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文档简介
第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理
2.1.1合情推理1.了解合情推理的含义,正确理解归纳推理与类比推理.(重点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现中的作用.1.归纳推理与类比推理部分对象
全部对象个别事实一般结论
由部分到整体、由个别到一般类似已知特征这些特征
由特殊到特殊2.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过______、_______、_______、_______,再进行_______、_______,然后提出_______的推理,我们把它们统称为合情推理.观察分析比较联想归纳类比猜想1.下列关于归纳推理的说法错误的是(
)A.归纳推理是一种从一般到一般的推理过程B.归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认知功能解析:归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论未必正确.故B、C、D正确,A错误.答案:A2.下列平面图形中,与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是(
)A.三角形 B.梯形C.矩形 D.平行四边形解析:因为平行六面体的六个面全为平行四边形,并且相对的每一对面平行且全等.类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适.答案:D1.归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论,该结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳出的结论具有猜测性质,是否属实,还需逻辑证明和实践检验,即结论不一定可靠.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理
2.归纳推理的一般步骤(1)通过对有限资料进行观察、分析,发现某些相同性质.一般地,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.(2)猜想:在以上基础上提出带有规律性的结论.(3)检验:检验猜想.【想一想】
1.(1)归纳推理的结论一定正确吗?提示:归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,结论不一定正确.(2)归纳推理的前提条件是什么?归纳所得的结论有什么要求?提示:有几个已知的特殊现象,结论是未知的一般现象,该结论应该超越前提所包含的范围.1.类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题.类比推理2.类比推理的特点①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,以旧认识为基础,类比出新结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.③类比的结果是猜测性的,不一定正确.但它却具有发现的功能.3.类比推理的适用前提①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性.②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象.4.归纳推理与类比推理的区别与联系区别:归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由个别到个别的推理或是由一般到一般的推理.联系:在前提为真时,归纳推理与类比推理的结论都可真可假.【想一想】
2.类比推理的结论一定正确吗?提示:类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.合情推理
有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第6个图案中有阴影的正六边形的块数是(
)A.26
B.31C.32 D.36归纳推理的应用
[思路点拨]本题中图形的变化比较简单,可有两种思路:第一种,直接查阴影数,找到变化规律后再猜想;第二种,看图形的排列规律,每相邻的两块无阴影正六边形之间有一块“公共”的有阴影正六边形.方法二由图案的排列规律可知,除第一块无阴影正六边形需6块有阴影的正六边形围绕(第一个图案)外,每增加一块无阴影正六边形,只需增加5块有阴影正六边形(每两块相邻的无阴影正六边形之间有一块“公共”的有阴影正六边形),第六个图案中有阴影的正六边形的块数为6+5×(6-1)=31,故选B.答案:B1.解答本题时,关键是找出相邻图形间正六边形块数的变化规律.2.通过一组图形的变化规律,研究其一般性结论,通常需把形状问题数字化,展现数字之间的规律、特征,然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:1.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,下图一组蜂巢的截面图中,第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数,则f(4)=________,f(n)=________.答案:37
3n2-3n+1类比推理的应用[思路探究]三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面,三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.1.本题是平面图形与立体图形之间的类比推理,一般地,平面图形与空间图形类比如下:2.类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论.即在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似之处后,推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处.2.在本例中,若△ABC的边长分别为a,b,c,其对角分别为A、B、C,那么由a=b·cosC+c·cosB可类比四面体的什么性质?合情推理在数阵中的应用记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________;(2)依次写出a2、a3、a4、a5;(3)归纳出an+1与an的关系式.[思路点拨]
观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论.[自主解答]
由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.(1)6,16,25,25,16,6.(2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11.(3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4,由此归纳:an+1=an+n.对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上
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