12种，故A，B两位同学座位相邻的概率是1224＝18．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如表所示：所用时间(天数)10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为()A．公路1和公路2 B．公路2和公路1C．公路2和公路2 D．公路1和公路1A[通过公路1到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.2，0.4，0.2，0.2；通过公路2到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.1，0.4，0.4，0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1，2将货物运往城市乙，B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2．]二、多项选择题9．(2024·浙江嘉兴模拟)已知Ω为实验E的样本空间，随机事件Ω′⊆Ω，则()A．Ω为必然事件，且P(Ω)＝1B．∅为不可能事件，且P(∅)＝0C．若P(Ω′)＝1，则Ω′为必然事件D．若P(Ω′)＝0，则Ω′不一定为不可能事件ABD[Ω为必然事件，且P(Ω)＝1，A正确；∅为不可能事件，且P(∅)＝0，B正确；若P(Ω′)＝1，则Ω′不一定为必然事件，C错误；若P(Ω′)＝0，则Ω′不一定为不可能事件，D正确．故选ABD.]10．(2024·长春模拟)有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80%，乙批种子10粒，能发芽的占70%，则下列说法正确的有()A．从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是34B．从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是7C．从甲、乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是47D．如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为19ACD[甲批种子有15粒，能发芽的占80%，乙批种子有10粒，能发芽的占70%,∴甲批有15×80%＝12粒发芽，乙批有10×70%＝7粒发芽．从甲批种子中任取2粒，至少1粒能发芽的概率为P＝1−C32C152＝从甲、乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是P＝1−C31C31C三、填空题11．已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为________．23[甲选2个去参观，有C42＝6(种)，乙选2个去参观，有C若甲、乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有C41＝4(种)，然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有A32＝6(种)，共有4×6＝24(种)，则对应概率P＝12．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．635[根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C84＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝mn＝四、解答题13．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：上年度出险次数01234≥5保费/元0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表所示的统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60+50200＝0.55，故P(A)的估计值为(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200＝0.3，故P(B)的估计值为(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频