高中数学选择性必修一课件：3 2 2 第一课时 双曲线的简单几何性质(人教A版)

3.2.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质课标要求素养要求1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养.新知探究凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性.问题你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质？提示研究双曲线的几何性质应该从范围、对称性、顶点、离心率及渐近线等方面去研究.(1)双曲线的几何性质注意与椭圆的几何性质对照学习x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a坐标轴原点A1(－a，0)A2(a，0)A1(0，－a)A2(0，a)(1，＋∞)(2)等轴双曲线实轴和虚轴__________的双曲线叫做______________，它的渐近线是_________.等长等轴双曲线y＝±x拓展深化[微判断]√2.等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.()

提示等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是y＝±x.故错误.×√[微训练]解析由双曲线方程，知a＝2，故实轴长2a＝4.答案A答案B答案B答案D[微思考]1.椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？

提示不一样.椭圆的离心率0<e<1，而双曲线的离心率e>1.2.若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？题型一双曲线的几何性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，【迁移】求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.【迁移】求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.规律方法由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.【训练1】求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.题型二根据双曲线的几何性质求方程【例2】分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，联立③④，解得a2＝8，b2＝32.联立①②，无解.【训练2】根据条件，分别求双曲线的标准方程.解得k＝4或k＝－14(舍去).题型三求双曲线的离心率又因为A在右支上且不在顶点处，故双曲线离心率的取值范围为(2，＋∞).(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，又∵2∠PF1F2＝∠PF2F1，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.一、素养落地二、素养训练解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).故选B.答案

B答案A3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(

)答案A答案A5.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.解析设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，备用工具&资料答案A3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(

)(2)等轴双曲线实轴和虚轴__________的双曲线叫做______________，它的渐近线是_________.等长等轴双曲线y＝±x[微训练]解析由双曲线方程，知a＝2，故实轴长2a＝4.