第8章 第5课时　椭圆及其性质-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第5课时椭圆及其性质[考试要求]1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2．掌握椭圆的简单应用．1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+yy2a2+x图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]1．椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)时，设(1)|PF1|·|PF2|≤PF1+P(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为c，(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ．(6)S△F1PF2＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ()(3)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ()(4)x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P109练习T1改编)若椭圆x225＋y2＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则A．3 B．4C．5 D．6A[椭圆x225＋y2＝1的长轴长2a＝10，而点P到椭圆一个焦点的距离为7，所以P到另一个焦点的距离为2a－7＝2．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12 B．焦距为C．短轴长为14 D．离心率为D[把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2116+y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，则长轴长2a＝1，焦距2c＝33．(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)椭圆C：x225+y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B20[△AF1B的周长为4a＝4×5＝20．]4．(人教A版选择性必修第一册P112练习T4改编)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34x216+y27＝1或y216+x27＝1[因为a＝4，e＝34，所以c＝3，所以b2＝a考点一椭圆的定义及应用[典例1](1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x264−y2C．x248−y2(2)(2023·河南开封三模)已知点P是椭圆x225+y29＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝13A．6 B．12C．922 (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．(1)D(2)C(3)6＋26－2[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为x264+(2)由椭圆x225+y29＝1，得a设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∴m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·13可得64＝100－83mn，得mn＝27故S△F1PF2＝12mn·sin∠F1故选C.(3)椭圆方程可化为x29设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，连接AF1，PF1(图略)，∴|AF1|＝2，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－2≤|PA|＋|PF|≤6＋2.∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋2，最小值为6－2.]椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．(3)定义法求轨迹方程，或利用定义实现距离转化．[跟进训练]1．(1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A．x212+y2C．x23−y2(2)(多选)已知P是椭圆x29+y24＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠FA．△PF1F2的周长为12B．S△PFC．点P到x轴的距离为2D．PF(1)D(2)BCD[(1)由题意得圆F的半径r＝23，F(1，0)，且|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为x2(2)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝5，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋25，A错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝PF12+PF22－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝PF1+PF22－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1||PF2|－23|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝1设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝12|F1F2|·d＝12×25dPF1·PF2＝|PF1|·|PF2【教师备选资源】1．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PFA．1 B．2C．4 D．5B[法一：因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝b2tan∠F1PF22，得12|PF法二：因为PF1·PF2＝0，所以所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝25，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即PF12+PF22＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．[解](1)设椭圆方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·m+n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴c2a2≥14，即e≥1(2)证明：由(1)知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33考点二椭圆的标准方程椭圆标准方程的特征[典例2](多选)(2024·山东威海模拟)若方程x23−t+A．若C为椭圆，则1＜t＜3B．若C为双曲线，则t＞3或t＜1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2BC[若C为椭圆，则3−t＞0，t−1＞0，若C为双曲线，则(3－t)(t－1)＜0，∴t＞3或t＜1，B正确；若C为圆，则3－t＝t－1，∴t＝2，C正确；若C为椭圆，且长轴在y轴上，则3−t∴2＜t＜3，D错误．故选BC.]椭圆标准方程的求法[典例3](1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点−32，(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225+x(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝53(1)y210+x26＝1(2)y220+x24＝1(3)x29+y24＝1或由−解得m＝16，n＝1∴椭圆的标准方程为y210(2)法一(定义法)：椭圆y225+x由椭圆的定义知，2a＝3−0解得a＝25.由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y220法二(待定系数法)：∵所求椭圆与椭圆y2∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2+x∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16． ①又点(3，－5)在所求椭圆上，∴−5则5a2+3由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y220(3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝53，所以c＝5，b＝2，所以椭圆方程是x29+y24＝1．若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝ca＝53综上得，所求椭圆的标准方程为x29+y21．利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．2．椭圆的标准方程的两个应用(1)方程x2a2+y2b(2)与椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a[跟进训练]2．(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为()A．x236+y2C．x249+y2(2)(2024·湖北襄阳模拟)已知椭圆C的焦点为F1(0，－1)，F2(0，1)，过F2的直线与C交于P，Q两点，若|PF2|＝3|F2Q|，|PQ|＝45|QF1|，则椭圆CA．y235+x225C．y23+x2(3)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E(1)C(2)B(3)x28+y24＝1[(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝FF'2由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，则a＝7，a2＝49，所以b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为x249+(2)由已知可设|F2Q|＝m，|PF2|＝3m，又因为|PQ|＝45|QF1|，所以|QF1|＝5m根据椭圆的定义|QF2|＋|QF1|＝2a，所以6m＝2a，所以a＝3m，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－a＝a＝3m.在△PF1Q中，由余弦定理的推论得cos∠F1PQ＝PQ2+PF12−Q所以|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2⇒9m2＋9m2＝4，所以m＝23，a＝3m＝2，b故椭圆方程为y22＋x2＝(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，所以a－c＝22－2.因为离心率e＝22，所以ca＝解得a＝22，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，所以椭圆E的方程为x28+考点三椭圆的简单几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距[典例4]如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为()①轨道Ⅱ的焦距为R－r；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为R＋r；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④C[由椭圆的性质知，a＋c＝R，a－c＝r，解得2c＝R－r，①正确；由①知a＝R+r2，c＝R−r所以2b＝2a2−c2＝2若R不变，r越大，2b越大，轨道Ⅱ的短轴长越大，②错误；由①知2a＝R＋r，故轨道Ⅱ的长轴长为R＋r，③正确；因为e＝ca＝R−r2R+r2＝R−rR+r若r不变，R越大，则2R所以e越大，轨道Ⅱ的离心率越大，④正确．故选C.]离心率问题[典例5](1)已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠FA．216 B．2C．12 D．(2)已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使A．0，22C．0，32(1)A(2)B[(1)在椭圆C：x2a2+y2b2＝1(因为PF1=5PF2，所以PF2＝a3，PF1由余弦定理得F1F22＝PF12＋PF2即4c2＝25a29+a29−5所以C的离心率e＝ca＝21(2)若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥12又e<1，所以e∈22与椭圆有关的最值(范围)问题[典例6](1)设A，B是椭圆C：x23+y2m＝1长轴的两个端点，若C上存在点MA．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PBA．52 B．6C．5 D．2(1)A(2)A[(1)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即0＜m＜3时，a＝3，b＝m，tanα＝3m≥tan60°＝3，∴0＜m≤②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，a＝m，b＝3，tanα＝m3≥tan60°＝3，∴m≥综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)，故选A.(2)法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝当2y＋12＝0，即y＝－14(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值254，所以|PB|max法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆x25＋y2＝1上，所以可设点P(5cosθ，sin易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(5cosθ)2＋(sinθ－1)2＝4cos2θ－2sinθ＋2＝－4sin2θ－2sinθ＋6＝254−2sinθ+122.易知当2sinθ＋12＝0，即sinθ＝－14时，|PB1．求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c.利用离心率公式e＝ca(2)由a与b的关系求离心率．利用变形公式e＝1−b(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·广东广州模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(A．椭圆C的离心率的取值范围是0B．当椭圆C的离心率为32时，|QF1|的取值范围是[2－3，2＋3C．存在点Q使得QFD.1(2)(2024·河北唐山摸底考试)已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，E上两点A，B满足3AF2＝2F(1)BCD(2)55[(1)由题意得a＝2，又点P(2，1)在椭圆C外，则24+1所以椭圆C的离心率e＝ca＝4−b22＞则椭圆C的离心率的取值范围是22当e＝32时，c＝3，b＝a2−c2＝1，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由于AF1·AF2＝b2－c2＝2所以存在点Q使得QFQF1+Q当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以1QF(2)如图，因为3AF2＝2F2B，所以可设|AF2|＝2t，|F2B|＝3t，又|AF1|＝2|AF2|，所以|AF由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝6t＝2a，即t＝a3又|BF1|＝2a－|BF2|＝2a－a＝a，即B点为短轴端点，所以在△ABF1中，cos∠ABF1＝BF12+BA又在△F2BF1中，cos∠F1BF2＝BF12+BF22−F1F222BF1·B【教师备选资源】1．(2023·江苏南通一模)2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S1，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S2，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为()A．SB．2SC．SD．2SD[由题意得，a＋c＝S1＋R，a－c＝S2＋R，∴b2＝a2－c2＝(S1＋R)(S2＋R)，故b＝S1+RS2+R，∴2．(2024·湖北宜昌模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M，N是椭圆A．34 B．2C．53 D．C[连接NF2，设|NF1|＝n，则|MF1|＝2n，|MF2|＝2a－2n，|NF2|＝2a－n.∵MF∴MF2⊥MN，在Rt△MNF2中，|MN|2＋|MF2|2＝|NF2|2，即(3n)2＋(2a－2n)2＝(2a－n)2，∴9n2＋4a2－8an＋4n2＝4a2－4an＋n2，∴12n2＝4an，n＝a3∴|MF1|＝2a3，|MF2|＝4a在Rt△MF1F2中，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即4c2＝4a29+16a29，∴36c2＝20a2，e2＝2036＝593．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|A．22，1C．0，22C[依题意，点B的坐标为(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则x02a2＋y02b2＝1，∴x02＝a21−y02b2，故|PB|2＝x02＋(y0－b)2＝a21−y02b2＋(y0－b)2＝－c2b2当－b3c2≤－b时，即b≥c时，则当y0|PB|2最大，此时|PB|＝2b，故只需要满足－b3c2≤－b，即b2≥c2，则a2－c2≥c2，所以e＝ca≤22当－b3c2>－b时，即b则当y0＝－b3c2时，|PB此时|PB|2＝b4c2＋a2＋b2≤4则a4－4a2c2＋4c4≤0，解得a＝2c，所以b＝c，又b<c，故不满足题意．综上所述，e的取值范围为0，过椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y性质1：PM⊥PN.性质2：PO平分切点弦MN.性质3：S△MON的最大值为ab2，S△MON的最小值为a[典例](多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的蒙日圆为C：x2＋y2＝32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，QA．椭圆Γ的离心率为2B．△MPQ面积的最大值为32aC．M到Γ的左焦点的距离的最小值为2−2D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－1ABD[依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝32a2，得a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝ca＝1−b因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以PQ＝2×32a2＝6a，所以△MPQ面积的最大值为12PQ×32a2＝6a2×32a2＝32a2，B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F(－c，0)，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝12a2，所以MF2＝x0+c2+y02＝x02+y02＋2x0c＋c2＝32a2＋2x0×22a＋12a2＝2a2＋2ax0，又－62a≤x0≤62a，所以MF2≥2−3a2，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为6−2a2，C错误；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A(x1，课时分层作业(五十四)椭圆及其性质一、单项选择题1．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞A．x22＋y2＝1 B．x24C．x24+y2C[由于2c＝2，所以c＝1，因为e＝ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2所以椭圆的标准方程为x24故选C.]2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a＞1)，C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3A．233 B．C．3 D．6A[由已知得e1＝a2−1a，e2＝4−12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝33．(2024·湖南师大附中模拟)曲线x225+y29＝1与曲线xA．长轴长相等 B．短轴长相等C．焦距相等 D．离心率相等C[曲线x225+y2曲线x29−k+y225−k＝1(k＜9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为225−k，短轴长为29−k4．(2024·内蒙古包头模拟)已知F1，F2是椭圆C：x216+y212＝1的两个焦点，点M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，则|A．9 B．20C．25 D．30C[根据椭圆定义可得：|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，|NF1|＋|NF2|＝8，因为|MF2|＋|NF2|＝6，所以8－|MF1|＋8－|NF1|＝6，即|MF1|＋|NF1|＝10≥2MF1·NF1，当且仅当|所以|MF1|·|NF1|≤25，则|MF1||NF1|的最大值为25.故选C.]5．(2024·河南新乡模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线A．32 B．2C．12 D．D[由题意，椭圆C的左顶点为A(－a，0)，因为点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x0，y0)，则N(－x0，y0)，所以kAM＝y0x0+a，kkAMkAN＝y0x0+a·又因为x02a2+代入可得b2a2＝23，所以离心率e＝ca＝1−6．(2024·贵州毕节模拟)加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：x2A．椭圆M的离心率为3B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10C．若G为正方形，则G的边长为25D．长方形G的面积的最大值为18D[由椭圆方程知a＝6，b＝2，则c＝6−4＝2，离心率为e＝26＝3当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为26和4，其对角线长为24+16＝210，因此蒙日圆的半径为10，圆的方程为x2＋y2＝10，B正确；设长方形的边长分别为m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，当且仅当m＝n时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为25，C正确，D错误．故选D.]7．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为13，A1，A2分别为CA．x218+y2C．x23+y22＝1 B[由离心率e＝ca＝1−b2a2＝13，解得b2a2＝89，b2＝89a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，所以BA1＝(－a，－b)，BA2＝(a，－b)，因为BA1·BA2＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝89a2代入，解得故选B.]8．(2023·湖南邵阳二模)已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为A．[2－1，1) B．(2－1，1)C．(0，2－1) D．(0，2－1]B[由asin∠PF得ca＝sin∠PF2F∴|PF1|＝2aca+c又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c＜2aca+c＜a＋c∴a2－c2＜2ac＜(a＋c)2，即e2＋2e－1＞0，又e∈(0，1)，∴e∈(2－1，1)．故选B.]二、多项选择题9．(2024·广东佛山模拟)已知方程x2A．m的取值范围为(4，12)B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12)C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4D．若m＝10，则该椭圆经过点(1，2)BC[因为方程x2所以12−m＞0，m−4＞0因为椭圆x212−m+所以m－4＞12－m＞0，解得8＜m＜12，故B正确；若m＝6，则椭圆方程为x2所以c2＝a2－b2＝6－2＝4，从而2c＝4，C正确；若m＝10，则椭圆方程为x2点(1，2)的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(1，2)，D错误．故选BC.]10．(2024·衡水模拟)已知椭圆C：x225+y29＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A．存在P使得∠F1PF2＝πB．cos∠F1PF2的最小值为－7C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值9ABC[设椭圆C的上、下顶点分别为D，E，由题知椭圆C：x225+y29＝1中，所以F1(－4，0)，F2(4，0)，A(－5，0)，B(5，0)，D(0，3)，E(0，－3)．由于DF1＝(－4，－3)，DF1·DF2＝－16＋9＝－7＜0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝10，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝m2+n2−642mn＝m+n2−2mn−642mn＝36−2mn2mn＝18mn－1≥18m+n2由于PF1⊥PF2，故m+n=10，m2+n2=64⇒mn＝12[(m＋n)所以S△F1P设P(x，y)(x≠±5)，因为A(－5，0)，B(5，0)，x225+y29＝1，则kPA＝yx+5，kPB＝yx−5，于是kPA·kPB＝三、填空题11．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：x216+y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F28[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|，可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]12．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆x2a2＋y2＝1(a32[x2＋y2－6y＋8＝0化简为x2＋(y－3)2＝1，圆心A(0，3)．PQ的最大值为5等价于AQ的最大值为4，设Q(x，y)，即x2＋(y－3)2≤16，又x2a2＋y化简得到(1－a2)y2－6y＋a2－7≤0(－1≤y≤1)．当y＝－1时，验证等号成立；对称轴为y＝31−a2，满足y＝31−a2≤－1，即∴e2＝c2a2＝a2−1a2＝1－故离心率的最大值为32四、解答题13．(2024·山东德州期中)已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上的一个动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程C；(2)若点A是曲线C上的动点，求OA·AN的最大值(其中[解](1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径为r＝22，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝22，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，则|QN|＋|QM|＝