第6章 第1课时　数列的概念与简单表示法-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：数列的通项与求和．以解答题为主，常以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法、数列求和的方法以及与不等式的交汇等．2．轮考点：等差(比)数列的性质、基本量的运算．以小题为主，主要是借助等差(比)数列的定义、公式考查通项公式的求法及数列求和的方法．第1课时数列的概念与简单表示法[考试要求]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法).2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1．数列的定义一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．提醒：数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或{1，2，…，n}．2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an递减数列an＋1＜an其中n∈N*常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和函数解析式法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．6．数列的前n项和(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和．(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．[常用结论]在数列{an}中，若an最大，则an≥an−1，a一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1，2，3与数列3，2，1是相同数列． ()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列． ()(3)任何一个数列都有唯一的通项公式． ()(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，12，－13，14A．an＝±1n B．an＝(－1)n·C．an＝(－1)n+1·1n D．an＝B[由a1＝－1，代入检验可知选B.]2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1an，则aA．2 B．32C．53 D．D[由题意，令n＝1，可得a2＝1＋1a令n＝2，可得a3＝1＋1a2＝1＋12令n＝3，可得a4＝1＋1a3＝1＋13令n＝4，可得a5＝1＋1a4＝1＋153．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．2，n=1，2n−1，n≥2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.显然当n＝1时，不满足上式，故an＝2，4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________．n2[由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形数量减少1个，直至减少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1，所以an＝n＋2·1+n−1n−12＝考点一由an与Sn的关系求通项公式[典例1](1)(2024·山东菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝()A．425n−1C．343n−1 (2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．(1)C(2)2，n=1，2n−1n，n≥2，n∈N∗[(1)当n当n≥2时，Sn＝4(Sn－Sn－1)－3，3Sn＝4Sn－1＋3，Sn＝43Sn－1Sn＋3＝43(Sn－1＋3)，又S1所以{Sn＋3}是首项为4，公比为43所以Sn＋3＝4×43n−1，Sn＝4×43(2)当n＝1时，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝2n−1n(n≥2，n∈N显然当n＝1时不满足上式，∴an＝2，1．已知Sn求an的三个步骤(1)利用a1＝S1求出a1.(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝S2．Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差或等比数列或用累加、累乘等方法求解．[跟进训练]1．(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是()A．an＝1nn−1 B．anC．Sn＝－1n D．数列1(2)若数列{an}是正项数列，且a1+a2＋…＋an＝n2＋n，则a1＋a(1)BCD(2)2n2＋2n[(1)∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得1Sn∴1S即1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－1n+1又a1＝－1不适合上式，∴an＝−1，(2)由题意得当n≥2时，an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；当n＝1时，a1＝2，∴a1＝4，符合上式，∴an＝4n2，an∴a1＋a22＋…＋ann＝12n(4＋4n)＝2【教师备选资源】1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．4n－5[a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5．]2．已知数列{an}，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．－2n-1[当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1．②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列．∴an＝a1·qn-1＝－2n-1．]考点二由数列的递推关系求通项公式[典例2](1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝n−1nan－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．(4)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2anan+2(n∈N*)，则数列{(1)n2+n2(2)1n(3)2·3n-1－1(4)2n[(1)由题意得a2－a1＝2，a3∴an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n−12+n∵a1＝1，∴an＝n2+n2∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2(2)∵an＝n−1nan－1(n≥∴an－1＝n−2n−1an－2，an－2＝n−3n−2an－3，…，a2＝12以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1·12·23·…·n−1n当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝1n(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，∴an＝2·3n-1－1.(4)∵an＋1＝2anan+2，a1∴1an+1＝1a又a1＝2，则1a1＝∴1an是以12∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2，由递推关系求数列的通项公式的常用方法[跟进训练]2．(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn+1，则数列{an(2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式为an＝________．(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝________．(1)4－1n(2)2n2−n+22(3)n−12·2n[(1)∵an∴当n≥2时，an－an－1＝1n−1an－1－an－2＝1n−2…，a2－a1＝1－12∴以上各式相加得an－a1＝1－1n，又a1∴an＝4－1n(n≥2)，a1＝3适合上式，∴an＝4－1(2)∵an+1∴当n≥2时，anan−1＝2n-1，an−1…，a3a2＝22∴an＝anan−1·a＝2n-1·2n-2·…·22·2·2＝21+2+3+…＋(n-1)·2＝2(又a1＝2满足上式，∴an＝2n(3)∵an＋1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1，得an+12又a1＝1，∴an2n∴an2n＝12＋(n－1)×1＝即an＝n−12·2n考点三数列的函数特性数列的周期性[典例3]在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝3+an1−3an，Sn是数列{a3[因为a1＝0，an＋1＝3+所以a2＝31＝3a3＝3+31−3×a4＝3−所以数列{an}的取值具有周期性，且周期为3，又a1＋a2＋a3＝0，所以S2024＝S3×674＋2＝a1＋a2＝3.]数列的单调性[典例4]已知数列{an}的通项公式为an＝3n+k2n，若数列{aA．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)D[因为an＋1－an＝3n＝3−3n−k2n+1对任意n∈N*，an＋1－an＝3−3n−k2n+1<0，所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k点拨：{an}是递增数列⇔an＋1＞an，{an}是递减数列⇔an＋1＜an.数列的最值[典例5]已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·1011n，则数列{aA．a8或a9 B．a9或a10C．a10或a11 D．a11或a12B[结合f(x)＝(x＋1)1011设数列{an}的最大项为an，则a所以n解不等式组可得9≤n≤10.所以数列{an}的最大项为a9或a10．]1．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解．2．判断数列单调性的两种方法(1)作差(商)法．(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．3．求数列中最大(小)项的两种方法(1)根据数列的单调性求解．(2)利用不等式组an≥an−1，a[跟进训练]3．(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1+an1−anA．2B．－3C．－12D．(2)(2024·湖北武汉模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝2n3n−49，则使得Sn取得最小值的n(1)D(2)16[(1)因为a1＝2，an＋1＝1+an1−an，所以a2＝1+a11−a1＝－3，同理可得a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，…，可得an＋4＝(2)由an＝2n3n−49得an＝23+983×13n−49，当n≤16时，13n−49单调递减，且13n−49<0，当n＝1时，a1<0，故当n≤16时，an<0，当n≥17时，【教师备选资源】1．已知数列{an}的通项公式是an＝n3nA．递增数列 B．递减数列C．摆动数列 D．常数列A[∵an＋1－an＝n+13n+4−n3n+1＝2．已知数列{an}满足a1＝28，an+1485[由an＋1－an＝2n，a1＝28，可得an＝n2－n＋28，∴ann＝n设f(x)＝x＋28x，可知f(x)在(0，27)上单调递减，在(27，＋∞)上单调递增，又n∈N*，且a55＝485<故ann的最小值为课时分层作业(三十六)数列的概念与简单表示法一、单项选择题1．已知数列2，5，22，…，则2A．第5项 B．第6项C．第7项 D．第8项C[由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为an＝2+3n−1＝3n−12．(2023·北京丰台二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－1，则a3＝()A．－5 B．5C．7 D．8B[因为Sn＝n2－1，所以a3＝S3－S2＝(32－1)－(22－1)＝5.故选B.]3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an+2，n为偶数，an+3，nA．18 B．16C．11 D．6B[b4＝a7＝a6＋2＝(a5＋3)＋2＝a5＋5＝(a4＋2)＋5＝a4＋7＝(a3＋3)＋7＝a3＋10＝(a2＋2)＋10＝a2＋12＝(a1＋3)＋12＝1＋15＝16.故选B.]4．(2024·广西防城港模拟)已知数列{an}满足an＋1＝11−an，若a1＝12A．－2 B．－1C．12 D[a1＝12，则a2＝11−a1＝11−12＝2，a3＝11−a2＝11−2＝－1，故{an}为周期为3的数列，因为2024＝674×3＋2，所以a2024＝a2＝2.故选D.]5．(2024·江西吉安模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝()A．2n B．nC．n2＋1 D．n＋1A[由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，则anan−1＝nn−1，a由累乘法可得ana1＝n，所以an＝2n(又a1＝2，符合上式，所以an＝2n.故选A.]6．已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝－n2＋2n＋m，则实数m的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)A[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－(n－1)2＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3，故可知当n≥2时，{an}单调递减，故{an}为递减数列，只需满足a2<a1，即－1<1＋m⇒m>－2.故选A.]7．已知数列{an}满足an＋1－an＝2n－11，且a1＝10，则an的最小值是()A．－15 B．－14C．－11 D．－6A[∵an＋1－an＝2n－11，∴当n≤5时，an＋1－an<0，当n>5时，an＋1－an>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6<a7<a8<…，显然an的最小值是a6.又an＋1－an＝2n－11，∴a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝10＋(－9)＋(－7)＋(－5)＋(－3)＋(－1)＝－15，即an的最小值是－15.故选A.]8．已知数列{an}的各项均为正数，数列an+n2A．是递增数列 B．是递减数列C．先递增后递减 D．先递减后递增A[设an+n2n＝k(k为常数)，∴an＝k·∵an>0，∴k>n2n，易得k>an－an－1＝k·2n－n－k·2n-1＋n－1＝k·2n-1－1>12×21－1＝0(n≥∴an－an－1>0，数列{an}为递增数列．故选A.]二、多项选择题9．(2024·广东惠州模拟)数列{an}的首项为1，且an＋1＝2an＋1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()A．a3＝7B．数列{an＋1}是等比数列C．an＝2n－1D．Sn＝2n+1－n－1AB[∵an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，B正确；an＋1＝2n，∴an＝2n－1，C错误；a3＝7，A正确；Sn＝21−2n1−2－n＝2n故选AB.]10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·67A．数列{an}的最小项是a1B．数列{an}的最大项是a4C．数列{an}的最大项是a5D．当n≥5时，数列{an}递减BCD[假设第n项为{an}的最大项，则a即n所以n≤5，n≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝6三、填空题11．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________．2，n=1，6n−5，n≥2，n∈N∗[当当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列{an}的通项公式为an＝2，12．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝________．1n(答案不唯一)[符合条件的数列有1n，四、解答题13．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，从①an＝n－Sn；②bn＝an－1；③Tn＝12[证明]选①②作为条件证明③.因为an＝n－Sn，所以当n＝1