第1章 第2课时　常用逻辑用语-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第2课时常用逻辑用语[考试要求]1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M,¬p(x)∀x∈M,¬p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变．[常用结论]设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B.(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；(2)p是q的必要不充分条件⇔AB；(3)p是q的充要条件⇔A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件． ()(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件． ()(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题． ()(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为()A．∀n∈N*，n2≤n－1 B．∀n∈N*，n2<n－1C．∃n∈N*，n2≤n－1 D．∃n∈N*，n2<n－1C[由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定¬p为“∃n∈N*，n2≤n－1”．]2．(人教A版必修第一册P22习题1.4T2(2)改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C3．(多选)(人教A版必修第一册P31习题1.5T1、T2改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是()A．∀x∈R，x2－x＋1>0B．∃x∈R，sinx＝2C．存在一个无理数，它的平方是有理数D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上[答案]AD4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．[答案][3，＋∞)考点一充分、必要条件充分、必要条件的判定[典例1](1)(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[由a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，由a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.]充分、必要条件的探求[典例2](2023·天津和平区二模)若x，y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可以是()A．|x|>|y| B．x2>y2C．xy>1 D．2x－yD[由|x|>|y|，x2>y2推不出x>y，排除AB；由xy>1可得x−yy>0，解得x>y>0或x<y<0，所以xy>1是x>y的既不充分也不必要条件，排除C；2x－y>2⇒x>充分、必要条件的应用[典例3]请在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任选一个，补充在横线处，并解答．已知集合A＝xx2−x−12≤0，B＝xx2−2x+1−m2≤[解]由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝x−3由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m，所以B＝x1−m若选择条件①，则集合A是B的真子集，得1−m≤−3，m当m＝4时，B＝x−3≤x≤5若选择条件②，则集合B是A的真子集，得1−m≥−3，m当m＝3时，B＝x−2≤x≤4若选择条件③，则集合A＝B，得1−m=−3，m+(1)充分条件、必要条件的判定方法：定义法、集合法．(2)充分条件、必要条件的探求要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q⇒p是真命题”．(3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验．[跟进训练]1．(1)“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是()A．－1<x<－1e B．xC．－1<x<0 D．x<0(2)(2023·山东潍坊二模)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一个充分条件，则α的一个可能值是________．(1)D(2)π4(只需满足α∈2kπ，2kπ+π2(k∈Z)即可)[(1)ln(x＋1)<0等价于0<x＋1<1，即－1<x<0．因为－1<x<0可以推出x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件，所以“ln(x＋1)<0”(2)由sinx＋cosx>1可得2sinx+则sinx+π4所以2kπ＋π4<x＋π4<2kπ＋3π4(k解得2kπ<x<2kπ＋π2(k∈Z因为“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一个充分条件，故α的一个可能取值为π4.考点二全称量词与存在量词含量词命题的否定[典例4](1)命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为()A．∀x<0，x＋2>2x B．∃x≥0，使得x＋2>2xC．∀x<0，x＋2≤2x D．∃x≥0，使得x＋2≤2x(2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是________．(1)C(2)存在一个奇数，它的立方不是奇数[(1)因为命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“∀x<0，x＋2≤2x”．故选C.(2)命题的否定为存在一个奇数，它的立方不是奇数．]含量词命题的真假判断[典例5](多选)下列四个命题中为真命题的是()A．∀x∈R，2x-1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx＝2ACD[当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.]含量词命题的应用[典例6]若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________．(－4，0)[法一：若p为真命题，即∃x∈R，x2－mx－m≤0，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4，∴当p为假命题时，－4<m<0.法二：∵p为假命题，∴¬p：∀x∈R，x2－mx－m>0为真命题，即Δ＝m2＋4m<0，∴－4<m<0．]含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的真假求参数的取值范围；二是利用等价转化，根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围．(3)全称量词命题对应恒成立，存在量词命题对应成立．[跟进训练]2．(1)命题p：∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和¬p正确的为()A．真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根B．假命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根C．真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根D．假命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根(2)(2024·陕西咸阳模拟)若命题“∃x∈1，4，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ(1)A(2)−∞，−18[(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中，Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意a，方程都有实根，故命题p为真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x(2)若“∃x∈1，4，使λx2＋x－2>0成立”的否定“∀x∈1，4，使λx2＋x－2≤0”令f(x)＝2−xx2＝21x−142－18，由x∈1，4，得1x∈14，1，所以课时分层作业(二)常用逻辑用语一、单项选择题1．(2024·河南周口期中)命题“∃x>0，x2－1x<0”A．∃x>0，x2－1x≥0 B．∃x≤0，x2－1xC．∀x>0，x2－1x≥0 D．∀x≤0，x2－1xC[命题“∃x>0，x2－1x<0”的否定为“∀x>0，x2－1x≥02．(2024·广东深圳模拟)若a>0，则“a2<b2”是“a<－b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若a＝1，b＝2，满足a2<b2，不能得到a<－b，充分性不成立，因为a>0，若0<a<－b，两边平方得a2<b2，必要性成立．则“a2<b2”是“a<－b”的必要不充分条件．故选B.]3．(2023·广东东莞三模)已知全集U和它的两个非空子集A，B的关系如图所示，则下列命题正确的是()A．∃x∉A，x∈B B．∀x∉A，x∉BC．∃x∈B，x∉A D．∀x∉B，x∈AB[由图可知B⊆A，且A，B非空，则根据子集的定义可得：对于A，∃x∉A，x∈B错误；对于B，∀x∉A，x∉B正确；对于C，∃x∈B，x∉A错误；对于D，∀x∉B，x∈A错误．]4．“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充分不必要条件是()A．a≠0且b＝0 B．b＝0C．a＝1且b＝0 D．a＝b＝0C[因为“复数z＝ai＋b(a，b∈R)是纯虚数”的充要条件是“a≠0且b＝0”，“a＝1且b＝0”是“a≠0且b＝0”的充分不必要条件，所以“a＝1且b＝0”是“复数z＝ai＋b(a，b∈R)为纯虚数”的充分不必要条件．故选C.]5．下列命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1xB[A中，锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中，当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有1x<0，不满足16．(2024·湖南长沙模拟)命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，则实数a的取值范围是()A．(－4，0] B．[－4，0)C．(－4，0) D．[－4，0]A[命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题瘙綈p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题．当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0，综上可知，－4<a≤0.故选A.]7．已知条件p：x2－3x＋2≤0，条件q：x2－4x＋4－m2≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[1，＋∞)C．{0} D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D[由x2－3x＋2≤0，得1≤x≤2，由x2－4x＋4－m2≤0，得2－|m|≤x≤2＋|m|，若p是q的充分不必要条件，则2−m≤1，2+m>2或2−m<1，28．(2024·广东深圳开学考试)“a≥5”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当两圆无公切线时，两圆内含，圆C1的圆心为(0，0)，半径r1＝1，圆C2的圆心为(－a，2a)，半径为r2＝6，所以两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝a2+4即5a2＜|6－1|，解得－5＜a＜所以当两圆有公切线时a≥5或a≤－5，所以a≥5能推出圆C1和C2有公切线，而圆C1和C2有公切线不能推出a≥5，所以“a≥5”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切线”的充分不必要条件．故选A.]二、多项选择题9．命题“∀x∈R，2kx2＋kx－38<0”A．k∈(－3，0) B．k∈(－3，0]C．k∈(－3，－1) D．k∈(－3，＋∞)AC[因为∀x∈R，2kx2＋kx－38所以k＝0或k<0，k2+所以k∈(－3，0)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－38<0”所以k∈(－3，0]是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－38<0”所以k∈(－3，－1)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－38<0”所以k∈(－3，＋∞)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－38<0”10．(2024·广东东莞模拟)下列哪些选项是m≤2的充分不必要条件()A．y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上单调递增B．∀x∈R，x2－mx＋1>0恒成立C．∀x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立D．y＝x2－mx＋1只有一个零点BD[对于A，y＝x2－mx＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝m2，因为y＝x2－mx＋1在[1，＋∞所以m2≤1，即m≤2，所以y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上单调递增是m≤对于B，∀x∈R，x2－mx＋1>0，即m2－4<0，即－2<m<2，所以∀x∈R，x2－mx＋1>0恒成立是m≤2的充分不必要条件，故B正确；对于C，∀x∈2，+∞，x2－mx＋1>0，即m<x＋1x在2，+∞上恒成立，所以m<x+1xmin，令g(x)＝x＋1x，则g′(x)＝1－1x2，当x∈2，+∞时，g′(x)>0，所以g(x)在2所以∀x∈2，+∞，x2－mx＋1>0恒成立是对于D，y＝x2－mx＋1只有一个零点，即m2－4＝0，即m＝2或m＝－2，所以y＝x2－mx＋1只有一个零点是m≤2的充分不必要条件，故D正确．故选BD.]三、填空题11．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)充分不必要充要[由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．]12．若命题“∃a＜0，a＋1a＞b”是假命题，则实数b[－2，＋∞)[因为命题“∃a＜0，a＋1a＞b”所以命题“∀a＜0，a＋1a≤b”又当a＜0时，a＋1a＝－−a+1−a当且仅当－a＝1−a，即a所以a+所以b≥－2，所以实数b的取值范围为[－2，∞)．]13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cosA>B＋cosB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.设f(x)＝x＋cosx，x∈(0，π)，则f′(x)＝1－sinx，x∈(0，π)时，sinx∈(0，1]，∴