西安交通大学matlab数学实验课件4

MathematicsLaboratory阮小娥博士办公地址：理科楼２２５ExperimentsinMathematics数学实验西安交通大学理学院李换琴美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成份可以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等。由於战争条件的限制，食品种类有限，又要尽量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决定各种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要，又可以降低成本？现代管理问题虽然千变万化，但大致上总是要利用有限的资源，去追求最大的利润或最小的成本，如何解决这些问题？

解决问题的方法：线性规划１在波斯湾战争期间，美国军方利用线性规划，有效地解决了部队给养和武器调运问题，对促进战争的胜利，起了关键的作用。甚至有这样的说法：因为使用炸药，第一次世界大战可说是「化学的战争」；因为使用原子弹，第二次世界大战可说是「物理的战争」；因为使用线性规划，波斯湾战争可称为「数学的战争」。在历史上，没有哪种数学方法，可以像线性规划那样，直接为人类创造如此巨额的财富，并对历史的进程发生如此直接的影响。2实验八线性函数极值求解3例1、生产计划问题：问：A,B各生产多少,可获最大利润?

AB备用资源煤1230劳动日3260仓库0224利润4050一、引例某企业生产A，B两种产品，成本和利润指标如下：x1+2x2

30，

3x1

+2x2

60，2x2

24，

x1，x2

0；maxZ=40x1

+50x2解:设产品A,B的产量分别为变量x1，x2，则：s.t.

AB备用资源煤1230劳动日3260仓库0224利润40504

有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5中下料方案，分别作成2.9m，2.1m，1.5m的钢筋架子各100根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：例2、(资源配置问题)问：如何下料使得剩余料头最少？ⅠⅡⅢⅣⅤ2.9m120102.1m002211.5m31203合计7.47.37.27.16.6料头00.10.20.30.87解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则：minZ=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5

x1+2x2+x4=100，2x3+2x4+x5=100，3x1+x2+2x3+3x5=100，

xi

0(i=1,…,5)，且为整数；s.t.ⅠⅡⅢⅣⅤ2.9m120102.1m002211.5m31203合计7.47.37.27.16.6料头00.10.20.30.88例3、(运输问题)

123库存容量

1

21350

2

22430

3

34210

需求401535仓库车间某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费以及各仓库的库存容量如下表所列：问：如何安排运输任务使得总运费最小？9设xij为i

仓库运到j车间的原棉数量(i

＝1,2,3;

j＝1,2,3)。则minZ=2x11+x12+3x13+2x21+2x22+4x23

+3x31+4x32+2x33解：x11+x12+x13

50，x21+x22+x23

30，x31+x32+x33

10，x11+x21+x31=40，x12+x22+x32=15，x13+x23+x33=35，

xij

0，i＝1,2,3;j＝1,2,3;s.t.123库存容量121350222430334210需求401535仓库车间10例4、连续投资10万元于4个项目。各项目投资时间和本利情况如下：项目A：从第1年到第4年每年初要投资，次年末回收本利1.15倍。项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍，最大投资4万元。项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍，最大投资3万元。项目D：每年初投资，每年末回收本利1.11倍。求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？11解：

12345Ax1A

x2A

x3A

x4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D项目年份设xik(i=1,2,3,4,5;k=A,B,C,D)表示第i年初投资第k项目的资金数。12xik(i=1,2,…,5;k=A,B,C,D)为第i年初投k项目的资金数.则：maxZ=1.15x4A

+1.40x2C+1.25x3B+1.11x5Dx1A+x1D=10x2A+x2C+x2D=1.11x1Dx2C

3x3A+x3B+x3D=1.15x1A+

1.11x2Dx3B

4x4A+x4D=1.15x2A+

1.11x3Dx5D=1.15x3A+

1.11x4D

xik

0,i=1,2,…,5;k=A,B,C,D;s.t.131４以上问题的特点:2.某项任务确定后，如何安排人力、财力、物力，使之最省.1.在人力、财力、资源给定条件下，如何合理安排任务，使得效益最高.

即以上问题都是在一定条件下，求线性函数的最大值或最小值问题。这类问题称为线性规划LP(LinearProgramming)问题。1５线性规划问题的一般形式max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn

(=,)b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn

(=,)b2,………am1x1+am2x2+…+amnxn

(=,)bm,xj

0(j=1,…,n);s.t.或三、线性规划问题的求解方法二元线性规划问题的图解法线性规划问题的理论解法线性规划问题的MATLAB软件解法１６x=linprog(f,A,b):求解minz=f’

x,

Ax

≤b求解线性规划的MATLAB命令若没有不等式约束,可用[]替代A和b,

若没有等式约束,可用[]替代Aeq和beq,若某个xi下无界或上无界,可设定-inf或inf；用[x,Fval]代替上述命令行中的x，可得最优解处的函数值Fval。x=linprog(f,A,b,Aeq,beq):求解：

minz=f’

x,Ax≤b,Aeqx=beq；x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub):

指定lb≤x≤ub;１7x1+2x2

30，

3x1

+2x2

60，2x2

24，minZ=-40x1

-50x2s.t.例1、解：程序如下c=[-40,-50];a=[1,2;3,2;0,2];b=[30;60;24];x=linprog

(c,a,b)

z=c*x18[x,Z]=linprog

(c,a,b)

x1+x2

5,-6

x1

10,

-1

x2

4;例2:minZ=4x1

+3x2s.t.解：%lp2.m%c=[4,3];a=[1,1];b=[5];vlb=[-6;-1];

%lowerboundofvector

x%vub=[10;4];%upperboundofvectorx%[X,Z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)19x1+x2

+x37,-x1

+x2

-x3

-2,x1

,x2

,x3

0;例3:minZ=-x1+2x2

–3x3s.t.20解：%lp3.m%c=[-1,2,-3];a=[1,1,1;-1,1,-1];b=[7;-2];vlb=[0;0;0];

%lowerboundofvectorx%vub=[];%upperboundofvectorx%x=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)z=c*xminZ=2x1+x2+3x3+2x4+2x5+4x6

+3x7+4x8+2x9x1

+x4

+x7

=40，

x2

+x5

+x8

=15，

x3

+x6

+x9

=35，x1+x2+x3

50，

x4+x5+x6

30，

x7+x8+x9

10，

xi

0，i＝1,2,…,9;s.t.例4:21%lp4.m%c=[2,1,3,2,2,4,3,4,2];b=[40;15;35];beq=[50;30;10];a(1,:)=[1,0,0,1,0,0,1,0,0];a(2,:)=[0,1,0,0,1,0,0,1,0];a(3,:)=[0,0,1,0,0,1,0,0,1];aeq(1,:)=[1,1,1,0,0,0,0,0,0];aeq(2,:)=[0,0,0,1,1,1,0,0,0];aeq(3,:)=[0,0,0,0,0,0,1,1,1];vlb=zeros(9,1);%lowerboundofvectorx%vub=[];%upperboundofvectorx%[x,Z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub)解：22最优化简介当今，“优化”无疑是一个热门词。做宏观经济规划要优化资源配置，搞企业经营管理要优化生产计划，作新产品设计要优化性能成本比。就是在人们的日常生活中，优化的要求也比比皆是，消费时，如何花尽可能少的钱办尽可能多的事，出行时，如何走最短的路程到达目的地，等等。总而言之，在经济如此发展，竞争如此剧烈，资源日渐紧张的今天，人们做任何事，无不望求事半功倍之术，以求或提效、或增收、或节约等等之目标。最优化概念所有类似的这种课题统称为最优化问题，研究解决这些问题的科学一般就总称之为最优化理论和方法另外也可用学术味更浓的名称：“运筹学”。由于最优化问题背景十分广泛，涉及的知识不尽相同，学科分枝很多，因此这个学科名下到底包含哪些分枝，其说法也不一致。比较公认的是：“规划论”（包括线性和非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划和随机规划等），“组合最优化”，“对策论”及“最优控制”等等。数学建模竞赛中的优化问题：2000B钢管订购和运输问题—二次规划2001B公交车优化调度2001C基金使用的最优策略-----线性规划2002B彩票中的数学2003B露天矿生产的车辆安排问题

2004A奥运会临时超市网点设计问题

2004D公务员招聘工作中录用方案—多目标规划2005BDVD在线租赁2006A出版社的资源配置问题

2007A乘公交，看奥运

2008B高等教育学费探讨2009B眼科病床的合理安排

从数学上来看，所谓最优化问题可以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)，以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时，F(X)取得其最大值或最小值。通常，称F(X)为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一般最优问题的数学模型．无约束最优化问题目标函数最优化问题的一般形式约束最优化问题约束函数最优解；最优值最优化问题分类分类1：无约束最优化约束最优化

非线性规划：目标函数与约束函数中至少有一个是变量x的非线性函数；

线性规划：目标函数与约束函数均为线性函数；分类2：线性规划非线性规划求解无约束最优化问题的matlab指令求一元函数fun在区间(x1,x2)上的最小值X=fminbnd(fun,x1,x2)或[x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2)求多元无约束函数fun的最小值[x,fval]==fminunc(fun,x0)

x0为初值[x,fval]=fminsearch(fun,x0)注意：fminunc不是解决平方相加函数优化问题的最好方法

函数lsqnonlin专门解决非线性最小二乘问题：调用格式：x=lsqnonlin(fun,x0)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)线性最小二乘问题lsqlin函数：用于解决线性最小二乘问题：调用格式：x=lsqlin(C,d,A,b)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)例.求解下面非线性最小二乘问题初始解向量为解：(1)建立函数文件example5.mfunctionF=example5(x)k=1:10;F=2+2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));x0=[0.30.4];[x,resnorm,residual]=lsqnonlin(@example5,x0)(2)调用优化程序：(3)运行结果为x=0.25780.2578resnorm=124.3622residual=Columns1through71.41182.65053.66544.39064.74084.60573.8428Columns8through102.2672-0.3600-4.3482residual为解x处向量f(x)的值最优解最优值例1

某校篮球队准备从以下队员中选拔3名为正式队员，并使平均身高尽可能高，这6名预备队员情况如下表所示。预备队员号码身高位置

大张1193中锋大李2191中锋小王3187前卫小赵4186前卫小田5180后卫小周6185后卫队员的挑选要满足下列条件：(1)至少补充一名后卫队员；(2)大李或小田中间只能入选一名；(3)最多补充一名中锋；(4)如果大李或小赵入选，小周就不能入选.试建立此问题的数学模型。解:则该问题的数学模型为:(0-1)规划例2经典指派问题n个员工分配做n项工作，已知第i个员工做第j项工作的成本为cij，i=1,…,n;j=1,…,n。求最佳分配方案。s.t.解综合实例－投资的收益和风险

市场上有n种资产Si(i=1,2,…,n)可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。财务人员分析估算出这一时期内购买Si的平均收益率为ri

,风险损失率为qi,投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si时要付交易费，费率pi(不买无须付费).当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算.另外，假定同期银行存款利率是r0,既无交易费又无风险。(r0=5%)已知n=4时的相关数据如下:SiriqipiuiS1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M,有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。基本假设1.投资数额M相当大,为了便于计算，假设M=1;2.投资越分散，总的风险越小；3.总体风险Si用投资项目中最大的一个风险来度量；4.n种资产Si之间是相互独立的；5.在投资的这一时期内,ri

,pi,qi

,r0为定值，不受意外因素影响；6.净收益和总体风险只受ri

,pi,qi影响，不受其他因素干扰。符号规定Si——第i种投资项目，如股票，债券ri

,pi,qi

——分别为Si的平均收益率,风险损失率，交易费率ui

——Si的交易定额,r0——同期银行利率xi——投资项目Si的资金,a——投资风险度Q——总体收益,∆Q——总体收益的增量

模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．购买Si所付交易费是一个分段函数,即

pixixi>ui

交易费=

piui

xi≤ui而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小,piui更小,可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi模型的建立与分析净收益尽可能大建立模型总体风险尽可能小多目标规划问题模型转化

方法一:固定风险水平，优化收益

在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qi

xi/M≤a，可找到相应的投资方案。

模型一线性规划模型模型转化

方法二:固定盈利水平，极小化风险

若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。

模型二线性规划模型模型转化---方法3线性加权

投资者